AB效应和贝里相位 

2022年的诺贝尔物理奖，颁发给了与“量子力学基础理论”相关研究的三位物理学家，他们证伪了贝尔不等式，证明了量子力学的非局域性（见本人的上一篇博文）。实际上，还有另外两位物理学家也在量子力学基础理论研究方面做出了诺奖级别的贡献，他们的工作是有关“ab效应和贝里相位”。我原来觉得后者得奖的可能性大于“证伪贝尔不等式”的，所以写了下面这篇文章。尽管这两位最后没得奖，但他们的工作值得一读。（并请观看YouTube视频！）

前言

AB效应和贝里相位是现代物理中十分重要的概念，它们揭示了经典电动力学及量子物理发展过程中，两者之间具有深刻矛盾的一面。这两个概念紧密相关，但是它们的发现却相差了二十几年。AB效应是亚基尔·阿哈罗诺夫和他的博士导师大卫·博姆于1959年在英国布里斯托大学一起工作时提出的。贝里相位则由贝里1984年发现。

1，亚基尔·阿哈罗诺夫

亚基尔·阿哈罗诺夫（Yakir Aharonov， 1932 年-）出生在英国托管的巴勒斯坦（现以色列国）海法。他在以色列理工学院接受本科教育，并获得理学学士学位。 1956 年，他在以色列理工学院继续他的研究生学习，然后与他的博士生导师 David Bohm 一起搬到了英国的布里斯托大学，于1960 年获得了博士学位。

图1：阿哈罗诺夫

之后，阿哈罗诺夫曾在以色列和美国的多所大学任教，目前是加利福尼亚州查普曼大学的理论物理学教授。研究方向为量子力学及量子场论中的拓扑效应，对量子理论的诠释等。

阿哈罗诺夫因发现现代物理学的基石之一 Aharonov-Bohm 效应（简称AB效应）而于 1998 年获得了著名的沃尔夫奖。他还是 2009 年总统国家科学奖章的获得者，“以表彰他对量子物理学基础的贡献，以及从阿哈罗诺夫-玻姆效应到弱测量理论等领域的意想不到的影响” 。

更为准确地说，上世纪六十年代，阿哈罗诺夫与他的博士导师玻姆一起，研究电磁作用中一个重要的量子效应，并设计了一个巧妙的实验来验证这种效应，最后他们的想法多次被实验证实，由此对量子物理做出了基础性的重要贡献。

2，迈克尔·贝里

贝里（Sir Michael Berry， 1941年-）

英国数学物理学家，布里斯托尔大学教授。1982年成为皇家学会会员，1996年被授以爵位。他主要以贝里相位而知名，该现象可以在量子力学和光学实验中观察到，是一种拓朴相位。贝里在一个犹太家庭长大，是伦敦出租车司机和裁缝的儿子。贝里拥有埃克塞特大学的物理学学士学位和圣安德鲁斯大学的博士学位。

贝里的整个职业生涯都在布里斯托大学度过：从研究员到物理学教授，1988-2006，他担任皇家学会研究教授。

图2：迈克尔·贝里和他研究的“磁悬浮青蛙”

迈克尔·贝里除了因提出几何相而出名之外，还因为与安德烈·海姆研究“磁悬浮青蛙”，于1996年指出旋转的磁体可以不受恩绍定理而悬浮，而获得2000年的搞笑诺贝尔物理奖（Ig Nobel Prize for Physics）。安德烈·海姆后来因为对石墨烯的开创性实验研究而获得2010年诺贝尔物理奖，贝里也曾得到过沃尔夫物理奖等多种奖项。由此可见，搞笑诺贝尔奖也不仅仅是一种戏谑调侃，可能更多的是体现了一种幽默，得奖者中也不乏创意之人，比如贝里和海姆两位。

3，AB效应

3.1 起源

力和能量都是比较基本的物理概念。因为经典物理始于牛顿力学，所以大多数人更为熟悉“力”。例如，高中物理中就学过电场E和磁场B的概念，它们分别被定义为“单位电荷所受的电场力”和“单位长度通电导线受到的磁场力”。换言之，对电荷产生影响的是力，或者说是电场E和磁场B。那么，如果在电子运动的空间中，每一个点的电场和磁场都为0的话，对电子的运动就应该没有影响。

前面最后一句好像是废话：既然“电场和磁场都为0”，对电子运动的影响从何而来呢？这个问题显得有点可笑！然而，40多年前的阿哈罗诺夫就纠结于这个“可笑”的问题中。

实际上，描述电磁场有两种方式：一是用电场磁场（E和B），另一种是用电磁势（A，φ）。前者基于“力”，后者基于“能量”。传统概念认为“力”比“能量”更基本，也就是说，从经典麦克斯韦电磁理论的观点，认为电场E和磁场B是更基本的、具观测效应的物理量，标量势φ和矢势A呢，是为了计算方便而引入的可有可无的东西，仅仅具有数学意义，并不代表物理实质。并且，电磁势还不是唯一的，不同的规范选择下的电磁势（A，φ）可以对应于同样的（E，B），这点可以用“势能“概念作类比：决定引力大小的，不是绝对势能值，而是高度差。

然而，随着量子力学的建立， “力”概念逐渐淡出，变得次要，而“能量”概念越来越起主导作用。那是因为粒子具有波粒二象性，没有确定的轨道，难以谈“力”，“能量”则对宏观微观都适用。因此，在电子的薛定谔方程中，一般使用电磁势而不是场强，于是便提出了”哪一套物理量（A, φ还是E, B）更为基本?”的问题。

上世纪60年代是量子理论中高能粒子物理及标准模型等蓬勃发展的时期，阿哈罗诺夫和玻姆，却没有追踪这个热门浪潮，孤独地扑在两个基本物理量（“力”和 “能量”）的关联上，提出了一个意义深刻的思想实验^【1】。

3.2 实验设计和结果

电磁理论中的电标势φ和磁矢势A，真的只是数学工具，没有“真实”物理意义吗？

阿哈罗诺夫和玻姆认为，问题应该由物理实验来回答。他们寻找特别情况，为运动电子构想只有电磁势(A, φ)，没有电场磁场（E或B）的环境，巧妙地来证实磁矢势A和标势φ是有物理意义的。他们当时设计了电AB效应和磁AB效应两种方案，电AB效应却一直未能实现，但磁AB效应很快就实现了，并已被多次证实，这儿我们只介绍磁AB效应。

他们的实验设计思想如下：

图3：磁AB实验  (请观看YouTube视频)

考虑一个理想化的通电螺旋线圈，如图3a所示，电流在线圈内部产生磁场。如果线圈非常细又非常长，磁场B将完全被限制在螺旋管内部。在螺旋管外部的整个空间里，电场E和磁场B都为零，但是，磁矢势A却可以不为0。

此外，量子力学中有一个著名的杨氏双缝电子干涉实验（图3b）^【2】。在双缝实验中，电子通过两条狭缝后，荧光屏上出现干涉条纹，从而证实了电子的波动性。

图3c便是阿哈罗诺夫和玻姆的实验构想：在双缝实验的两个狭缝间靠近狭缝处，插入一个非常细无限长的通电螺线管。实验分两步进行，第一步时线圈中不通电，调节光路使得屏幕上出现明暗相间的干涉条纹。然后，再将线圈通电。这时候，实验结果也是干涉条纹，两次的干涉条纹会发生变化而不同吗？

线圈不通电，内部外部都是E=0，B=0，A也为0。线圈通电，但紧密缠绕的螺线管将磁场完全包在了它的内部，外部磁场仍然为0，不过，外部的A不为0。

从经典电磁理论观点分析，两种情况下电子运动的空间以内均无电磁场，干涉图像不会变化。虽然圈外的磁矢势A不为0，但经典理论认为A不影响电子运动。

然而，如果用量子理论来计算，却会预期一个不同的结果，这便是两位理论物理学家阿哈罗诺夫和波姆所作的工作。他们认为，通电螺线管的存在会使原来的干涉条纹产生移动，像图3d 所显示的那样。如果通过螺线管的电流反向，干涉图像移动的方向也会反向。

在阿哈罗诺夫和波姆的文章中，他们进行了理论计算，详细设计了验证的实验。他们的想法和思想实验引起了广泛的关注。之后的近30年内，有许多人进行了与此相关的实验，得到两位学者预期的结果。但是，物理学家们却总是对此结果争论不休，认为理论有缺陷，实验也可能存在漏磁现象。一直到了1986年，日立公司的科学家Tonomura等人的严格无漏磁通的实验^【3】，才终于得到了学术界的最后认可。后来在超导体中也得到验证。至今，又过去了几十年，AB效应已被物理学界完全肯定，并写入了教科书,，成为量子力学教材中不可缺少的基本概念。

3.3 定域性和非定域性

AB效应之所以引起物理界关注几十年，因为它涉及到量子理论的根本问题：定域性还是非定域性？也就是与爱因斯坦和波尔“世纪之争” 相类似的问题。AB效应，以及对贝尔1964年提出的贝尔不等式的实验验证，最终都证明了量子理论是非定域的。

经典的麦克斯韦方程是定域性质的微分方程。这种定域的描述方式是很容易得到公认的，如此描述的物质间的相互作用是由场传递的接触作用。它克服了牛顿力学“超距作用”的困难，将带电粒子运动状况的变化归结为每一点的场对它逐点作用的结果。因此，经典电磁理论认为，只有空间中每一点的电磁场的强度，以及它使得运动电子经过该点时所受到的电磁力，才是基本的，才具有可观察的物理意义。认为电磁势不是物理可观察量的另一关键点是：电场和磁场是规范不变的，而电磁势在不同的规范下则取不同的值。

什么样的物理量是基本的，代表物理实质呢？举个例子让你更深入理解这点。

几万伏特的高压电线是很可怕的，但是，停在上面的鸟儿却仍然活蹦乱跳，丝毫感受不到危险，大家都知道这是为什么。那是因为我们是站在地面上，高压线的电压相对于地面的数值很高。尽管如此，但在鸟儿能接触到的局部小空间范围内，这个值却没有什么物理意义。鸟儿能感受到的、对它能表现物理效应的，是它两只脚两点间的电压差，而不是某点电压对地的绝对数值。

因此，对鸟儿来说，完全可以作一个电压的平移变换（V->V’），将电线上某点的电压值设为0。这样来研究问题，计算要简单些。因为有物理意义的电压差（V₁-V₂）是在平移变换中保持不变的，所以鸟儿感受到的物理效应在变换下将没有任何区别。电磁理论中的规范变换便与此有点类似，当然比鸟儿问题要复杂许多，但却同样也能起到简化计算，保持物理基本量不变的效果。

在经典和量子的冲突中，有两个问题需要澄清。

首先，经典理论认为物体间的相互作用是定域的，意味着相互作用只能在“附近”发生，也就是说任何物理效应都不可能以大于光速的速度传递，所以，定域性似乎保持了事件之間的因果性。然而，量子现象（例如AB效应和贝尔实验）却打破了定域性的概念，证明了量子理论是非定域的，那这是不是说量子理论允许超光速，违背了相对论呢？

事实上，相对论说的是能量和信息的传播速度不能超过光速，量子现象中的超光速也许可以不解释为这种情况。因此，量子理论非定域，不一定违反因果律。

第二个问题是：在AB实验中，是否存在某种规范变换，使得线圈外所有点的磁矢势A都变成0呢？

答案是否定的，因为AB效应与几何相位（也称拓扑相位）的概念有关，下面我们将看到：几何相位与电子运动的动力学无关，而是仅仅与电子运动空间的拓扑结构有关，因此，一定的空间拓扑下，规范变换不能使电磁势完全变成0！

4，几何相位

4.1 相位

大多数读者都理解“相位”的概念，简单通俗地说，相位就是周期函数中旋转的角度，因此，一般来说，相位的数值从0到360度变化。描述波动的两个最简单参数是相位和振幅，比如举光波为例：振幅平方代表光强，相位的变化代表频率，即颜色。干涉现象的本质便是相位起作用（同相加，反相减）的结果。

上述的相位概念与波动的能量和时间有关，属于“动力学相位”。后来，科学家们发现了另外一种“取决于循环路径的空间几何形状（或拓扑）”的相位，称其为几何相位，以示区别。几何相位在近代物理学中非常重要，特别是在量子力学中，越来越显示其重要性。不过，物理学家们对几何相位的认识还刚开始，正处于逐步深化的过程中。

杨振宁在很多场合强调过两件事，1，相位是20世纪物理学的三大主旋律之一；2，相位的根源在于几何而非动力学。杨先生在这儿强调的正是几何相位^【4】。

第一个发现几何相位的，并不是贝里，而是一位印度物理学家S. Pancharatnam于1956年发现的，遗憾这位印度人还未对几何相位作更深入的研究，30出头就去世了。

接着，在1984年，物理学家们尚未完全认可AB效应之时，英国布里斯托尔大学跳出来这位叫贝里的数学物理学家。贝里向物理学家们发出警告^【5】：一个量子体系随参数缓慢变化再回到原来状态时，可能会带来一个额外的相位因子。贝里认为这个相位因子不是由动力学产生的，而是由（某个）空间的几何性质而产生的，因此称之为几何相位。此外，贝里证明了这个相位因子是规范不变的，因而它很有可能具有可观察的、不可忽视的物理意义。贝里认为，AB效应便能用这个几何相位因子来解释^【6】。

借用一个比喻，贝里的意思是说，在倒掉洗澡水的时候要小心哦，里面可能有小孩！什么时候洗澡水中会有小孩（几何相位因子）呢？且听慢慢道来。

4.2几何相位经典例子

贝里是在研究量子混沌的时候发现贝里相位的。我们首先了解和解释一个经典例子，可以使我们更容易理解量子力学中的几何相位。

图4：矢量平行移动一周后的变化（a）平面（b）球面

图4是在平面和球面上分别作平行移动的例子：女孩从点1到点2再到点3，一直到点7，作平行移动一圈后回到点1（1和7是同一点）。所谓‘平行移动’的意思是说，她在移动的时候，尽可能保持身体（或是她的脸）相对于身体的中心线没有旋转。这样，当她经过1、2、3……回到1的时候，她认为她应该和原来出发时面对着同样的方向。她的想法是正确的，如果她是在平面上移动的话（图4a）。但是，假如她是在球面上移动的话，她将发现她面朝的方向可能不一样了！图4b中红色箭头所指示的便是她在球面上每个位置时面对的方向。从图中可见，出发时她的脸朝左，回来时却是脸朝右。这是怎么回事呢？关键是球面与平面不同的几何性质起了决定性的作用。

所以，从上面的例子得出一个结论：贝尔所说的“洗澡水”中有时有小孩，有时没小孩。在上述的例子中，如果在平面上“洗”（平行移动），洗澡水中没小孩。但如果是球面上洗，那就要小心了，不要糊里糊涂地把水给倒了，可能有个小孩在水里！

这个例子中，我们说，矢量方向改变的效应是几何的，不是动力的。怎么样改变就算是动力的呢？比如说，女孩自己将身体旋转，扭来扭去，或者是在移动的过程中，被别的人或物体碰撞而产生了方向变化，或者说，女孩是在风中移动，状态随时间而改变积累起来的方向变化等等，都应算是动力性质的。除去这些因素，只是因为经过路径所在的空间的几何性质，如前所说的平面或球面之不同而造成的方向改变，就是几何的了。

4.3 AB效应的贝里相位

刚才是经典比喻，在量子世界中的贝里相位也是这样，有时是0，可以忽视；有时则不能忽视，比如上面介绍的AB效应中，就有一个不可忽略的贝里相因子。

什么时候可以忽略，什么时候不能忽略，则取决于电子空间路径的几何性质。

从量子力学的观点看，电子具有波粒二象性，它的运动用波函数来描述，这是量子理论与经典理论的根本区别。任何波动，除了振幅之外，还有相位。双缝实验中屏幕上的干涉条纹，也就是从A和B经过两条路径的电子波之间的相位差F_C0而产生出来的，如图5a。

图5：磁AB效应中通电线圈引起的相位因子F

现在，放了通电线圈之后，实验中观察到干涉图像产生了移动，如图5b。那说明A路径和B路径之间的相位差发生了变化。如果我们用量子力学的理论，分别在没线圈和有线圈的时候进行计算，的确发现通电线圈的存在，在两条路径中引入了一个额外的相位因子。如图5a、b、c中的情况，相差了一个相位因子F。

这个相位差只依赖于螺线管里的磁通，不依赖于电子是否受到电磁场的直接作用。AB效应深层次揭示了量子力学的非定域性与空间拓扑性质的关系：当螺线管里的磁通存在时，电子围绕这一复连通空间转一圈，就会多一个几何相因子。

这个相位因子，与电子经过路径上的电磁场强度无关，而是与原来认为不是物理实在的电磁势(A, φ)有关。实际上，它就等于矢量势A，沿着路径B到C，然后再从C返回B，绕线圈转一圈的环路积分。（在这儿，我们将靠得很近的A和B算作了同一个点B。）

那么，如果认可AB效应的实验结果，原来对电磁势的看法就要重新考虑。电磁势可能在某种意义上也代表了物理实在哦！换言之，仅仅用场强来描述电磁现象似乎还不够，还得把电磁势加上去。

贝里还证明了这个相位因子是规范不变的，因此，只要线圈中有电流，即使线圈外每点的场强都是0，也能观测到磁场的影响，由此而证明了AB效应的非定域性。

4.4 AB效应和空间拓扑

也可以从拓扑的角度来解释AB效应。得到不可积相因子F的根源，是来自于那个细长螺线线圈中的磁通量。磁场改变了空间的拓扑性质。没有磁场时，空间是平庸的、单连通的普通三维空间。这儿简单地解释一下什么是“单连通”：如果一个区域中的任何一条闭曲线，都能连续地收缩到区域中任何一点，此区域便被称为单连通的。以图6的二维图形为例，图6a淡蓝色图形中的任何曲线，例如与图中那条从B出发、到C、再回到B的类似曲线，都可以连续地变小而收缩到任何点。这说明那块淡蓝色图形是“单连通”的。但是，如果在这个区域中挖一个或几个洞，成为像图6b所示的淡蓝色区域，情况便会有所不同。如果区域中的某条闭合曲线，有“洞”被包围其中的话，就不可能连续收缩到一个点了。这种图形空间便成为“多连通”的，也就是拓扑非平庸的了。

在AB效应中，通电螺线管的存在相当于在电子运动的三维空间中挖了一个长条线形的洞，使空间变成了非平庸的，也使得电磁矢量势绕着螺线管积分一圈后，出现了一个不可积的相位因子F。因此，这个相位因子F，并不是与每一点的局域电磁场（或电磁势）有关，而是与电磁势绕环路一圈的积分有关，这说明了什么呢？比较微分而言，积分体现的是一种整体性质。那么，这就说明AB效应不是一个局部效应，而是电磁势产生的一个整体效应。

图6：单连通和多连通

因此，Berry几何相因子的研究使人们认识到量子系统（乃至经典系统）的整体性质的重要性，这也就是如今它成为了量子理论中一个普遍存在的重要概念的原因。在数学上能描述空间整体性质的理论就是拓扑学。如刚才所述，利用电磁场空间的连通性质便能解释经典理论难以解释的AB效应，那么，也许还有许多奇妙的量子现象，可能都和空间的拓扑性质有关系，或许能用整体拓扑的概念来解释它们。

事实上的确是这样。不过，刚才我们经常说到的“空间”，则远远不是仅限于我们生活于其中的三维空间了。量子理论中“空间”的概念是多样化的，可以是真实的4维时空，也可以是相空间、晶体的倒格子空间、布里渊区，以及所谓系统的内禀空间，包括自旋空间、描述系统哈密顿量的参数空间、波函数的希尔伯特空间等等。到底需要考虑哪个空间的几何拓扑性质，必须根据具体问题而具体分析。

4.5 AB效应和几何相位的意义

阿哈罗诺夫-波姆效应之所以引起重视，是因为它证明了电磁势（包括矢量A及标量势φ）的重要性，以及与其相关的电子波函数的相位的重要性。

 “AB”这个名称取自在1959年设计这个实验的两位理论物理学家亚基尔·阿哈罗诺夫和戴维·博姆姓名的首字，巧合的是，物理学家也用A表示磁矢势，B表示磁场，赋予AB 效应这个名字更加深刻的涵义。这个物理学实验是量子力学和电动力学发展史上的重要实验，说明了量子力学的非局域性质。

AB效应和贝里相位的研究，深层次揭示了量子力学的非定域性与空间拓扑性质的关系，使物理学家们从拓扑的、整体的观点来研究物质的不同形态。这对凝聚态物理中近年来发现的各种量子相变现象的研究特别有用。如量子霍尔效应中^【7】，不同的霍尔量子态对应不同的拓扑不变量，拓扑相变，成为近年来物理学研究中的热门课题。

参考资料：

【1】Aharonov, Y.; Bohm D. (1959)."Significance of electromagnetic potentials in quantum theory". Phys.Rev. 115: 485-491.

【2】作者科学网博文《走近量子纠缠》- 杨氏双缝电子干涉实验：

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&id=534092

【3】Osakabe, N., T. Matsuda, T. Kawasaki, J.Endo, A. Tonomura, S. Yano, and H. Yamada, "Experimental confirmation ofAharonov-Bohm effect using a toroidal magnetic field confined by asuperconductor." Phys Rev A. 34(2): 815-822 (1986).

【4】Chen-Ning Yang，Einstein's impact on theoretical physics，Physics Today 33, 6,42 (1980)

【5】M. V. Berry (1984). "Quantal PhaseFactors Accompanying Adiabatic Changes". Proc. R. Soc. Lond. A 392 (1802):45–57.

【6】《简单物理系统的整体性：贝里相位及其他》，李华钟著，上海科学技术出版社，1998。

【7】Quantized Hall Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential，D. J. Thouless, M.Kohmoto*, M. P. Nightingale, and M. den Nijs，Phys. Rev.Lett. 49, 405–408 (1982)。

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