在谈到实验之前，还得顺便提一句，我们在此系列文章中，所谈到的量子纠缠，以及推导贝尔不等式的过程，用的都是EPR佯谬的简化波姆版。也就是说，我们使用了两个不同的自旋（‘上↑’和‘下↓’）来表述量子态，这使得问题叙述起来简化很多，因为在这種只有2个離散变量的情况下，单个粒子的量子态，只对应於2维的希尔伯特空间，（注∶希尔伯特空间可理解为维数扩展到包括无穷大的欧幾里德空间。） 两个粒子的纠缠态，只对应於4维的希尔伯特空间。在爱因斯坦等人的原始文章中，他们是用两个粒子的位置及动量来描述粒子之间的‘纠缠’。使用EPR原文的那種方法，描述和推导都非常地復杂，因为位置或动量对应的是连续变量，即无穷维希尔伯特空间的情况。不过，在实际的物理理论和实验中，两種说法都会用到，分别被称为∶‘離散变量’和‘连续变量’的纠缠态。我们在此简要地说明了一下它们的区别，以使读者今後在文献中碰到这两个词汇时，能感觉更少一些的雲遮雾障。

在我们这篇文章中，为简单起见，大多数时候都用自旋来描述量子态。回头看看前面的幾节，我们已经用文字介绍了‘叠加态’和‘纠缠态’，恐怕现在应该是用点简单的数学符号来重新整理这些概念的时候了。

我们可以用两个不同的符号∶S₁和S₀，来表示两个不同的量子态。比如说，刚才所提到的‘上’、‘下’这两種不同的基本自旋态。

这兒的S₁和S₀是‘纯本徵态’。这个‘纯’字，是相对於‘叠加’而言的。就是说，一个粒子的‘叠加态’，可以写成两个‘本徵态’的线性混合叠加∶

叠加态 = a*S₁ + b*S₀         （8.1）

这兒的a、b是任意满足（a**2+b**2=1）的復数，对应於两个本徵态在叠加态中所占的比例系数。当a=0，或者b=0时，叠加态就简化成两个本徵态。两个比例系数的平方∶a**2或b**2，分别代表测量时，测得粒子的状态是S₁或S₀的幾率。

比如，在杨氏双缝实验中，电子或光子位置的叠加态可以写成∶

双缝态 = a*缝₁ + b*缝₂

薛定谔理想实验中的猫，也可以写成叠加态的形式∶

猫态 = a*活猫 + b*死猫

还可以把这个例子再具體化一些。比如，如果在实验中我们知道∶a=0.8，b=0.6，那厶，打开盖子时，活猫的幾率是0.8**2=0.64，而死猫的幾率是0.6**2=0.36。或者说，实验者有百分之六十四的概率看见一隻活蹦乱跳的猫，而只有百分之三十六的概率看见一隻死猫。感谢上帝，他不会看到一隻可怖的又死又活的猫！那種‘猫态’只有可能存在於打开盖子之前，薛定谔及爱因斯坦等經典派认为那種猫很可怕，不可思議，因此而提出佯謬來質疑量子力學荒謬。但波尔一派怎厶说呢？波尔说∶打开盖子前，猫根本不存在，不用去想它是什厶状态，毫无意义的问题！

在上述两个例子中的状态，诸如∶缝₁、缝₂、活猫、死猫，都是‘本徵态’。根據上面的公式（8.1），可看出∶叠加态是普遍的大多数，而‘本徵态’只代表（a=1,b=0）或者(a=0,b=1)的少数極端情况。还可以看出，如果一个粒子处於本徵态，那厶，它的测量结果是確定的（幾率=1）。因此，‘本徵态’又被称做‘定态’。

定态是確定性的，只有叠加态才表现出量子力学‘既在这兒、又在那兒’的诡異特徵。现在，我们从简单的数学表述，更为深刻地理解了本文第一节中的一段话∶“叠加态的存在，是量子力学最大的奥秘，是量子现象给人以神秘感的根源，是我们了解量子力学的关键。”

那厶，使用刚才的符号，‘纠缠态’又应该如何表示呢？我们从最简单的两个粒子的纠缠说起。首先，现在有了两个粒子A和B，它们分别都有两種定态（A₁ 、A₀和B₁ 、B₀）。因此，它们的单粒子定态可以组成4種双粒子定态∶

A₁B₁、A₁B₀、A₀B₁、A₀B₀。

类似於1个粒子的情形，这4種定态可以线性组合成许多混合叠加态。这些叠加态可以分成两大类∶纠缠态和非纠缠态。如果一个双粒子叠加态可以写成各自粒子状态的（张量）乘积的话，就是非纠缠态，比如下面是一个非纠缠态的例子∶

非纠缠态例子 = A₀B₀ - A₀B₁ + A₁B₀ - A₁B₁ = (A₀ + A₁)*( B₀ - B₁)

因为它可以写成第一个粒子的叠加态∶(A₀ + A₁)，

和第二个粒子的叠加态∶(B₀ - B₁)，之乘积形式。

提醒一下，在上面的幾个表达式中，我们略去了幾率归一化的系数a,b（a**2+b**2=1）等，以後也都略去不写。

现在，如果我们研究下面这幾種双粒子叠加态∶

纠缠1 = A₀B₁ - A₁B₀               （8.2）

纠缠2 = A₀B₁ + A₁B₀               （8.3）

纠缠3 = A₁B₁ - A₀B₀               （8.4）

纠缠4 = A₁B₁ + A₀B₀               （8.5）

就会发现，它们无法表达成单个粒子状态的乘积，也就是说，两粒子的状态纠缠在一起，不可分开。因此，薛定谔把这種多粒子的複合态命名为纠缠态。

除了前述的4个之外，还有很多纠缠态。纠缠态是多粒子量子系统中的普遍形式。上面（8.2）-（8.5）所列的4个特殊纠缠态，被称之为贝尔态。

回到薛定谔的猫的故事，实际上，薛定谔的猫态並不是简单的死猫和活猫的叠加态，而应该写成‘猫’和实验中‘放射性原子’两者的纠缠态∶

猫和原子纠缠态 = 活猫*原子_未衰变 + 死猫*原子_衰变了

我们再次重複量子论的解释。上面表达式的意思是说∶薛定谔的猫與原子组成的两體系统，处於两个定态的混合∶

定态1 = 原子未衰变、活猫；

定态2 = 原子衰变了、死猫。

盒子打开之前，总状态不確定，是定态1和定态2的混合。盒子打开，总状态塌缩到两个定态之一，幾率各半（這兒的a=b=1，不同於前面a=0.8、b=0.6的情况）。

现在再回到贝尔不等式。大家还记得，在上一节中，我们是用经典概率方法导出这个不等式的。所以，经典孙悟空的行动一定会受限於这个不等式。量子孙悟空又如何呢？会不会遵循这个不等式？简单的理论推导可以证明∶量子孙悟空的行为是违背贝尔不等式的。

EPR佯谬中对应的量子纠缠态可以用上面的贝尔态（8.2）来描述。它对应的是自旋单态粒子纠缠对。根據量子力学，如果在夹角为θ的两个不同方向上对这个纠缠态的粒子进行观测，理论预言的关联函数平均值将会是（-cosθ）。这个结果的推导过程需要用到量子力学自旋的计算，在此不表。但是，我们可以利用这个结论，加上幾步简单代数运算，来检验量子力学是否符合贝尔不等式。

从上一节得出的贝尔不等式∶|Pxz-Pzy|<= 1+Pxy，其中的x、y、z不一定需要構成3维空间的正交系。比如说，可以取位於同一个平面上的三个方向，依次成60度的角。这样就有∶

Pxz = Pxy = -cos（60度） = -1/2，

Pzy = -cos（120度） = 1/2，

代人贝尔不等式左边，则为∶|-1/2-1/2| = 1，

代人贝尔不等式右边，则为∶1-1/2 = 1/2，

因此，对量子力学的这種情况，贝尔不等式不成立。

刚才的例子说明量子理论已经违背了贝尔不等式，实验结果又如何呢？尽管纠缠态是多粒子量子系统中的普遍形式，但是，要在实验室中得到‘好’的纠缠态，可不是那厶容易的。有了纠缠度高、效率高，稳定可靠的纠缠态，才有可能在实验室中来验证我们在上一节中说到的贝尔不等式，作出爱因斯坦和量子力学谁对谁错的判决。也才有可能将量子纠缠态实际应用到通讯和计算機工程技术中，实现我们在本系列文章中将要谈到的‘量子传输’及‘量子计算機’等等，那些激动人心的高科技中的高科技。

上世纪的70年代早期，一个年轻人走进了哥伦比亚大学‘吴夫人’（美籍华人物理学家吴健雄）的实验室，向吴夫人请教20多年前，她和萨科诺夫第一次观察到纠缠光子对的情况，那是在正负电子湮灭时产生的一对高能光子。当时的吴夫人没有太在意年轻学生提出的这个问题，只让他和她的研究生卡斯蒂谈了谈。

这位年轻人名叫克劳瑟，出生於加里福利亚的物理世家，因为他的父亲、叔叔、及家中幾个亲戚都是物理学家，克劳瑟从小就聽家人们在一起探讨争论深奥的物理问题，後来，他进了加州理工大学，受费曼的影响很大，开始思考量子力学基本理论中的关键问题，他把一些想法和费曼讨论，並告诉费曼说，他决定要用实验来测试贝尔不等式和EPR佯谬。 他自己後来半开玩笑地描述当时费曼的激烈反应∶“费曼把我从他的办公室里扔了出去！”

贝尔定理和贝尔不等式被誉为“物理学中最重要的进展”之一。之後，贝尔不等式被一个紧紧纠缠在一起的美国物理学家四人小组（CHSH）的工作所改良，称为CHSH不等式。这四个人的名字是∶克劳瑟、霍恩、西摩尼、霍尔特。上面提到的克劳瑟是其中之一。

後来，克劳瑟及其合作者，果然成为CHSH-贝尔不等式实验验证的第一人。

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