戴榕菁

1. 引言

本文为对探索考拉兹猜想感兴趣的读者提供一种简单便利的分析工具，望能对最终破解考拉兹猜想有所帮助，特别是对那些具有本博所不具有的算力的读者在这方面的工作有所助益。

2. 考拉兹幂集（简称幂集）

定义1. 幂集

满足下述条件的随位置下标单调上升的正整数集合（S={N_i}, i=0,…,n单调上升且N_i随i单调上升）为考拉兹幂集（简称幂集）：

（i）项并运算^S:

从右至左检查S，遇到有三项一样的N_i=N_i+1=N_i+2，跳过第三项Ni，合并前两项N_i+1和N_i+2，令{ N_i+2, N_i+1}={ N_i +1}，例子：{10，10，10}={11，10}；遇到只有相邻两项一样的N_i=N_i+1，则令{ N_i+1,N_i}={ N_i +1}，例子：{0，0}={1}。然后将所有元素下标重新从右至左单调排序，S’={N’_i}, i=0,…,n’.

 (ii) 幂集之倍运算2S或2×S：

2S=2×S = {N_i +1}, i=0,…,n 单调上升且Ni随i单调上升。

例子：S={11,8,4,2,0}, 则2S= {12,9,5,3,1}

（iii）加运算+：

单调正整数集S={N_i}与正整数N的加运算S1=S+N为如下运算：

从右至左检查S，将N插入到N_i与N_i+1之间，使得N_i≤N≤N_i+1，然后重新挑战下标使其成为由0至n+1的单调上升序列。

例子：S={9,6,4,3}, S1=S+5={9,6,5,4,3}

（iii.1）增运算++：

S的增运算S++为在S的尾部（最右边）增加一项0。

例子：S= {12,9,5,3,1}, S++={12,9,5,3,1,0}

(iii.2)和运算+：

单调正整数集S1={N1_j1} (j1=0,…,n₁ 单调上升且N1_j1随j1单调上升)与S2={ N2_j2} (j2=0,…,n₂ 单调上升且N2_j2随j2单调上升) 的和运算S=S1+S2为下述操作：

将{N1_j1}与{ N2_j2}合并为一个单调正整数集S={N_i}, i=0,…,n₁+n₂+1

例子：S1={9,7,5,3,1}, S2={8,6,4,2}则S=S1+S2={9,8,7,6,5,4,3,2,1},其下标由0至8。

(iv)减运算-

当单调正整数集S={N_i}, i=0,…,n的最左边的元素Nn≥正整数N时，它们之间的减运算S1=S-N为如下运算：

从右至左检查S，如果遇到N_i=N，则将N_i除去，并重新调整下标；如果有N_i<N<N_i+1,则将N_i+1拆成两项N_i+1-1和N_i+1-1，如果N< N_i+1-1,则继续将右边的那个N_i+1-1拆成N_i+1-2和N_i+1-2，如此重复直到获得N_i+1-k=N，将两个N_i+1-k中的一个除去，且重新调整下标。

例子：S={39,26,24,13,8,5}, N=6，则S-6={39,26,24,13,7,6,5}

(iv.1) 降运算--：

当S的尾项（最右边那项）为0时，S的降运算S--为除去S的尾部（最右边）0。

例子： S={12,9,5,3,1,0}, S--={12,9,5,3,1}

（iv.2）分运算-：

单调正整数集S1={N1_j1} (j1=0,…,n₁ 单调上升且N1_j1随j1单调上升)与S2={ N2_j2} (j2=0,…,n₂ 单调上升且N2_j2随j2单调上升) 之间当N1_n1> N2_n2时可进行的分运算S=S1-S2为下述操作：

用S1运用上述减运算逐一除去S2中的元素。

例子：S1={6}，S2={5,4}，则S=S1-S2={4}

(v)集并运算#：

单调正整数集S1={N1_j1} (j1=0,…,n₁ 单调上升且N1_j1随j1单调上升)与S2={ N2_j2} (j2=0,…,n₂ 单调上升且N2_j2随j2单调上升) 之间的集并运算#为如下的操作：

a) 进行S1与S2的和运算：令S’=S1+S2

b) 对S’进行项并运算：S=^S’

在上面这些定义的基础上，如果有需要，我们还可衍生出幂集的乘运算与除运算的定义。

定义2. 幂集之项差集

令幂集S={N_i}, i=0,…,n，则S_d={Δ_i}为S的项差集，其中Δ_i=N_i-N_i-1，i=1,…,n 单调上升。假如n=1,则S_d为空集。

3. 考拉兹运算

定义3. 幂集之准考拉兹变换（运算）

令幂集S={N_i}, i=0,…,n，其准考拉兹变换为以下的操作：

a) 对S进行倍运算：

令S1=2S={N_i +1}, i=0,…,n

例子： S={ 11,8,4,2,0}，S1=2S={ 12,9,5,3,1},

b) 进行S1与S的并运算#然后进行增运算：

令S2={S1#S}++

例子：S2= S1#S={12,11,9,8,5,4,3,2,1,0,0}

c) 对S2进行项并运算^：

S2’=^S2={12,11,9,8,5,4,3,2,1,1}

S2’’=^S2’={12,11,9,8,5,4,3,2,2}

S2’’’=^S2’’={12,11,9,8,5,4,3,3}

S^[4]=^S2’’’={12,11,9,8,5,4,4}

S^[5]=^ S^[4]={12,11,9,8,5,5}

S^[6]= ^S^[5]={12,11,9,8,6}

伴随着上述准考拉兹运算，我们还可算出相应的项差集：

S_d={3,4,2,2}

S^[6]_d={1,2,1,2}

定义4. 幂集之考拉兹变换（运算）

考拉兹变换与上述的准考拉兹变换的区别为：准考拉兹运算不要求尾项（最右边的项）为0，而考拉兹运算要求初始的幂集的尾项为0，且在项并运算完成后要减去最后一项的值才成为考拉兹运算：

上面的例子的初始幂集{11,8,4,2,0}满足考拉兹运算的条件，只是在项并之后还要减去最后一项的值：

S^[6]’={12,11,9,8,6}-6={6,5,3,2,0}

可以看出S^[6]’_d= S^[6]_d。

4. 考拉兹猜想

有了上述幂集和项差集的定义后，考拉兹猜想可改写为：

任意幂集S={N_i} (i=0,…,n)可通过一系列考拉兹变换收敛为{0}。

5. 考拉兹变换长（下降）短（上升）周期

从尾项为0的幂集经过准考拉兹变换后如果其尾项为1，则为短周期（上升周期）；如果其尾项大于1，则为长周期（上升周期）。

6. 幂集的子集类型

6.1. 幂集之子集的三种类型（参见【[1]】）

类型I：项差集S_d的所有 Δ_i=1, 标记为S_I

类型II：项差集S_d的所有Δ_i=2, 标记为S_II

类型III：项差集S_d的所有Δ_i>2, 标记为S_III

6.2. 幂集子集的九种亚类型

类型I.1: 当最右边的一个子集为类型I，该子集称为尾I型

类型I.2: 当最左边的一个子集为类型I，该子集称为头I型

类型I.3: 当整个幂集S为类型I，S称为全I型

类型II.1: 当最右边的一个子集为类型II，该子集称为尾II型

类型II.2: 当最左边的一个子集为类型II，该子集称为头II型

类型II.3: 当整个幂集S为类型II，S称为全II型

类型III.1: 当最右边的一个子集为类型III，该子集称为尾III型

类型III.2: 当最左边的一个子集为类型III，该子集称为头III型

类型III.3: 当整个幂集S为类型III，S称为全III型

7. 相关定理

定理1.  连续N次考拉兹变换为短周期的充要条件是：初始幂集之尾部长度为N+1的子集为尾I型子集。

证：本定理的证明可由“关于考拉兹猜想的哲学分析”【[2]】一文中的定理3.1和3.2直接推出。

QED

定理2. 幂集S经过一次考拉兹变换收敛于{0}的充要条件是S为全II型幂集。

证：本定理可由“再给AI添点料”【[3]】一文的定理直接推出。

QED

定理3.幂集{n,0}不可能由任何其它幂集经过考拉兹变换获得。

证：这个定理由二进制展开证明比较方便。有兴趣的读者可以自己去试一下。这里略去。

8. 讨论

上述三个定理虽然简单，也涵盖了三种幂集类型的一些基本特征。

9. 例子

S={4,0}

S₁=2S#S={5,1}#{4,0}={5,4,1,0,0}={5,4,2}

S₂=S₁-2={3,2,0}

S₃=2S₂#S₂={4,3,1}#{3,2,0}={4,3,3,2,1,0,0}={5,3}

S₄=S₃-3={2,0}

S₅=2S₄#S₄={3,1}#{2,0}={3,2,1,0,0}={4}

S₆=S₅-4={0}

10.结束语

随着我对考拉兹猜想的了解的加深，我越来越相信考拉兹猜想应该是能够破解的。目前专业数学界流传的所谓的“考拉兹猜想超出了人类数学及AI所能触及的范围”这种说法用哲学进行翻译就是目前的数学界缺乏相关的语言储备。而哲学不但如怀特海所说的是以语言为基本工具更是如老子所意指的创造新语言储备的重要实践。如本博在“关于考拉兹猜想的哲学分析”【2】一文中提到的，本博有关考拉兹猜想的分析论证的一个重要的目的就是为今后AI或人工证明考拉兹猜想提供一些新的语言储备，而本博过去几周里所提出的定义，分类，定理，以及本文所介绍的幂集及其项差集的分析方法都是在为这一目标做些贡献。

【[1]】戴榕菁（2026） 进一步分析考拉兹猜想

【[2]】戴榕菁（2026）关于考拉兹猜想的哲学分析

【[3]】戴榕菁（2026）再给AI添点料