公元前540年，畢達哥拉斯學派發現了無理數，幾十年後埃利亞學派的芝諾又提出悖論。這些事件動搖了畢氏學派所尊崇的算術（整數）基礎，引發了第一次數學危機。之後，幾何在古希臘數學中的地位被大大提升，從而有利於邏輯推理的發展，最後，歐幾里得總結前人的成就，建立了第一個公理化體系。古希臘不愧為數學的發源地，幾何之故鄉……

1，柏拉圖的貢獻

蘇格拉底、柏拉圖和亞里士多德並稱為希臘三賢，其中與數學發展最有關聯的是柏拉圖（Plato，公元前429年－前347年）。柏拉圖在發展幾何及古希臘數學上，有舉足輕重的的貢獻。這並不是說他在幾何或數學研究中取得了多麼傑出的學術成果，他的功勞是表現在以下兩個方面。

希臘三賢

一是他所建立的柏拉圖學院，吸引了當年大批的頂尖人才，他們以柏拉圖為核心形成一個學派，稱為柏拉圖學派。這是西方最早的高等學府，後世的高等學術機構也都使用“學院Academy”這個名字。

在柏拉圖指導下，學院的數學教育取得了極大的成功，因為學者之間需要經常進行討論或交流，而學院正好為交流活動提供了場所，因此，柏拉圖學院逐漸成為研究哲學、數學等科學的中心。

傳說柏拉圖學院的門前，鐫刻着一句名言：“ 不懂幾何者勿入”！

其中最傑出的數學家包括創立比例論而解決了“不可通約量”的歐多克索斯（Eudoxus of Cnidus，公元前408年－前355年）等人，以柏拉圖學派弟子命名的數學定理和計算方法有很多。據說歐幾里得（公元前300左右）早年也曾在學園攻讀過數學，他的《幾何原本》中的大部分內容都是來源於柏拉圖學派數學家的研究成果。

柏拉圖數學貢獻中的第二點，表現在他的名著《理想國》一書中。他把邏輯思維方法引入幾何。書中的第6篇，談及了數學假設和證明。柏拉圖將算術、 幾何、天文等列為主要數學分支，認為這些是哲學家的必備知識， 這顯而易見地強調了數學（尤其是幾何）的重要性。

柏拉圖企圖使天文學成為數學的一個分支。他認為：“天文學和幾何學一樣，可以靠提出問題和解決問題來研究，而不用去管天上的星界。”

柏拉圖企圖用數學方式來解釋宇宙。他設想宇宙萬物由五種正多面體組成，分別對應於五種元素。正四面體代表“火”，正八面體是“氣”，正二十面體是“水”，立方體是“土”。正十二面體是組成天上物質的“以太”。

柏拉圖多面體

柏拉圖對於幾何學的崇尚，到了極端的程度。他認為“上帝創造世界時，用的正是幾何法則”、“從已知的假設出發，以前後一致的方式向下推，直至得到所要的結論。”這些名句廣為傳播，使演繹推理在學園裡盛行。

2，幾何大師

柏拉圖強調演繹和推理，不需依賴經驗的抽象性，帶有一定的公理化色彩。 這種對後來的歐幾里得和阿基米德都有很大影響。

歐幾里得（Euclid，前325年－前265年）被稱為“幾何學之父”。他活躍於托勒密一世時期的亞歷山大里亞，也是亞歷山太學派的成員。他在著作《幾何原本》中提出五大公設，成為歐洲數學的基礎。

歐幾里得生平資料流傳到現在的很少，畫像也都是後來的畫家憑着想象創作的。但他公理化的幾何流傳極廣，進入世界各國的教材。歐幾里德約公元前300年著《幾何原本》，是用公理法建立演繹數學體系的最早典範。

歐幾里得和《幾何原本》

有些研究者認為其實沒有歐幾里得這個人，一般認定是他所寫的作品其實是一群數學家（柏拉圖的學生：歐多克索斯、泰阿泰德及歐普斯的腓力等）以歐幾里得為名所寫。不過大家都將這些歸於“歐幾里得”名下。

在歐幾里得的推動下，數學（幾何）逐漸成為人們生活中的熱門話題，以至於當時亞歷山大國王托勒密一世趕時髦，也想學點幾何，但他學得很吃力，問歐幾里得討教“學幾何有無捷徑？”歐幾里得回答：“在幾何學裡，沒有專為國王鋪設的大道。”

歐幾里得幾何從幾條公理出發，靠邏輯推理證明其它的命題和定理。所謂“公理”，指的是不證自明，經過人類長期反覆實踐的考驗的基本事實。

歐氏平面幾何的5條公理（公設）：1，過兩點可作一條直線；2，線段可無限延長；3，以任何點和直徑可以畫圓；4，凡直角均相等；5，過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行

古希臘不愧為是“幾何之鄉”，他們出了歐幾里得這位幾何大師。之後的阿基米德（公元前287～前212年），更是一位物理、數學、天文之全才。阿基米德也曾活躍於亞歷山大里亞，他確定了大量複雜幾何圖形的面積與體積，給出圓周率的上下界；提出用力學方法推測問題答案，其中隱含了一千多年之後才產生的“積分論”思想。

古希臘不僅數學人才輩出，還為人類留下了“平行公理”之疑惑以及“古希臘尺規作圖三大數學難題”，前者導致非歐幾何的出現，後者的解決擴展了代數領域。因此，古希臘幾何對近代數學的發展影響巨大。

3，非歐幾何

歐幾里得的五條公理中，人們對前4條都沒有異議，唯獨第五公理（平行公理），看起來頗似定理。在幾何原本中，平行公理到證明第29個命題時才用到。之後也不太用。許多人就懷疑是不是可以用4個公理就夠了，也許可以將平行公理證明出來？

因此，數學家們折騰來折騰去，對平行公理討論、質疑、研究了兩千多年。這其中有古希臘的波希多尼 (Posidonius)、2 世紀的著名學者托勒密、五世紀的Proclus等。一千年後的大數學家勒讓德Legendre，也迷上了平行公理達二十年之久，對第五公理給出了許多證明。當然，這些證明都是錯誤的。

直到1824年，俄國數學家羅巴切夫斯基，提出一個和歐氏平行公設相矛盾的命題，代替第五公設，結合前四個公設成公理系統，展開推理。得出許多違背常理、莫名其妙的結果：比如三角形的內角和小於兩直角，而且隨着邊長增大而無限變小，直至趨於零；銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交等。如此建立了一套與歐氏幾何平行的幾何體系，後人稱之為羅氏幾何。

匈牙利數學家鮑耶也發現了第五公設不可證明和非歐幾何的存在。鮑耶在研究過程中遭到了家庭、社會的冷漠對待。在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發表了研究結果。

高斯也研究非歐幾何，發現第五公設不能證明。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發表，也不敢站出來支持羅巴切夫斯基等，羅巴切夫斯基遭諷刺打擊鬱鬱而終，到死也沒能看到自己的研究成果被學界公認。

在羅巴切夫斯基死後12年，1868年，意大利的一個數學家貝爾特拉米(Beltrami)發表了一篇論文“非歐幾何解釋的嘗試”，詳細的敘述了非歐幾何的體系，證明了非歐幾何的存在，給出了羅氏幾何的直觀解釋．表明羅氏幾何應該與負常數曲率的曲面（如雙曲面）的幾何相符合。

歐氏幾何、羅氏幾何、球面幾何中的三角形內角和（點擊圖像觀視頻）

之後，又有了將平行公設作不同改變而產生的黎曼球面幾何。這三種幾何分別適用於平面、雙曲面、和球面（分別對應於上圖的左、中、右），但它們被建立的過程卻是根據改變平行公理後用邏輯推理方法得到的。以下總結一下三者平行公理之不同：

歐氏幾何的平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行。

羅氏幾何的平行公理：過直線外一點至少有兩條平行線。

球面幾何的平行公理：過直線外一點沒有該直線的平行線。

三種幾何各自都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性、獨立性，因此這三種幾何都是正確的。

日常生活中適用歐氏幾何；在宇宙空間或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面航海、航空等實際問題中，球面幾何更為準確。

與歐氏幾何不同的羅氏幾何和球面幾何

之後，黎曼統一了以上三種幾何，結合微積分於流形之上建立了黎曼幾何。並且預見，物質的存在可能造成空間的彎曲。為愛因斯坦的廣義相對論準備了數學基礎。從古希臘幾何發展到黎曼幾何，再用於相對論，可見其對科學影響之巨大。

4，古希臘三大作圖難題

古希臘留下了三大幾何作圖難題。兩千多年後，歐洲出了幾位少年數學天才（見下圖），其中兩位因群論的建立以及他們的早逝而廣為人知，阿貝爾貧病交加而死，伽羅瓦21歲時與人決鬥死與非命。解決尺規作圖難題的，是圖中右邊的旺澤爾。旺澤爾活得也不長，34歲便英年早逝了。他研究過五次方程的根式解，並第一次給出三大難題中“三等分角”、“倍立方”問題的不可能性證明，但他的工作被忽略了近一個世紀。

（點擊圖像觀視頻）

尺規作圖是古希臘人提出的一種平面幾何作圖方法。指的是只能有限次地使用圓規和無刻度直尺，解決平面幾何作圖題。

三大難題（見下圖）是：

1，倍立方：用尺規作圖的方法作出一立方體的棱長，使該立方體的體積等於一給定立方體的兩倍

2，三等分角：將任意給定角三等分。

3，化圓為方：求一正方形，其面積等於一給定圓的面積。

（點擊圖像觀視頻）

旺澤爾用代數的方法來解決幾何問題，於1837 年證明了不存在僅用尺規作圖法將任意角度三等分的通法。具體來說，旺澤爾研究了給定單位長度後，能夠用尺規作圖法所能達到的長度值。所有能夠經由尺規作圖達到的長度值被稱為規矩數，或稱可造數（constructible number）。意思便是指用圓規（規）直尺（矩）可以（造）出來的數。

可以證明，尺規作圖可作的幾種操作，對應於代數中的加減乘除加開方運算，即包括平方根、四次方根、八次方根...等2^n次方根。因此，規矩數的集合比有理數大，比實數小。可以將有理數域擴大而得到。下面是規矩數和非規矩數的例子：

規矩數的集合仍然是一個域，因此可用尺規作圖後產生的新數是否是規矩數來判定其可能性。而旺澤爾證明了，如果能夠三等分任意角度，那麼就能做出不屬於規矩數的長度，從而反證出通過尺規三等分任意角是不可能的。此外，因為規矩數中不包括三次方根，而倍立方問題就是要用尺規作圖作出2開三次方的線段，所以也無解。

最後，規矩數是一種代數數，不包括不能表示為代數方程之解的超越數。而化圓為方問題的本質就是要用尺規作圖作出長度與p開方有關的線段， 1882年，數學家林德曼證明了p為超越數，因此也證實了化圓為方問題的不可能性。

回味三大難題2000年之後才被證明的過程，古希臘幾何對數學發展的作用不言自明。

××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××

本人的科普視頻：YouTube：

天文航天：“談天說地”  https://www.youtube.com/playlist?list=PL6YHSDB0mjBLmFkh2_9b9fAlN7C4618gK

趣味數學：數學大觀園  https://www.youtube.com/playlist?list=PL6YHSDB0mjBJifi3hkHL25P3K9T-bmzeA

也發在微信公眾號“天舸”上（微信號：gh_e01fc368fe31）:

              長按/掃一掃二維碼，敬請關注我的微信公眾號“天舸” !

××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××