1，簡述

什麼是圓錐曲線？直觀而言且顧名思義，它們指的是在幾何學中由平面和直圓錐相交產生的曲線，如圖1所示。平面與圓錐相交的角度不同時，可以產生圓、橢圓、雙曲線、拋物線等。一般來說，我們將這幾類曲線統稱為“圓錐曲線”。從圖1中可以看出各種圓錐曲線的大致形態：圓和橢圓是閉曲線；拋物線是一條線；而雙曲線有兩個分支，等等。同時也看到在某些特殊角度下，曲線可能退化成直線的平凡情形。

圖1：圓錐曲線是平面與圓錐的交線（視頻）

圓錐曲線均為平面曲線，因此更方便在平面上定義它們。

平面上定義它們的方法有兩種：一是描述為移動點的路徑（軌跡）。也就是說，圓錐曲線是到固定點（焦點）的距離與到固定線（準線）的距離之比為常數的點的軌跡。這個比值稱為曲線的偏心率。如果偏心率為零，則曲線為圓；如果等於一，則為拋物線；如果小於一，則為橢圓；如果大於一，則為雙曲線。偏心率完全表徵了圓錐曲線的形狀，見圖2。

圖2：定義圓錐曲線為動點軌跡

圓錐曲線也可以在平面上解析地用一個形式為Ax² + By² + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0的二次多項式來定義，其中A、B、C不同時為0，方程可以簡化。

2，古希臘的研究

讓我們追溯一下圓錐曲線之歷史。說到平面幾何，大家都想到歐幾里得，但說到圓錐曲線，人們更容易聯想到解析幾何。然而，圓錐曲線研究的起源，仍然要歸功於2000多年前的幾位古希臘數學家：據說歐幾里德和阿基米德都研究過圓錐曲線，還有希波克拉底（Hippocrates of Chios，前470 –前410 ）等，不過大家公認的進步是始於墨奈克穆斯（Menaechmus，前380–前320 ）和阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，前262-前190）。

圖3：研究圓錐曲線的先驅

第一位研究圓錐曲線的是墨奈克穆斯，他是柏拉圖的學生。有意思的是，他的研究起源於尺規作圖“倍立方” 問題的研究。倍立方問題也叫提洛斯問題，因為它起源於一個傳說故事。

古希臘的提洛斯島（Delos，傳說是太陽神阿波羅的出生地）發生了一次瘟疫，當居民向阿波羅祈禱時，神諭說：“他們需要把正方體的祭壇加到兩倍，瘟疫才能停止”。

於是便有了這個柏拉圖也解決不了的倍立方問題，因為它涉及到已知單位長度要求2的三次方根：= 1.25992104989……是一個無理數，無限循環，不能精確地造出新的祭壇，使其體積兩倍於原來的，除非用幾何方法作出一個線段等於它。

圖4：倍立方問題

當年有位數學家叫希波克拉底，不是提出希波克拉底醫生宣言的那一個！希俄斯島的數學家希波克拉底對“化圓為方”也有研究並發現了“月牙定理”。他將倍立方體問題做了一點變動，轉化為尋找兩條線段長度的兩個比例中項的問題。

當a:x=x:b，則x= √(ab)就是a和b的比例中項（也稱“幾何平均值”）。當a=1，b=2時，這個線段是2的平方根，可以用尺規作圖作出來。但是在“倍立方” 問題中說的比例中項與上面定義有所不同，或許可以稱為二次比例中項：簡言之，問題中有兩個未知數x 和 y，滿足方程：a:x = x:y = y:b。例如，當b = 2a， 則可從上面方程解出：x = (∛2)a。也就是說需要尋找2的三次方根(∛2)，這在當時是不可能的。因此，對於長度為 a 和 b 的一對給定線段， 若能（用幾何方法）找到x (∛2)a，則可以解決 “倍立方” 問題。

人們折騰半天也無法將 “倍立方” 問題用嚴格的尺規作圖法解決。因此，數學家們便退而求其次，加上一點輔助工具。最早的解決方法之一是由比柏拉圖晚了約半個世紀的墨奈克穆斯用加上（拋物線）給出的。墨奈克穆斯 還定義了其它圓錐曲線，因此，在數學史上，墨奈克穆斯被認為是最早定義圓錐曲線 （conic section）的人，這比當時解決“倍立方” 問題，具有大得多的數學（科學）意義。

圖5：不能尺規作圖的倍立方問題

用現代解析幾何的語言來描述，墨奈克穆斯對 “倍立方” 問題（非尺規作圖）方法的解決用了兩條拋物線： x² = ay 和 y² = 2ax。 不難證明， 這兩條拋物線除原點以外的交點的 x 坐標為 x = (∛2)a， 正是讓邊長為 a 的立方體體積加倍所需的邊長，見圖6。

拋物線x² = ay整條線不能用尺規作圖畫出來，但可以用尺規作圖得到它上面的每個點，因為x是a、y的（一次）比例中項。

圖6：墨奈克穆斯分析倍立方問題

最後，為圓錐曲線命名，第一次採用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線，並作全面總結是阿波羅尼奧斯，他的著作《圓錐曲線》是其中的巔峰之作，是古代世界最偉大的科學著作之一。阿波羅尼奧斯的成就巨大，以至於在後面的上千年裡，在圓錐曲線研究方面，都沒有什麼突破。

千年後的突破伴隨着在天文學、力學和光學中的應用。

3，應用

與圓錐曲線相關的聚焦光線一類的應用很早就有，例如傳說中的阿基米德發明了“聚光鏡”成功擊退敵軍的故事等。

1609年，德國著名數學家開普勒（Kepler，1571—1630）發表了他的行星運動定律：每一個行星沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上。據說開普勒最早使用“焦點”一詞，後來的德威特發明了“準線”一詞。伽利略（Galilei，1564-1642）研究地面上的彈道軌跡，得出它們是拋物線的結論。加上後來望遠鏡的發明。這些應用成果讓圓錐曲線的研究再次揚帆起航。

圖7：開普勒行星運動定律

伽利略既是天文學家數學家，又是物理學家和工程師。他發明製作了第一台天文望遠鏡並改進了望遠鏡的光學性質，他也發現了地面上物體斜拋運動的軌跡是拋物線的事實，這些都促進了圓錐曲線的應用和研究。

圖8：伽俐略確定彈射軌跡是拋物線

圓錐曲線的應用主要是在光學和天體運動方面，天文望遠鏡的發明和應用將這兩方面聯繫起來，兩者對現代科學誕生和發展的作用無需多言。

圓錐曲線有特別的光學性質，舉反射而言：

1從橢圓的一個焦點出發的光線，經過橢圓的反射，經過另一個焦點；

2從雙曲線的一個焦點出發的光線，其反射光線的反向延長線過焦點； 　　

3從拋物線焦點出發的光線，其反射光線平行於對稱軸。

這種光學上的聚焦性質，是焦點一詞的來源。圓錐曲線的光學性質在生活中有着很廣泛的應用。如探照燈、太陽灶、聚光燈、雷達天線、衛星天線、射電望遠鏡等。  

除了天文學之外，圓錐曲線也出現在微觀粒子的散射問題中。一般人比較生疏的雙曲線，也在計算彗星軌道時被研究。雙曲線主要應用在建築領域。

4，對科學的意義

圓錐曲線的發現和研究對光學、天文、物理、科學的發展意義重大。直到現在，圓錐曲線無論在數學以及其他科學技術領域，還是在我們的實際生活中，都占有重要的地位。

圓錐曲線於17-18世紀在物理學中的應用和影響，絕對超乎古希臘數學先驅們的想象，即使是現在，我覺得也很難找出一類曲線，是如此地深入到科學技術之中。

對圓錐曲線的研究是將幾何與代數結合在一起的最早研究，早期阿基米德對拋物線下面積的計算中，就閃現着微積分的思想火花。圓錐曲線可算是幾何問題與代數問題相融合的最佳範例，對它們的研究促進了坐標系的建立。笛卡爾（René Descartes，1596—1650）和費馬（ Pierre Fermat，1601-1665）創建的解析幾何，又使得對圓錐曲線研究達到了高度的概括與統一。從解析幾何，可得到圓錐曲線的方程，利用方程又便於研究圓錐曲線更多的性質，擺脫幾何直觀而達到抽象化的目的。

據我所知，古希臘對圓錐曲線的研究似乎是獨一無二的。沒有發現任何中國古代數學家研究過圓錐曲線，印度和阿拉伯世界對圓錐曲線的了解最早也是從古希臘傳過去的。因此，圓錐曲線對科學技術的意義，再次證明古希臘數學對現代科學的貢獻。

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