房贷是基于复利而不是单利的：通俗易懂版-紫荆棘鸟-万维博客-万维读者网（电脑版）

最后一帖 (尽管食言了，昨天说了不再讨论这个的)，尽量写得通俗易懂，但愿对个别人 (例如潜水没有发言的) 起一定的作用。

不参与讨论或者辩论。不过如果有诸如计算错误之类的问题，大家指出后我还是会谢谢并且改正的。

基于篇幅，这里就不详细解释单利 Simple Interest 或者复利 Compound Interest 的定义，好在大家对这个没有分歧。

首先，来点康门三四。
1) 大家知道美国银行的存款 savings account (等) 是基于复利的，所以除非特别原因 (例如政府命令等。这种可能是存在的，例如中国就规定活期储蓄是单利储蓄)，贷款 (包括房贷) 也应该是复利的，否则银行在自杀。单利和复利的差别，在短期是没太大的差别，但是对长期 (例如 30 年) 储蓄或者贷款而言，差别是很大的。我前不久根据单利的定义，给房贷建立了个单利的模型，计算结果表明，对普通房贷，50万、30年、6% rate，单利、复利模型的利息差别，是 34-35 万左右。

2) 最重要的、不过也通常不那么被人注意到的康门三四，是对一个成熟、公平的市场而言，复利模型才是合理的，单利模型反而是不合理的。在 rate 公平合理的前提下，单利等同于借贷人抢劫放贷人 (例如中国的活期储蓄，就等同于银行抢劫客户的钱)。所以，通常的贷款 (包括房贷) 计复利，是天经地义的，这和银行、大栅栏墙街贪婪与否没有关系。这点，金融大佬、诺贝尔经济学奖得主的高徒全伊从专业的角度给了个简洁的解释。这里，俺再次来个通俗的解释。复利模型之所以公平合理，是因为复利模型中，本金 Principal 和利息 Interest 是等价的，它们都能在下一轮利息结算中产生利息，而单利模型中，本金和利息是两种不同的钱，前者是能下蛋的金母鸡，能产生利息，后者则不能，但是从投资角度而言，两者显然是等价的，没有区别。也就是说，对一个成熟、合理的市场而言，除非特例，储蓄、贷款都应该是基于复利的 (简单的说，就是允许利息产生利息，亦即利滚利)，基于单利的反而是不合理的。据说从商业角度而言复利是犹太人的发明，因此你说犹太人贪婪也行，见利忘义也罢，但是你得承认他们的智慧和理性。

普通房贷是一种特殊贷款么？不是的，因为房贷 mortgage 配额公式，和房地产本身没有直接关系，那个公式适应所有分期等额付款形式的贷款，例如车贷。这点，大家随便找相应的 Online Calculators 验证验证就可以了，无须详述。所以，从康门三四角度而言，普通房贷应该是基于复利模型的贷款，否则否则目前市场上绝大部分分期等额付款形式的贷款就会是基于单利的，这显然不对。

就我个人而言，我十分纳闷为啥居然有很多人认为房贷 (从而几乎所有的分期等额付款形式的贷款) 是基于单利模型的，这些人固然有少数是胡绞蛮缠的，但是大部份却是认真的。这真让人吃惊。

认为是单利模型的人中，主要理由是这样的：在 mortgage 决定下来后，如果客户定期定量付款，那么每个月的利息就配完了，所以不存在利滚利的可能，所以房贷是计单利的。这种说法初看起来有些似是而非，花个几分钟细细考究，就会明白站不住脚。这是因为，如果每个月的利息就配完了，那就只表明客户不会有额外的利滚利；如果某个月没有配完，那么没有配完的部分，如果完全按照贷款模型，就会有额外的利滚利。无论客户定期定量配房贷与否，都不会改变既定的 Mortgage 原本就包含了利滚利与否这个事实，因为这是不相关联的两码事。

那么既定的 Mortgage 是不是已经包含了利息产生的利息部分呢？肯定的。除了上述康门三四告诉你肯定外，我们还可以通过具体论证以及实例来表明这一点，尽管许多同学这么做了，但是我这里的方法和例子的角度不同，兴许会有额外的启发。

论证之前说两句题外话。
1) Mortgage 公式推理过程清楚的表明，因为每一轮结算利息时，利息是根据 current balance 计算的，所以它肯定是基于复利的模型，这点任何人都没法否认。本来，正因为 Mortgage 毫无疑问是基于复利模型的，话题就完全可以结束了，可以说 PERIOD 了，问题是有的同学一定得去用单利解释它，并且说没有利滚利。

2) 那么它是不是也有可能符合单利的定义、在是复利模型的前提下，同时也是单利模型呢？单利论者认为，是的，只要每个月的付款超过了利息，那么付款首先应该支付利息部分，然后才是本金部分，而房贷月配明显超过了第一个月的利息 (从而超过以后任何一个月的利息)，所以利息部分完全被抵消了，所以它也应该是单利模型。

3) 我几次要求单利派朋友为房贷给出个复利模型，可是至今没有看到任何进展。另一方面，我和真是好玩等人很早就为房贷建立了单利模型。

从纯算术角度而言，2) 可以成立。但是概念上，它和直观是违背的，毫无疑问会导致荒谬的结论。这是因为 2) 严重依赖这样一个假设，并且会导出一个看起来很荒谬的结论 (这个结论是单利论几位主将已经承认了的)：

a) 依赖的假设：单利模型中，客户偿还的钱必须先算利息，剩余部分 (如果有) 才算本金。他们说这是银行的规定，但是至今没有找到权威的根据，也没有解释这个规定的合理性。就康门三四而言，这个规定显然是不合理的，因为你存入银行的钱是算利息还是本金？算利息，显得荒谬，所以应该算本金。所以基于对称原理，对单利贷款模型而言，你配的钱，自然只能算本金。复利模型则不存在这个 concern，因为利息和本金是等价的，算什么都是一样的。

b) 从这个假设推出的结论：理论上不存在基于复利模型的分期等配额的贷款。这个结论毫无疑问是可笑的。即使它确实正确，这么重大的结论也应该从教材或者权威部门找到依据。谁找到了么？再说，基于贷款和存款的对称性，如果我每月一号定期在储蓄账号 (假设 $10000 存款，5% Rate) 里取走 $100，银行就不给我计复利了？这不荒谬么？

另外补充两个 Issues:
1) 我发现一些单利的朋友不区分“Interest”这个词的外延，混为一谈。在银行年底给你的报税表中，银行会告诉你你为 mortgage 支付了多少利息。那个利息 is defined as your total payments，less your balance/principal change。这个利息实际上是 Interest you've paid 的意思。但是在贷款单利模型中，你某月k 的 Balance B_k 包含两部分：本金部分和利息部分：B_k = P_k + I_k，这里的利息的意思是你的账号 Balance 中“Interest Portion”这个意思，和上面的 Interest you've paid 是两码事，有些同学居然混为一谈。对单利模型而言，这里的 B_k、P_k and I_k 中有两个是独立变量，下一轮的利息，是这两个变量的函数，而复利模型则只是一个独立变量 B_k 的函数。从这个意义而言，复利模型比单利模型结构上简单。

2) 其实单利者们以前 ZT 的文章，说 no interest compound 的，基本上都是说房贷违约情形下所欠的钱是否去 compound interest 这回事情，包括一些官司案例。在违约情形下，法律对客户的保护，通常是对弱势一方的保护，代价就是破坏游戏规则的公平、合理。文明社会的特征之一就是强势一方 yield 弱势的一方，比如说，吃救济享受福利。食品券是从天上掉下来的么？当然不是，是从那些较富裕些的人口袋里掏出来的。客户还款违约后，如果完全按照借贷模型，那么客户违约的那部分 extra balance 会计入当前 current balance，重新计算 mortgage 配额。法律对客户的保护，就是禁止这一部分。法律这么做的另一依据，我猜，是因为银行的损失有个 bottom line：foreclosure。因此，对于客户违约房贷，银行几乎不会去 recalculate new mortgage payment，而是采取另外的惩罚方式。但是这并非说原既定的 mortgage 没有利滚利。利滚利 (复利) 才是成熟的、合理的、公平的，也是“道德”的。

好，接下来稍微形式化一点。很明显，如果你将贷款看成是 balance 是负数的存款，那么存款和贷款实际上是一回事情。例如你从银行贷款 $500,000，那就等价于你的帐户里有 -500,000 的 Balance。所谓的房贷或者车贷，无非就是银行主管牵着你的手，签订了一个协议，这个协议就是告诉你，你每个月往这个账号里存入多少钱，使得 360 月后 (对 30年贷款而言)，你的账号 Balance = 0，就这么一回事情。

有了这个铺垫后，余下的问题就很好理解了。比如，就单利帐户而言，你去银行开个帐户，你存入 500,000，这个 500,000 算本金还是利息？当然算本金，因为算利息未免太荒唐。如果你第二个月存入 10,000，这 10,000 自然也只能算本金，因为这笔钱和利息无关。类似的，如果你开始贷 500,000，或者说存入 -500,000，这个 -500,000 算什么？自然也是本金。第二个月你存入 10,000，它当然也是本金。这里的概念相当清晰，那就是，无论对贷款还是存款，你存入的钱都是本金，不是利息。这就否定了上面单利派所依赖的假设，所以我们再次证明了，单利模型是不对的。

如果这些还不能让他们信服，那么我们看个实例，从数据上证明房贷是复利而不是单利。因为这个实例就是来自 Mortgage 本身，所以它最有说服力。

实例：假设贷款 $500,000，年限 30 年，annual simple rate = 6%。那么根据 online mortgage calculator，monthly payment c = $2,997.75，total interest = $579,190.93。我们记这为方案A。

现在，我们假设在第一个月来个 prepayment，多配 $10,000。此后不再多配，每月恰好配 c = $2,997.75。我们记这为方案 B。大家进入这个网站
http://mortgage-x.com/calculators/prepayments.htm
计算一下，结果是：total interest = $531,931.97，节省利息 $47,258.96，大约提早 19 个月还清贷款。这里之所以说是“大约19月”，是因为方案B的最后一个月不需要配 $2,997.75。考虑到方案 B 最后一个月实配 2,682.68，和 c 相差不大，所以我们以提早 19 个月进行估算，判断房贷到底是单利还是复利。

方案 B 既然能节省 $47,258.96 这么多的利息，这个省下的利息必然来自方案 A 和方案 B 之间的差别。差别是什么？很明显，因为两个方案在第2-341月配额完全一样，所以差别只在第一个月以及方案 A 的最后19个月。具体的，是：

1st month，方案 B 多配 $10,000；
342-360th month：方案 A 继续在配 Mortgage。

所以两个方案的利息差别，应该等于方案 B 那个 $10,000 在第 2-341 个月，总共 340 个月，产生的利息，再加上方案 A 在 342-360th months (最后19个月) 利息的总和。

方案 A 在342-360th month (最后19个月)利息的总和可以在amortization schedule 找到，将最后19个月的利息加起来就是。我做点苦力活，用 whole dollar 的办法四舍五入将它们加起来，得到 I_2 = $2,750。

现在来计算方案 B 最开始的一万产生的利息。
如果是单利模型，按照单利派的解释，这个10000必须是本金，因为第一个月的 c 比利息多，利息还完了。所以这个本金应该产生利息
A_1 = $10,000*340*0.005 = $17,000。
A_1 + I_2 = $17,000 + $2,750 = $19,750，这个和实际节省的利息 $47,258.96 相差很多，所以单利模型完全不能解释这个结果。

如果是复利模型，这个本金应该产生利息 B_1 = $10,000*1.005^340 - $10,0000 = $44,508.09
B_1 + I_2 = $44,508.09 + $2,750 = $47,258.09。这和节省的利息 $47,258.96 是一致的。其中约 $1 的估算差别来自哪里，我也懒得说了，大家去整。

计算结果很明确吧？房贷是基于复利模型的。句号，呵呵。