1最早的數學

數學有着久遠的歷史。從原始社會開始，人類就在繩子上打結，以便記數；在地上畫圖，測量大小。“結繩記數”開創和發展了數字的最早概念，“土地測量”等生產活動的需求，使幾何學應運而生。

如今找到最多最早數學記錄的地方，是古埃及和巴比倫。目前最古老的數學文本是《普林頓 322》（古巴比倫，約公元前1900年），《萊因德數學紙草書》（古埃及，約公元前2000年-1800年），以及《莫斯科數學紙草書》（古埃及，約公元前1890年）。

                        圖1：普林頓 322泥板

以上古文本中，都有關於幾何最早的記錄。如圖1所示的古巴比倫的普林頓 322是一塊泥板，上面的表格列出了不少勾股數，也就是滿足a²+b²=c²的a、b、c的正整數集合，比希臘、中國、印度的數學家等等的發現，要早上一千多年。

圖2：萊因德數學紙草書

圖3：莫斯科數學紙草書

現藏大英博物館的“萊因德數學紙草書”，總長525厘米，高33厘米，與保留於俄羅斯莫斯科普希金造型藝術博物館的“莫斯科數學紙草書”齊名，是最具代表性的古埃及數學原始文獻。兩本紙草書中都有不少幾何問題，據說其中有對π的簡單計算，所得值為3.1605。

古埃及和巴比倫距今已將近4000年，應該算是人類最早期的數學。但是，兩地的資料有限，人物不詳。因此，追溯數學歷史之源，還是從古希臘開始比較合適。

2古希臘的天時地利人和

當今世界的人口超過70億，根據人類演化歷史的研究及現代DNA技術的追蹤，這幾十億的人口，卻是來源於一個共同的祖先：非洲人。

後來，人類的祖先以雙腳走出非洲遍游世界，將後代延續繁衍到地球各處。再更進一步，人類逐漸沿河而居，聚集在一起建立了城市和國家，並因之而獨立誕生了好幾個所謂的“文明古國”，其中包括公元前3500年左右的兩河文明、公元前3000年時尼羅河畔的埃及文明、恆河流域的古印度文明（公元前2500年左右）、以及公元前2000年左右黃河長江流域的中國華夏文明。

儘管多種人類文明獨立誕生於不同的地區，各自特色不一，但是，作為人類文明思想精華之一的“科學”，卻又只是起源於唯一的一個地方：古希臘！

科學之起源與數學思想的發展密切相關，如今被稱為人類第一位數學家的先賢叫泰勒斯（Thales，公元前624年－公元前546年），或稱“米利都的泰勒斯”。米利都是泰勒斯的家鄉，見圖4。

圖4：文明古國，數學及科學的誕生

那麼，科學為何獨獨誕生於古希臘而非別處？答案有些出乎人們的意料之外，其原因竟然與古希臘的地理環境有關！

事實上，公元前500-600年左右，人類幾大古文明世界不約而同地出現了一段興旺場面：思想家輩出，哲學派別林立，各具特色和風格。然而同時，隨着各方宗教思想的嚴密化和系統化，東西方哲學思想開始分道揚鑣。這就是被後人稱為“軸心時代”的年代，被描述為是人類文明歷史上“最深刻的分界線”。

那段時期，中國有孔子、老子、墨子、莊子、列子等諸子百家，印度有釋迦牟尼，誕生了佛陀，古代波斯出現了拜火教……人類的幾大古文明社會開始通過不同的哲學反思來認識和理解這個世界。

大多數這些文明古國都始於農業的發展，建立於江河流域，而古希臘並不具備這種條件。例如泰勒斯的家鄉米利都位於愛琴海東部沿岸，屬於古希臘愛奧尼亞諸島一帶。那兒沒有河流只有海洋，沒有平原只有山地。

因此，古希臘一不傍河，二無森林，既未發展出如文明古國那種農業文明，也不可能有像瑪雅文化那樣的叢林文明。

然而，古希臘卻自有其“天時地利人和”之處！特殊的地理環境，使它儘管沒有“原生文明”，卻孕育出了一種獨一無二的、崇尚自由思想、有着海洋色彩的“次生文明”。

米利都位於多山的愛奧尼亞一帶，沿岸是一個一個的出海口。它們多面環山一面朝海，內路為群山所阻，海道卻極為便利。高山阻隔使它們互相獨立，海道暢通有利於發展自由的商業貿易。因此，這些出海口便形成了一連串以航海為基礎的，頗為富裕和自治的、相互沒有依附關係的獨立城邦，米利都便是當時較大的12個城邦之一。

愛琴海一帶，與米利都城邦隔海相望的，南是古埃及，東有巴比倫。頻繁興旺的商業活動不時帶來這兩個文明古國的相關信息，而這兩個文明又時常感受到更遠的印度及華夏東方文明。因此，“軸心時代”溫暖的春風，也就這樣間接地飄進了古希臘。

古希臘的思想家們，在多方文明的環繞滲透下，既保持其特有的自由思想，又包容地大量汲取外來的養分，最終化劣為優揚長避短，導致科學發端於古希臘。

著名物理學家薛定諤曾經將其原因大致歸納為如下3點：

a、古希臘的小城邦，實行的是類似於共和制的政治；

b、航海貿易刺激經濟，商業交換促進技術，由此而加速思想交流，科學理論形成；

c、愛奧尼亞人大多不信教，沒有像巴比倫和埃及那樣的世襲特權的神職等級，有利於倡導獨立思想新時代的興起。

科學脫胎於哲學，得益於數理。古印度哲學多探討人與神的關係；中國哲學家們多熱衷於研究如何安國興邦平天下，探討的是人與人的關係。唯獨古希臘哲學家們，喜好研究自然本身的規律，探討的是人與自然的關係，使得古希臘哲學思想獨具一格。

人與自然的關係，正是科學的本質，其中缺不了數學。

3第一位數學家何許人也？

古希臘數學家泰勒斯（Thales，公元前624年－公元前546年），被譽為世界第一位數學家、哲學家、科學家。泰勒斯對科學作了哪些貢獻？本文重點談他對數學的貢獻。

泰勒斯證明了“泰勒斯定理”，首開先河引進“證明”的思想，將數學從經驗上升為理論，繼而使理性精神發源於古希臘，之後又傳播到歐洲並催生了宏偉的現代科學…

圖5：米利都的泰勒斯

泰勒斯出生於米利都，儘管當年這個城邦名義上屬于波斯統治，但實際上具有很大的獨立性。米利都的大多數居民，是在公元前1500年左右，從克里特島遷來的移民。克里特島在米利都的西南方，位處古埃及、巴比倫文明的輻射範圍以內。而到了泰勒斯的父母一代，他們原是東南方向善於航海和經商的腓尼基人，也算是奴隸主貴族階級。因此，天才的泰勒斯從小受到良好的教育。

泰勒斯早年隨父母經商，曾遊歷埃及、巴比倫、美索不達米亞平原等地。泰勒斯興趣廣泛，涉及數學、天文觀測、土地丈量等各個領域，遊歷過程中學習到很多知識。

泰勒斯最著名的哲學觀點：水是萬物之本。他研究天文，確認了小熊座，估量太陽及月球的大小，修定一年為365日。

數學上，他應用在埃及跟當地祭司學習的數學知識於測量：估算船隻離岸的距離，從金字塔的陰影計算其高度，證明了泰勒斯定理。

泰勒斯是西方思想史上第一個有記載、有名字留下來的思想家。這位人稱“科學之祖” 的偉大人物也在民間留下了很多趣聞逸事。

據說泰勒斯有一次用騾子運鹽，一頭騾子不小心滑倒溪水中，背上的鹽被迅速溶解了一部分，於是這頭狡猾的騾子每到一個溪水旁就打一個滾，故意讓鹽溶解負擔減輕。泰勒斯發現了這點，便將計就計，有時讓這騾子改馱海綿，騾子到溪邊照樣打滾，卻發現負擔越來越重。最後，聰明的泰勒斯終於使那頭騾子改掉了溪邊打滾的習慣，老老實實地繼續馱鹽！

泰勒斯還有幾個預言成真的故事。他曾經預言有一年雅典的橄欖會豐收，並乘機購買了米利都所有的橄欖榨油機，抬高價格壟斷了榨油行業，於是大賺了一筆，他以此證明自己如果把心思放在經商上，有潛力成為一個精明的商人。

據說泰勒斯利用他學到的天文知識，預測到了公元前585年的一次日食。這點可見於古希臘歷史學家希羅多德在其史學名著《歷史》中之記述：

“米利都人泰勒斯曾向愛奧尼亞人預言了這個事件，他向他們預言在哪一年會有這樣的事件發生，而實際上這話應驗了。”

據說在那年，米堤亞和呂底亞的軍隊正準備打仗，泰勒斯的預言阻止了這場戰爭，因為古希臘人將日食視作上天將懲罰人類的一種警告，交戰雙方自然不願違背天意，於是便簽訂了停戰協議。根據現代天文學的知識，那是公元前585年5月28日的日食，泰勒斯應該無法準確地給出日期，只能預料一個大概的年月而已。

泰勒斯晚上沒事時喜歡一邊散步一邊抬頭看天象，也冥思苦想哲學問題，腦海中則免不了思緒翻滾騰雲駕霧。但他只知研究天上的星星，卻看不到自己腳下的大坑，有一次不小心掉進了井裡，女僕聽到叫喊聲後，才好不容易將他救了上來。

4泰勒斯對數學的貢獻

泰勒斯在數學方面作了不少工作，從具體實踐到數學思想都有所貢獻，下面一一道來。

4.1 實用計算

泰勒斯利用在埃及和巴比倫學到的幾何學知識，發展了以幾何物件的相似為基礎，計算一些無法直接測量的高度或距離的方法和技巧。例如，其中包括的三角測量法，如圖6所示。他藉由測量自己及金字塔的影子長度，以及自己的身高，並運用相似形的原理來測量金字塔的高度。泰勒斯亦根據此原理推算自己與海上船隻的距離，以及推算懸崖的高度。

圖6：泰勒斯從金字塔的陰影估算出金字塔的高度

圖6中，A是木棍長度，B和C分別是太陽照射於木棍和金字塔所形成的陰影的長度。知道A、B和C，就可以計算出金字塔的高度D和陽光與地面的夾角。

泰勒斯也使用類似的方法，測量海上船舶與海岸之間的距離。

4.2 幾何證明

泰勒斯在進行早期的幾何研究中，確立了一些邏輯和幾何真理。他通過演繹推理得出許多數學定理和命題。其中最典型的一個稱為泰勒斯定理。

泰勒斯定理講的是：“直徑所對的圓周角是直角。”

泰勒斯並非此定理的首名發現者，古埃及人和巴比倫人一定已知這特性，可是他們沒有給出證明。

圖7：泰勒斯定理

如圖所示，AC是直徑，其中點O便是圓心，在圓周上任取一點B，連接B和A、C。根據泰勒斯定理，無論B在哪裡，角ABC都是直角。

為證明泰勒斯定理，需要以下兩個事實：

1. 三角形三個內角和是180°，2. 等腰三角形的底角相等。

圖8：證明泰勒斯定理需要的兩個命題

因為O是圓心，所以OA、OB、OC都是半徑。圓的半徑長度相等。所以三角形OAB和三角形OBC都是等腰三角形。我們把兩個三角形的底角分別命名為α和 β。

講ABC看作一個大三角形，所以：

α + α + β + β = 180°,

⇒ 2 α + 2 β = 180°,

⇒ α + β = 90°。

所以角ABC是直角三角形。

在推導泰勒斯定理的同時，泰勒斯也證明了其他幾個基本命題：圓被它的任一直徑所平分，半圓的圓周角是直角，等腰三角形兩底角相等，相似三角形的各對應邊成比例，若兩三角形兩角和一邊對應相等則兩三角形全等。

4.3 理性精神

泰勒斯定理的證明是很容易的，屬於初中平面幾何的範圍。但泰勒斯對數學的貢獻不是在於幾何證明本身，而是在於引進了“證明”的方法和概念。要知道，在泰勒斯之前，已經有一大堆幾何事實，但沒有過任何“證明”。泰勒斯是已知的第一個將演繹推理應用於幾何的人，在一個充滿謬誤和迷信的時代，他是第一個用邏輯推理來理解這個世界的人，這就是為什麼他被認為是第一位真正的數學家。

幾何定理為什麼需要被“證明”呢？至少有兩個原因：一是通過證明，才能確認定理的普適性，例如泰勒斯定理說：直徑所對的圓周角是直角，只有證明之後，才確定這兒指的是直徑所對的“任何”圓周角，而不是特殊的某一個。第二個原因是，“證明”能夠發掘幾何事實相互之間的關係，發展邏輯推理的方法。

打個比喻說：未經證明的諸多幾何事實，就像是混亂堆砌在一塊兒的一堆磚頭（見圖9左）。而證明將它們互相關聯起來，建造成宏偉的建築物（見圖9右）。

圖9：邏輯推理和證明的意義

其它的文明，例如古埃及、巴比倫、印度、中國等，更早的時期就發現了很多的“幾何事實”，都有早期數學知識的記載。但因為不強調形式邏輯，沒有發展出演繹、證明、公理化等方法，因而未成大器。

泰勒斯首開先河的“理性精神”，是數學的精髓。

泰勒斯劃時代的貢獻是引入了證明的思想，將數學從經驗上升到理論，這在數學史上是一次不尋常的飛躍。為畢達哥拉斯創立理性數學、歐幾里德的公理化幾何等奠定了基礎。較之世界其他文明，這是古希臘獨有的，使其成為數學乃至科學的奠基者。

5古希臘數學的啟示

理性思維是走向科學的第一步。具體到中國，再次引用一下愛因斯坦論及科學為何沒有起源於中國時所說的話：

“西方科學的發展有兩個基礎：希臘哲學家發明的形式邏輯體系（如歐幾里得幾何），和文藝復興時期發現通過系統實驗找出因果關係的方法。”

簡而言之，愛因斯坦是說，科學發源於古希臘文化，是基於兩個必要條件：形式邏輯體系和系統實驗。愛因斯坦強調的“形式邏輯”，正是中國人比較欠缺的。

中國人的思維方式基本上屬於直觀的形象思維，而西方人更重視邏輯思維。從邏輯學角度來看，中國人更偏向於辯證邏輯，而西方人更偏重形式邏輯。

辯證邏輯和形式邏輯各有所長，但是，形式邏輯是基礎，走向辯證可算是錦上添花。缺乏形式邏輯的辯證會流於“狡辯”。換言之，中國人的思維方式有一定的缺陷，或者可以說，中國人的思維方法貌似辨證有餘，但卻獨缺形式邏輯。

科學離不開數學，愛因斯坦的說法肯定了這點。而數學的內容不只是計算和證明，它也不僅是作為科學的語言和工具，更為重要的：數學是思想，是理性精神，是能給予科學精密性和嚴格性的形式邏輯。

中國古代並不是沒有數學，而是沒有基於精密思維的形式邏輯體系。中國人腦袋中也不乏解決具體數學問題的小技巧，但卻缺乏大範圍的數學思想。

所以，很有必要學習一點數學史，探索數學及科學的根本精神，方能逐步克服我們思維方法之不足。

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