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继续扯南山盖北海。如前所说，俺主要计划胡掰现在物理天空下可能存在的两多乌云。上次俺胡掰一通后，就隐约感觉到四周潜伏着的巨大杀机，俺分明感觉到以小快和几位非典教授手提板斧在俺帐前晃动......而且袈裟道长也警告了，这几位看上去是数学家，其实暗地里也干物理学家的勾当，和周老虎、阿胖那样比较纯粹的物理学家有所区别，让俺加强点岗哨防备着点。
计划先扯第一朵：可能找不到标准模型预测的 Higgs 粒子。随着美国费米实验室的对撞机 TEVATRON的关闭，寻找 Higgs 粒子的重任就落在了欧洲的 LHC 身上了。我看得准备多少字节，如果字节多有时间码的话，我可以从数学结构李群说起。群这东西，俺略知点皮毛，正好适合俺拿出来海阔天空一番，以印证无知无畏这句古训。
这里之所以提及几句李群，原因是多方面的。首先群论是现代数学最核心的概念之一；其次，李群是高能物理/量子场论中最主要的数学工具之一；再者，说个题外话，若论诺贝尔炸药奖，除开文学奖和和平奖外，中国土产学者中最接近诺贝尔奖的成果恰恰和李群有关。当然，这算题外话了。这里不打算详述，知道些内幕的，应该知道俺说的是中国科大的刘耀阳等人。
群是什么呢？简单地讲就是实数以及实数上加法或者乘法这种二元运算概念上的拓广。从外延上看，它是拓广，实际上是概念精华的浓缩和抽象，其作用基本上贯穿了整个数学和许多科学分支，包括大家现在能够交流发帖的互联网，呵呵。用武断点的话说，群在物理学上的应用主要有两个：分类，以及涉及对称性和不变量的研究。通常，什马是分类？所谓分类，其本质无非是你所考察的对象过于复杂，所以你将你所考察的对象劈开成一些较小的子对象从而加以研究，也就是俗话所说的的 divide and conquer 各个击破是不是？这就是群论中子群(直观上就是你的某个特定的子对象) 以及将子群看作是个体后所得到的商群 (也就是你给你的大对象分成了几个子对象，呵呵) 的概念。这在研究，比如说，几何/拓扑学中尤其有用，所谓的代数拓扑、代数几何是现代数学最主要的研究方向之一，许多菲尔兹奖得主的工作都与此有关，不提。为啥不提呢？因为这方面的科普，就有些见真章了，所以得请谁谁某位数学家。
熟悉数学史的朋友都知道，早逝的天才加罗华关于群的研究直接证明了一元五次以及五次以上的方程不存在一个求解的公式。这是数学史上最令人惊异的结果之一。
回到群论本身。群按照群元集合基数的大小，可以分为有限群和无限群。这里集合基数中的“基数”是什么意思呢？直观上，基数，或者曰“势” (早期的翻译)，或者说英文中的词汇 cardinality，就是集合元素的个数。对有限集合而言，其意思自明，对无穷集合而言，意思可能就比较模糊，对不对？整数集、有理数集、实数集有多 少元素了？有些迷糊是不是？所以大家通常依照伯恩斯坦定下的规矩来给无穷集合的元素个数分个等级。这个规则是说，如果两个集合之间的元素能1-1对应起 来，那么这两个集合的元素个数就是一样大小。所以，尽管有理数貌似比整数多很多 (学习过实数理论的人都晓得，整数嘛，在数轴上是稀稀拉拉的，有理数却是稠密的，这也是实数的定义之一----实数等价于一个有理数的 Cauchy 序列----的本质原因)，但是有理数和整数之间确实存在 1-1 对应，所以它们的基数是一样大的 (直观地讲，就是整数集合和有理数集合元素个数虽然都是无穷大，但是它们无穷大的等级是一样的)。但是呢，实数却不和有理数对等，因为实数是有理数集合的幂集 (Power Set)。
数学上可以简单地证明，一个集合不可能和它的幂集存在一一对应关系，也就是说，虽然直观上实数集和有理数 集合元素个数都是无穷大，但是它们的无穷大等级是不一样的，实数集合的无穷大等级要高个档次。也就是说，尽管在数轴上有理数将数轴上武装到了牙齿三步一岗 五步一哨密密麻麻密不透风，但是无理数却能慢条斯理地对有理数说，喂你小样，少给我套近乎，俺比你高个层次呢。
整数/有理数的基数通常记为 A0 (阿列夫0)，其幂集，亦即实数集，其基数记为 A1。有些数学基础的人不难想象，实数集合的幂集就是实数空间上所有函数的集合，其基数记为A2；实数空间上所有函数的集合的幂集就是实数空间上所有泛函的集合，基数记为A3，等。根据伯恩斯坦定理，我们有：
A0 < A1 < A2 < A3 < ......
有些文史背景的同学可能难以想象幂集是啥东西。直观地讲，假设某个集合是地球上所有的房子，现在呢，中国电信和 AT&T 联手要给咱们的地球村安装某种电话线，将所有的家庭不通过任何电话交换庭直接联系起来，包括任何两家之间的直接联系，安装根电话线；任何三家之间也有根电话线直接联系，任何4家之间也有根电话线直接联系...那么地球村家庭这个集合的幂集就是上述电话线的集合，呵呵。直观上好理解吧？
百年前有个世界数学大会，数学史上永垂不朽的希尔伯特在大会上提出了对20世纪数学进展产生深远影响的 23 个问题，第一个问题奏是“康托连续统假设”。康托连续统假设就是说，在上文中的 A0 和 A1 之间 (类似的，A1和A2之间，等) ，不存在另一个基数 B，使得A0 < B < A1 (亦即 A0、A1之间是“连续”的)，希尔伯特这个问题是希望大家给出证明或者证伪。当然，现在大家明白，康托连续统假设是不能证明或者证伪的，亦即你可以假设 B存在或者不存在，逻辑上都能自洽，其中最著名的工作就是哥德尔不完备定理，它是整个数学特别是数学基础特别是数理逻辑方向最深刻的结果之一，也和所谓的 罗素悖论 (也就是那个得到诺贝尔文学奖的英国人) 和罗素悖论引发的第三次数学危机息息相关。
嗯，跑题了。接着胡掰，回到群论。
这群呢，根据群元数目是否有限，可以分为有限群和无限群。在固体物理晶体研究以及分子结构分析中常见的点群就是有限群，李群可能是最重要的无限群 (李群的群元空间是连续的)。
在物理特别是量子场论中，最重要的是一种称为(特殊)酉群 ((Special) Unitary Lie Group) 的 Lie 群，通常记为 SU(n)，n=1,2,3,...。这种群的矩阵表示对应的矩阵是酉矩阵的共轭转置恰好就是其逆矩阵。(学习过矩阵或者量子力学的朋友应该知道这些术语。这些术语有些专门了，这里就尽力免去不提)
为啥酉群 SU(n) 在现代物理学中扮演如此重要的角色呢？其根源不是别的，而是楼主所提及的量子力学的统计解释。量子力学的统计解释的开山祖师是哥本哈根学派，这个解释也是爱因斯坦阵营所反对的。但是反对归反对，尽管哥本哈根学派不能证明爱因斯坦的经典决定论必须舍弃，但是这并不妨碍在不讨论经典决定论是否应该舍弃这个位于 root level 观点的前提下，统计解释作为量子力学的解释而继续发展。来个不恰当的比喻，科学其实从根本上和宗教 (例如犹太三大宗教) 是冲突的，因为耶和华的存在不能证明为真，对不对？但是现在宗教和科学能并存，其原因并非两者没有冲突，而是因为科学目前的进展还不足以发展到要表决耶和 华/雅威/安拉存在与否的程度，对不对 (此话如若得罪某些教友，表示抱歉)。量子力学统计解释的数学基础恰恰就是泛函分析，特别是希尔伯特空间上的谱分析。
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文章评论 |
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作者：紫荆棘鸟 |
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留言时间：2011-11-05 08:04:01 |
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谢冬儿。不过你就算再遗忘几年，还是正规军出身，我则是个游击队队员：) |
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作者：老冬儿 |
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留言时间：2011-11-03 21:17:17 |
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呵呵跟着鸟儿一起复习群论。 ：-) 很多年没有碰过这玩意了。 |
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