大家都知道，一個國家或地區的經濟會發生“經濟危機”，沒想到數學這種象牙塔中的理論研究也會發生危機。歷史上的數學危機有三次，本文介紹第一次。 第一次數學危機發生於古希臘時代。古希臘的泰勒斯（Thales，公元前624年－公元前546年）被學界譽為第一位數學家，他第一次將“證明”的思想引入，為數學注入理性精神。古希臘的思想家們追溯萬物之源，思想活躍、不落俗套、敢於出新。各種靈巧怪異的想法紛紛湧現出來，聽起來令人感覺妙趣橫生。如泰勒斯認為“萬物皆水”，他的一位學生主張“萬物皆氣”，另一位學生認為萬物起源於某種虛無縹緲不定形的東西…… 1，畢達哥拉斯其人 離泰勒斯活躍的米利都不遠處，有一個叫薩摩斯島的城邦，則出了一位主張“萬物皆數”的數學家，認為“數”可以解釋世界上的一切事物。這是畢達哥拉斯（Pythagoras，前570年－前495年），他既是數學家，也是哲學家和音樂理論家。他對數字痴迷到近乎崇拜；同時認為一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和證實。他的畢達哥拉斯學派除了將數學推崇到極致之外，還具有一些不可思議的神秘主義因素。例如，他們認為吃蠶豆是不道德的，因為人死之後，靈魂會寄存在蠶豆中，據說畢達哥拉斯本人可以與牲畜交談，以便告訴牲畜不要吃蠶豆。
圖1：畢達哥拉斯（點擊觀視頻）
畢達哥拉斯與泰勒斯相差50多年，曾經見過泰勒斯並受他以及米利都學派的影響，可以算是泰勒斯的學生。畢達哥拉斯曾用數學研究樂律，首次發現了音調的音程按弦長比例產生，頻率間隔比例的簡單數值形成了美妙和諧的聲音。由此，畢達哥拉斯將自己有關數的理論結合米利都學派的宇宙論，提出了宇宙無比“和諧”的概念。他用數學關係表達音調的特質，他認為這些關係也呈現在視覺、角度、形狀中……所有的比例都是按照完美的數字構成的！太陽、月亮和行星都散發着自己獨特的嗡嗡聲（軌道共振） ，地球上生命的特性反映了人耳察覺不到的這些天體的聲音。 畢達哥拉斯第一次提出了大地是球體這一概念，從他開始，希臘哲學產生了數學的傳統，對以後古希臘的哲學家有重大影響。
2，畢氏學派對數學的貢獻
畢氏學派證明了畢達哥拉斯定理（勾股定理），這和其他很多文明中發現許多勾股數的意義是不同的。勾股數是符合勾股定理的三元數組，它們的數目有無窮多。例如，(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)…等等，都是勾股數，中國古代的“勾三股四弦五”就是典型的例子。在公元前18世紀的巴比倫石板上，就已經記錄了各種勾股數組，最大的是（18541，12709，13500）。發現了勾股數，不等於發現了勾股定理，更不等於證明了勾股定理。這個定理的證明，是始於畢達哥拉斯，再由後來的歐幾里得給出了清晰完整的證明。
圖2：畢達哥拉斯定理
畢達哥拉斯學派還研究過正五邊形和正十邊形的作圖，得到黃金分割的比值數：（1：0.618）。 
圖3：黃金分割
除了諸如證明勾股定理這種具體的貢獻之外，畢氏學派當時最著名的數學思想是用原子論的觀點，將幾何建於算術（整數）之上。根據畢達哥拉斯學派的觀點，一切數都可以用整數以及整數的比值（即我們現在所說的“有理數”）表示出來。 當年的古希臘，各種哲學思想派別林立、此消彼長。畢達哥拉斯欣賞原子論的觀點，並把它用於數學，用原子觀點來構建他的幾何綱領。 原子論認為萬物分下去是原子，而畢氏學派認為幾何線段分下去是“點”。點是什麼呢？就是幾何的原子，和原子一樣有大小，即其長度不為零 。例如，設d表示點的長度，d有三種可能性：d = 0, d = 無窮小，d>0。 
圖4：畢氏學派用原子論觀點解釋幾何線段 對“點”的理解反映了當時數學界連續派和離散派觀點的區別，根據連續派的說法，線段無限可分，最後的“點”無尺寸，大小為零，或有人說是“無窮小”。但畢氏學派認為：如果說點是0，那麼，無尺寸的“點”，如何能構成有尺寸的線段呢？這是無中生有、自相矛盾的。如果說點是無窮小，那麼無窮小是什麼？也說不清楚，令人困惑，更顯得詭秘深奧。因此，畢氏學派採取離散派的觀點，認為“分割”有盡頭，最後的“點”很小但不為零。換言之，在畢氏學派看來，線段就像是許多珠子串在一起的珍珠項鍊。基於畢氏的幾何觀，任何兩個線段都可以共度（或稱公度、通約），因為它們都由某個最小的長度組成。也就是說，所有的數都可以表示為整數或者整數之比。因此，世界及宇宙的美妙與和諧就建立在整數的基礎之上！ 3，希帕索斯發現無理數 
圖5：發現無理數的希帕索斯（點擊觀視頻）
誰知好景不長，畢達哥拉斯的一位學生希帕索斯發現了√2這種無法用整數或整數之比來表示的數（之後被稱為“無理數”）。 事實上，從畢氏學派證明了的勾股定理，是很容易發現無理數的。一個邊長為1的正方形，其對角線便不能與邊長通約，長度記為√2。類似情形還有很多很多：面積等於3、5、6、……17的正方形的邊，與單位正方形的邊也都不可通約。無理數的存在逐漸成為並不罕見人所共知的事實。√2與1不可通約，可以用如下反證法證明： 
無理數的發現，對於依靠整數的畢氏哲學，是一次致命的打擊。因此，據說當時他們將這些事實嚴格保密，緘口不言，不想被不識時務的希帕索斯給捅了出來！唉，別無他法，只有將他丟到海中餵魚，才能解除一點同窗學子們的心頭怨恨。 不過是發現了一種不能通約的數而已，有這麼嚴重嗎？情況的確挺嚴重的，因為：如果存在不可通約的線段，就沒有公共的量度單位，便不能將“點”看成有長度的東西，畢氏學派“萬物皆（整）數”的哲學思想立刻分崩離析，建立於美妙的整數之上的和諧宇宙也轟然倒塌了！畢氏學派證明的幾何命題、他們關於相似形的一般理論，都局限在可通約的量上。人們自然便懷疑：數學作為一門精確的科學是否還有可能？宇宙的和諧性是否還存在？ 因此，無理數的發現，引起了第一次數學危機。 4，芝諾悖論衝擊極限概念 沒過多久，生活在另一個古希臘城邦埃利亞的芝諾（Zeno of Elea，公元前490-430），又提出了幾個怪怪的、似乎扯不清楚的“悖論”，更加深了人們的危機感，以及對美好和諧世界的擔憂。 
圖6：芝諾（點擊觀視頻）
芝諾是著名哲學家巴門尼德的學生，因提出四個有關運動的悖論而知名。其中的阿基里斯悖論與數學中極限理論密切相關，在此重點介紹一下。 阿基里斯是古希臘神話的善跑英雄，希臘第一勇士，假設他跑步的速度為烏龜的十倍：例如，阿基里斯10米/秒，烏龜1米/秒。出發時，烏龜在前面100米處，如圖7所示。 
圖7：阿基里斯追烏龜
按照常識，阿基里斯很快就能追上並超過烏龜。 芝諾卻說：“他永遠都趕不上烏龜！” 為什麼？芝諾振振有詞：開始，烏龜超前100米；當他跑了100米到烏龜開始位置時，烏龜已經向前爬了10米，烏龜超前10米。然後下一步，烏龜將超前1米；再下一步，超前0.1米；然後繼續下去：超前0.01米、0.001米、0.0001米……不管這個數值變得多麼小，烏龜永遠超前！ 用我們現代的數學知識，一個簡單的代數計算就足以反駁芝諾的“謬論”。 假設某個時刻x秒之後，阿基里斯追上了烏龜（圖8），可以列出x滿足的方程並解出x=(100/9)。也就是說，11又1/9秒之後，阿基里斯趕上了烏龜！ 
圖8：阿基里斯悖論的解答（點擊觀視頻）
因此，現在的大多數人會覺得芝諾是在“詭辯”，因為他說的烏龜超前的一連串數字：1米、0.1米、0.01米、0.001米、……，貌似無窮多，但都是在（100/9）秒之內完成的，並非“永遠”！ 當我們說到“無限”， 有兩種含義： 一是無限分割， 一是無限延伸。無限份時間不等於無限長時間！一個收斂級數的和是有限的。而時間的流逝卻是無限的。芝諾顯然混淆了兩者，或者偷換了概念。因此，以現代觀點看，他的確是在“狡辯”。 不過，我們需要用歷史的眼光分析這個問題。那是兩千多年前，還沒有完善的極限概念，可能也不知道“收斂級數”這個詞，而這正是我們得到上面結論的基礎。比芝諾稍後（200年左右）的阿基米德（前287年－前212年）對此悖論進行了頗為詳細的研究。他把每次追趕的路程相加起來計算阿基里斯和烏龜到底跑了多遠，將這問題歸結為無窮級數求和的問題，證明了儘管路程可以無限分割，但整個追趕過程是在一個有限的長度中。所以說，芝諾的說法並非僅僅是狡辯。
5，芝諾悖論的意義 
圖9：極限思想的萌芽 “一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，這句話是中國惠施（前370年-前310年）說的。意思是說，一尺長的竿，每天截取一半，一萬年也截不完。竿子越來越短，長度越來越趨於零，但又永遠不會等於零，這正是“事物無限可分，但又不可窮盡”的極限思想的萌芽。 
圖10：不同的極限觀點 前面說到的畢氏學派用原子論解釋幾何的數學觀，代表了古希臘極限觀。 芝諾時代已經過去二千四百多年了，但是圍繞芝諾的爭論還沒有休止。芝諾揭示了稠密性連續性、無限可分和有限長度、連續和離散、實無窮潛無窮之間的關係。引起人們對這些關係的關注與研究。 
圖11：實無窮和潛無窮
實無窮把極限當作數學實體，潛無窮認為極限是無限趨近的過程。古時候，畢氏學派代表 “實無窮”的極限觀，惠施的說法是“潛無窮”觀點。 因此，在希臘數學發展的關鍵時刻，芝諾也做出了有意義的貢獻。
6，第一次數學危機的解決
第一次數學危機被柏拉圖（Plato，公元前429年－前347年）的弟子歐多克索斯（Eudoxus of Cnidus，公元前408年－前355年）創立了新的比例論、完善了窮竭法而克服。 歐多克索斯也屬於畢氏學派，是畢達哥拉斯弟子阿爾庫塔斯（Archytas，前428年－前347年）的學生。因此，第一次數學危機的解決可說是“解鈴還需系鈴人”。也可以說，無理數的發現，當年是畢氏學派的最大災難，其實也是畢氏學派的最大成就。 歐多克索斯處理不可通約量的方法，出現在歐幾里得（前325年－前265年）《幾何原本》第5卷中，和狄德金於1872年繪出的無理數的現代解釋基本一致。他給出的比例的定義與所涉及的量是否有公度無關，這樣就容許了無理數的存在。 第一次數學危機使整數的尊祟地位受到挑戰，使古希臘的數學基礎發生了根本性的變化。在第一次數學危機之前，古希臘的數學是以數為基礎的。第一次數學危機之後，古希臘的數學基礎則轉向幾何，以幾何為基礎，幾何學開始在希臘數學中占具特殊地位使，數學的公理化成為可能。危機的解決也推動了數學及其相關學科的發展。 同時，第一次數學危機也表明了直覺和經驗不一定可靠，推理證明才是可信的。從此希臘人開始建立幾何學公理體系，直到後來的歐幾里得。因此，公理化思想是數學思想上的一次革命，是第一次數學危機的自然產物。 由此產生的歐幾里得幾何對數理天文學的發展有重大意義。由於宇宙是幾何的，宇宙的規律是幾何規律，因此研究宇宙就離不開幾何圖形以及幾何理論。 回顧一下歷史事實便知，數學基礎從整數轉向幾何意義頗大。古代以數為基礎的文明，很難建立數學的公理系統。古代中國和古印度古埃及都是例子。在這些國家從未建立起數學的公理系統。 因此，第一次數學危機，是整個科學發展進程中的一個重要事件，對科學的發展起了促進作用。
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