设万维读者为首页 万维读者网 -- 全球华人的精神家园 广告服务 联系我们 关于万维
 
首  页 新  闻 视  频 博  客 论  坛 分类广告 购  物
搜索>> 发表日志 控制面板 个人相册 给我留言
帮助 退出
 
天蓉的博客  
随笔、小说、诗词、科普。 “真和美,是科学不变的精髓;爱与死,是文学永恒的主题……”  
网络日志正文
《走近混沌》-5-大自然的分形 2012-08-22 14:47:08

第五章:大自然中的分形

 

归纳以上所述,分形是具有如下几个特征的图形:

1. 分形具有自相似性。从上面两个例子可以看出∶分形自身可以看成是由许多与自己相似的,大小不一的部分组成。

2. 分形具有无穷多的层次。无论在分形的哪个层次,总能看到有更精细的,下一个层次存在。分形图形有无限细节,可以不断放大,永远都有结构。

3. 分形的维数可以是一个分数。

4. 分形通常可以由一个简单的,递归、迭代的方法产生出来。

 

                                              

 

图(5.1)∶ 计算机产生的树叶型分形图

 

因为分形可以由一个简单的迭代法产生出来,计算机的发展为分形的研究提供了最佳环境。比如说,如果给定了不同的初始图形,不同的生成元,即迭代方法,利用计算机进行多次变换,便能很方便地产生出各种二维的分形来。(见图 5.1)

 

“等一等!”这次是王二在叫。他打断了正在向他们解释分形程序的张三,从书包里翻出一张照片给两个朋友看,兴奋地说∶

“这是我去年假期到峨眉山上拍的厥类植物照片。你们看,右边图中的厥类植物叶子,太像张三刚才用计算机迭代法画出来的分形了!”

 

三人比较了一下王二的照片(图(5.2))和张三生成的图形,的确很像。

 

图(5.2)∶厥类植物

 

“再等等!再等等!”王二又从书包里翻出更多的照片。说∶

 

“让你们看看更多大自然的鬼斧神工!其实,美丽的分形图案在自然界到处都存在。我从小就喜欢自然之美,经常在动物植物的构造中发现些令人惊叹的图形,过去几年拍了不少有趣的照片,原来只觉得大自然太神奇了,现在才知道这就是‘分形’┅┅”

 

图(5.3)是王二的部分照片。其中有我们常见的花菜、天空上的闪电、贝壳的图案式结构,老树枯枝┅┅

图(5.3)∶大自然的分形

 

王二很高兴今天在三人聚会中唱了主角,更高兴把分形的概念与他的生物专业联系起来了。他告诉朋友们∶这几天,他研究这些照片和学到的分形知识後发现∶比较传统的欧几里德几何中所描述的平滑的曲线,曲面而言,分形几何更能反映大自然中存在的许多景象的复杂性。现在,当我们了解了分形几何後,看待周围一切的眼光都和过去不一样了。当我们仔细观察周围世界时,会发现许许多多类似分形的事物。大如起伏连绵不断的群山,天空中忽聚忽散的白云,小至各种植物的结构及形态,遍布人体全身纵横交错的血管,它们都或多或少表现出分形的特征。比如,“山在我们眼中,不再只是锥形;在我们眼中,不再只是简单的椭球形状;在它们貌似简单的外表下,有著复杂的、自相似的层次结构。如果说,欧氏几何是用抽象的数学模型对大自然作了一个最粗略的近似,而分形几何则对自然作了更精细的描述。分形是大自然的基本存在形式。无处不在,随时可见。

 

“我有一个问题”张三插嘴说∶“不是说自相似性是分形的特点吗?我这儿几个计算机产生出来的图形的确是严格‘自相似’的。还有你们看科赫曲线、谢尔宾斯基三角形、这些简单分形,显然都符合自相似的条件。但是,这些┅┅王二给我们看的这些‘大自然的杰作’,自相似性就不是那麽严格了,这是怎麽回事呢┅┅”

 

李四笑了∶“唉,张三不愧是学机械工程的,思考问题总是追求‘严格’,可是,大自然并不是谁造出来的机器啊,其中的偶然因素太多了┅┅”

 

“你们听过分形的老祖宗曼德勃罗的故事吧┅┅”李四指著王二照片中有海岸线的那张,说起了更多有关分形的历史。

 

尽管早在十九世纪,许多经典数学家已对按逐次迭代产生的图形(如科赫曲线等)颇感兴趣,也有所研究。但有关分形几何概念的创立及发展,却是近二,三十年以内的事。1973年,美国IBM公司的科学家曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时,首次提出了分形几何的构想,并继而创造分形(Fractal)一词。当时,曼德勃罗就是用海岸线作例子,提出一个听起来好象没有什麽意思的问题∶英国的海岸线有多长?

 

海岸线到底有多长呢?人们可能会不加思索地回答∶只要测量得足够精确,总是能得到一个数值吧。答案当然取决于测量的方法及用这些方法测量的结果。但问题在于,如果用不同大小的度量标准来测量,每次会得出完全不同的结果。度量标准的尺度越小,测量出来的海岸线的长度会越长!这显然不是一般光滑曲线应有的特性,倒是有些象我们在第二、三章中所画的科赫曲线。你们来测量一下科赫曲线的长度吧!看看图(2.1),如果把图(a)中曲线的长度定为1的话,图(b)、图(c)、图(d)中曲线的长度分别为∶4/316/9、和64/27┅┅,长度越来越大,以至于无穷。这与用不同的标准来测量海岸线的情况类似。也就是说,用以测量海岸线的尺越小,测量出的长度就会越大,并不会趋向收敛于一个有限固定的结果。

 

张三也表示明白了∶“啊,原来海岸线的长度随著测量尺度的减小而趋于无穷!”

 

李四接著说,“张三刚才说的也没错,海岸线的确不同于我们上面所举的线性分形┅┅”

 

不过事实上,海岸线与科赫曲线很相似的。科学家们应用我们叙述过的估算“分形维数的方法,以及逐次测量英国的海岸线所得的结果,居然算出了英国海岸线的“分形维数大约等于(1.25)。这个数字与科赫曲线的“分形维数很接近。因此,英国海岸线是一个分形,任何一段的长度都是无穷。这真是一个令人吃惊的答案。

 

再一次的聚会中,李四又更深入地解释了张三那天提出的问题。他说,我们在前面几章中所讨论的分形例子,都是由线性迭代产生的。它们所具有的自相似性叫做线性自相似性。也就是说,将原来的图形,经过缩小、旋转、反射等这类线性变换之後,能再组合成原来的图形。除了这种由简单的线性迭代法生成的分形之外,还有另外两种重要的生成分形的方法∶一种是与随机过程有关,是线性迭代与随机过程相结合,第二种是用非线性的迭代法。

 

图(5.4) 扩散置限凝聚图

 

自然界中常见的分形,诸如海岸线、山峰、云彩、等等,更接近于由随机过程生成的分形。有一种很重要的,与随机过程有关的分形,也就是如图 (5.4) 所示的分形,叫做“扩散置限凝聚”(diffusion- limited aggregation) 。这种分形模型常用来解释人们常见的闪电的形成,石头上的裂纹形态等现象。

 

要估算随机过程生成分形的维数,或者是非线性迭代分形的维数,就不是像计算线性分形维数那麽简单了。

 

上一篇∶再回到分形龙

返回目录

下一篇∶ 分形之父的启示

 

 

浏览(2397) (0) 评论(6)
发表评论
文章评论
作者:Yukon 留言时间:2012-08-24 07:55:25
迭代的次数越多,计算机产生的分形图越接近自然的植物叶子。第一次,第二次,迭代时我们看到的是主脉,支脉,到了第五?次是叶片!是不是可以说,橛类的叶片也是由更小的主脉"组成的"?这样的话,一个叶片,2维肾状,是由许许多多的小直线按一定的方位组合而成。这里有一个由叶脉到叶片的过程,我们可以看得见的。

如果是一棵树的话,主干,主枝,分支,细枝,再细枝,最细枝,最后真的能迭代出树叶吗?
回复 | 0
作者:Yukon 留言时间:2012-08-24 07:41:18
能否详细介绍一下随机迭代,以闪电为例。闪电是很神奇的现象,转瞬即逝。在2d记录的图像上也很难说它是什么(所谓的欧氏几何图形)。当然了,它是闪电。不过,不管什么图形,最终还是直线,曲线。
回复 | 0
作者:天蓉 留言时间:2012-08-24 03:22:46
谢谢诸位评论。

Yukon说得对,分形只是无限迭代趋近的一个数学模型,与实际物体有差距。但我们可以用这个模型来近似的描述大自然。欧式几何也是数学模型,很多情形下,比如描述海岸线,分形显然比直线和园一类的光滑曲线更适合。

后面会谈到一些分形的应用。
回复 | 0
作者:rjoe 留言时间:2012-08-23 16:47:26
好看。
现在除了理论发展以外,分形的实际新应用越来越多。例如在生物,电子,机械等的应用。博主可以增加介绍实际分形应用的新章节吗?
回复 | 0
作者:Yukon 留言时间:2012-08-23 11:34:28
你文中定义分型是无限次的迭代,而自然中的植物,如花菜,是有限的自相似。这如何解释?许多分形图形都是计算机有限次迭代的结果,离无限还差得很远。
回复 | 0
作者:老几 留言时间:2012-08-22 17:56:04
博主太油菜了!
回复 | 0
我的名片
天蓉
注册日期: 2011-09-18
访问总量: 1,213,771 次
点击查看我的个人资料
Calendar
最新发布
· 费马大定理-最后一步
· 费马大定理-铺平道路
· 费马大定理-椭圆函数
· 费马大定理-椭圆曲线和“群”
· 费马大定理-模形式
· 费马大定理-椭圆曲线
· 费马大定理-数学公主
分类目录
【作品目录】
· 《走近混沌》目录
· 《走近量子》目录
· 《诗谜画谜》目录
· 《傻博士的初恋》目录
· 《美国房客》目录
· 《隐身惊魂记》目录
· 《白雪之恋》:目录
【科普-走近混沌】
· 《走近混沌》-25-27-全文完
· 《走近混沌》-24-孤立子的故事
· 《走近混沌》-23-混沌到有序
· 《走近混沌》-22-再回魔鬼聚合物
· 《走近混沌》-21-萬變之不變
· 《走近混沌》-20-混沌魔鬼不穩定
· 《走近混沌》-19-混沌魔鬼的誕生
· 《走近混沌》-18-生態繁衍和混沌
· 《走近混沌》-17-混沌遊戲
· 《走近混沌》-16-三體問題及趣聞
【科普-走近量子】
· 走近量子(19)量子隐形传输(二
· 走近量子(18)量子隐形传输(一
· 走近量子(17)量子计算机
· 走近量子(16)GHZ定理-繼續
· 走近量子(15)GHZ定理
· 走近量子(14)qubit和费曼
· 走近量子(13)从纠缠态到qubit
· 走近量子(12)GHZ登场
· 走近量子(11)埃斯派克特的实验
· 走近量子(10)最後的判决
【谜语集锦3】
· 留下一串謎(詩謎+畫謎)- 44
· 留下一串謎(詩謎+畫謎)- 43
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 42
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 41
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 40
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 39
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 38
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 37
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 36
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 35
【谜语集锦2】
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 30
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 29
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 28
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 27
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 26
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 25
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 24
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 23
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 22
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 21
【谜语集锦1】
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 20
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 19
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 18
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 17
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 16
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 15
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 14
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 13
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 12
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 11
【谜语集锦】
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 10
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 9
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 8
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 7
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 6
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 5
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 4
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 3
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 2
· 留下一串谜(诗谜+画谜)- 1
【傻博士的初恋46-50】
· 傻博士的初恋-50-尾声
· 傻博士的初恋-49-水落石出
· 傻博士的初恋-48-谋杀案?
· 傻博士的初恋-47-当个女侦探
· 傻博士的初恋-46-跟踪依娃
【傻博士的初恋:41-45】
· 傻博士的初恋-45-疑惑
· 傻博士的初恋-44-分手?
· 傻博士的初恋-43-闯荡哈林区
· 傻博士的初恋-42-平安夜(2)
· 傻博士的初恋-41-平安夜(1)
【傻博士的初恋36-40】
· 傻博士的初恋-40-回家
· 傻博士的初恋-39-感恩节(2)
· 傻博士的初恋-38-感恩节(1)
· 傻博士的初恋-37-古怪的量子
· 傻博士的初恋-36-罗德的忠告
【傻博士的初恋31-35】
· 傻博士的初恋-35-万圣节(2)
· 傻博士的初恋-34-万圣节(1)
· 傻博士的初恋-33-工作狂
· 傻博士的初恋-32-如此先进企业
· 傻博士的初恋-31-强词夺理
【“傻”博士的初恋:26-30】
· 傻博士的初恋-30-大金失踪
· 傻博士的初恋-29-恋爱的学问
· 傻博士的初恋-28-911(2)
· 傻博士的初恋-27-911(1)
· 傻博士的初恋-26-贾杨金
【“傻”博士的初恋:21-25】
· 傻博士的初恋-25-人脑和电脑
· 傻博士的初恋-24-硅谷看房子
· 傻博士的初恋-23-经济泡沫
· 傻博士的初恋-22-明娜来访
· 傻博士的初恋 -21- 亲密接触
【“傻”博士的初恋:11-15】
· 傻博士的初恋 -20- 搬家
· 傻博士的初恋 -19- 罗德的故事
· 傻博士的初恋 -18- 糊涂有理
· 傻博士的初恋 -17- 糊涂博士
· 傻博士的初恋 -16- 疯涨的股票
【“傻”博士的初恋:11-15】
· 傻博士的初恋 -15- “生日快乐!
· 傻博士的初恋 -14- 过生日
· 傻博士的初恋13- 父母来访
· 傻博士的初恋-12- “大袍子”博士
· 傻博士的初恋-11- 有惊无险
【“傻”博士的初恋:6-10】
· 傻博士的初恋-10- 太浩湖之旅
· 傻博士的初恋-9- 简单和复杂
· 傻博士的初恋-8- 笑阿姨
· 傻博士的初恋-7- 情人节
· 傻博士的初恋-6-大忙人
【“傻”博士的初恋:1-5】
· 傻博士的初恋-5-“萨沙”和“妮妮”
· 傻博士的初恋-4-合作伙伴?
· 傻博士的初恋-3-第一次约会
· 傻博士的初恋-2-棕榈大道
· 傻博士的初恋-1-初遇
· 傻博士的初恋:引子
【《美国房客》尾声】
· 《美国房客》- 35 经悠悠数月,
【《美国房客》生死游戏】
· 《美国房客》- 34 感生命有限,
· 《美国房客》- 33 知祸福相依,
· 《美国房客》- 32 忆德州旧识,
· 《美国房客》- 31 急自强有危,
· 《美国房客》- 30 烧藏宝真图,
· 《美国房客》- 29 欲引蛇出洞,
· 《美国房客》- 28 映院中人影,
· 《美国房客》- 27 破车祸真相,
· 《美国房客》- 26 听教授感慨,
· 《美国房客》- 25 记梦中影像,
【《美国房客》游子百态】
· 《美国房客》- 15 忆往事成烟,
· 《美国房客》- 14 解诗词秘密,
· 《美国房客》- 13 气弟弟不肖,
· 《美国房客》- 12 喜赴美寻梦,
· 《美国房客》- 11 厌名利薰心,
· 《美国房客》- 10 记车祸当日,
· 《美国房客》- 9 述加州之行,触
· 《美国房客》- 8 疑泰州宝藏,惑
· 《美国房客》- 7 用键盘交流,集
· 《美国房客》- 6 叙文革旧事,传
【《美国房客》楔子】
· 《美国房客》楔子-2 人物诗谜
· 《美国房客》楔子-1 一则新闻
【长篇悬疑小说《美国房客》】
【《隐身惊魂记》-独立节惊魂】
· 独立节惊魂-尾声
· 独立节惊魂-82-隐蛇现形白宫惊魂
· 独立节惊魂-81-遥控实现杀人游戏
· 独立节惊魂-80-毒蛇消失总监着急
· 独立节惊魂-79- 欢乐华府严阵以
· 独立节惊魂-78- 阳光谷城小虎遇
· 独立节惊魂-77-节日凌晨无人能眠
· 独立节惊魂-76-高人驾车出手相救
【《隐身惊魂记》-矽谷追逐】
· 矽谷追逐-75-隐身男孩被人跟踪
· 矽谷追逐-74-红木城中隐人现形
· 矽谷追逐-73-隐人出没捉狭添乱
· 矽谷追逐-72-戈尔自杀拉曼被捕
· 矽谷追逐-71-身陷囹圄处境危急
· 矽谷追逐-70-月黑风高事故不断
· 矽谷追逐-69-野狼活动毒蛇突现
· 矽谷追逐-68-天灾可怕人心奸诈
· 矽谷追逐-67-狡猾政客阴谋小人
· 矽谷追逐-66-精心策划设置圈套
【《隐身惊魂记》-阴谋政治】
· 阴谋政治-61-驶离华府何去何从
· 阴谋政治-60-警商勾结顾客遭殃
· 阴谋政治-59-欲破阴谋逃避逮捕
· 阴谋政治-58-隐侠计划云游湾区
· 阴谋政治-57-别墅取车拉曼落网
· 阴谋政治-56-流浪小子守株待兔
· 阴谋政治-55-上司策划逮捕迈克
· 阴谋政治-54-两月前的重大案件
· 阴谋政治-53-分析案情迷雾重重
· 阴谋政治-52-跟踪绅士疑点多多
【长篇科幻小说《隐身惊魂记》】
· 脑电波之谜-40-急中生智无辜遇难
· 脑电波之谜-39-藏身遁形纽约历险
· 脑电波之谜-38-情况复杂小虎不见
· 脑电波之谜-37-人性兽性互纠互缠
· 脑电波之谜-36-隐人胡闹大使剧院
· 脑电波之谜-35-历历在目十年之前
· 脑电波之谜-34-拉曼失踪线索中断
· 脑电波之谜-33-切身体会隐身之趣
· 《隐身惊魂记》目录
· 脑电波之谜-32 别墅忽见往日同学
【随笔】
【科普】
· 费马大定理-最后一步
· 费马大定理-铺平道路
· 费马大定理-椭圆函数
· 费马大定理-椭圆曲线和“群”
· 费马大定理-模形式
· 费马大定理-椭圆曲线
· 费马大定理-数学公主
· 费马大定理-欧拉猜想
· 费马大定理-这个证明包你懂!
· 费马大定理-救了他的命
【诗词】
· 《露珠》
· 《小花》
· 《激流》
· 《团聚》
· 《三叠泉》
· 《咏荷》
【小说】
· 《白雪之恋》:2-《二十六年后…
· 《白雪之恋》:2-《二十六年后…
· 《白雪之恋》:2-《二十六年后…
· 《白雪之恋》:2-《二十六年后…
· 《白雪之恋》:1-56
· 《白雪之恋》:1-55
· 《白雪之恋》:1-54
· 《白雪之恋》:1-53
· 《白雪之恋》:1-52
· 《白雪之恋》:1-51
存档目录
2024-12-03 - 2024-12-06
2024-11-17 - 2024-11-23
2024-10-16 - 2024-10-28
2024-09-07 - 2024-09-07
2024-08-27 - 2024-08-30
2024-06-04 - 2024-06-26
2024-05-01 - 2024-05-29
2024-04-03 - 2024-04-23
2024-03-07 - 2024-03-28
2024-02-12 - 2024-02-20
2024-01-08 - 2024-01-23
2023-12-09 - 2023-12-19
2023-11-08 - 2023-11-27
2023-06-10 - 2023-06-10
2023-04-08 - 2023-04-08
2022-11-07 - 2022-11-07
2022-10-09 - 2022-10-11
2022-09-12 - 2022-09-12
2022-07-09 - 2022-07-09
2022-06-08 - 2022-06-08
2022-05-26 - 2022-05-26
2022-04-25 - 2022-04-25
2022-03-10 - 2022-03-30
2022-02-03 - 2022-02-28
2022-01-07 - 2022-01-17
2021-12-16 - 2021-12-29
2013-07-08 - 2013-07-08
2013-02-07 - 2013-02-07
2013-01-05 - 2013-01-26
2012-12-05 - 2012-12-26
2012-11-04 - 2012-11-25
2012-10-01 - 2012-10-31
2012-09-02 - 2012-09-27
2012-08-01 - 2012-08-30
2012-07-03 - 2012-07-31
2012-06-02 - 2012-06-30
2012-05-01 - 2012-05-31
2012-04-01 - 2012-04-30
2012-03-01 - 2012-03-31
2012-02-01 - 2012-02-29
2012-01-01 - 2012-01-30
2011-12-01 - 2011-12-31
2011-11-01 - 2011-11-30
2011-10-19 - 2011-10-31
 
关于本站 | 广告服务 | 联系我们 | 招聘信息 | 网站导航 | 隐私保护
Copyright (C) 1998-2024. Creaders.NET. All Rights Reserved.