中國古代數學 

古代的東西方皆有早期數學的誕生和發展，可謂彼此獨立各有千秋。

1.古中國的算學

古希臘有阿基米德計算球體積的故事，中國的祖沖之和兒子祖暅也得到過同樣結果，但晚了約700年左右。不過他們使用的方法，即三國時代的劉徽首先提出、後來被稱之為“祖暅原理”的方法，卻比西方得到的同樣原理（卡瓦列里原理）早了一千多年。

祖暅原理說：“冪勢既同，則積不容異”，即如果所有等高處的截面積都相等，二立體的體積必相等。

圖1：祖暅原理（YouTube視頻）

實際上說穿了，中國古代數學的本質就是“計算”。祖沖之是中國古代最偉大的數學家，他的最大貢獻就是將圓周率的結果計算到了小數點後第7位，國際上因此稱圓周率為“祖率”，並建議將3月14日定為“祖沖之日”。祖沖之的天文成就包括計算和測量回歸日及月球繞地周期，其結果與現代數據相差無幾，由此月球上一個火山口，被學界命名為“祖沖之火山口”。

古中國與古希臘數學的另一區別是對數學發展的推動力。古希臘人視數學為愛好和遊戲，古中國獨尊文史輕視數理，因此數學發展的驅動力基本上只是“實用”。“實用是目的，計算為核心”。這也就是為什麼有人說中國古代並無“數學”，只有“算學”的原因。

因此，中國古代數學的主要特點是其算學特點。算學也有它先進發達的一面，並非完全沒有理論，中國古代數學也有不少密切聯繫實際的理論，比如與算法相關的推理證明等。中國古代的許多算法，稍加改變可以用到現代的電子計算機上。

古中國數學的機械化思想，與古希臘數學的公理化思想，是數學發展過程中的兩套馬車，都促進了數學的發展。古希臘以幾何為主，古中國多用代數方法，幾何比代數更容易公理化，代數比幾何更容易發展成機器算法。幾何直觀形象易於被眾人接受，代數在非專業人士眼中則顯得枯燥。可以說當時的兩者各具優缺點。

古希臘數學衰落而通過阿拉伯傳到歐洲的那段時期，正好是中國幾位數學家劉徽祖沖之等活躍的時候。這兩個分支在各自的跑道上獨立發展，沒有太大的關聯。

在羅馬帝國與歐洲中世紀，數學的自由精神受到限制，而中國古代數學卻在13世紀（宋朝）時達到了巔峰。

不過再到後來，情況又逐漸走向反面，中國的封建社會和中央集權遏制了學術的發展，學術水平非但不進步反而巨大倒退，文化專制和盲目排外使得數學及科學均逐漸落伍。

2. 韓信點兵--中國剩餘定理

“韓信點兵，多多益善”是一個成語，也涉及到中國古代一個著名的數學故事。秦末楚漢相爭時，韓信率1500名將士，但第一次戰後損傷了3、4百，於是，他急速點兵準備迎接下一場戰鬥。他的方法與眾不同別出心裁。他命令士兵每3人排一排，發現最後多了2名，如每5人排一排則多3名，7人排一排，又是多出2名。然後韓信立即得出了他的兵員數是1073名。

這個數學問題的學術版名字叫做“中國剩餘定理”，是我們中國古代數學貢獻於世界的最光輝一篇。享譽世界，對數論研究、密碼學及通俗如程序設計都有意義。

這道題最早出現在一千多年前的《孫子算經》中。

圖2：孫子算經

那只是當時一道不太起眼的叫做“物不知其數”的算術題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”翻譯成現在使用的數學語言：一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數。比較聰明的小學生立刻能湊出來一個數：23。檢查一下也的確符合題目所給的3個條件。

我說23是湊出來的，因為23是很小的數！對這個簡單情況我們可以使用列舉法，

除3余2的數：2，5，8，11，14，17，20，23，26……

除5余3的數：3，8，13，18，23，28……

除7余2的數：9，16，23，30……

滿足這三個條件的共同數是“23”，所以便得到了答案。

不過眼尖的讀者也發現這個結果並不適合韓信點兵，兵數太少了！韓信的兵至少1000以上啊。不過這個問題有不止一個答案，事實上，答案（通解）可以寫成：23+3*5*7*t = 23+105t，其中t = 0, 1, 2……。由此可以得到在任何整數範圍問題的答案。例如，如果設t = 10，便得到了韓信的答案。

上面的分析雖然簡單，也可以悟出幾條此類問題的共同特點：

1，答案需要滿足3個條件，2，答案不止一個，可以加上被除數的公倍數的倍數。3，公倍數很重要。

明朝有位數學家叫程大位，他用四句詩概括這個問題的解決方案：

圖3：程大位的詩（YouTube視頻）

為什麼70，21，15，105有如此神奇作用？70，21，15，105是從何而來？

這幾個數的性質：70除以3余1，被5，7整除，所以70a除以3余a，也被5，7整除；21余以5余1，被3，7整除，所以21b除以5余b，也被3，7整除；15除以7余1，被3，5整除，所以15c除以7余c，被3，5整除。而105則是3，5，7的最小公倍數。

總之來說：70a＋21b＋15c是被3除余a，被5除余b，被7除余c的數，這個數如果大於公倍數105，便逐次減去直到得到23。

因此，一個數學難題的意義是在於得到它的通解以及進一步的推廣。研究這個問題的主要的是一位宋朝數學家秦九韶，他才是對“物不知數”問題作出完整系統解答的人，載於1247年秦九韶的《數書九章》中，從而使這一問題變為了定理。再後來，《數書九章》由偉烈亞力在19世紀初譯為英文，德國數學王子高斯在1801年對此類問題提出最早的完整系統解法。

圖4：a）物不知數的通解

                         b）秦九韶和《數書九章》

                         c）高斯系統解決同餘問題

（YouTube視頻）

這個物不知其數的題目，推廣成“中國剩餘定理”是這麼說的：

中國剩餘定理成為數論中關於一元線性同餘方程組的重要定理，說明了一元線性同餘方程組有解的準則以及求解方法。

3. 古中國的“方程術”

上一節介紹的“韓信點兵”（物不知其數）問題，來自《孫子算經》。該書中還有很多有趣的數學問題，比如雞兔同籠就是一個幾乎人人皆知的著名數學題。“雞兔同籠，頭共10，足共28，雞兔各幾隻？”，設雞x，兔y：x+y=10, 2x+4y=28, 加減再消元，便可求得答案為4兔6雞。這個問題非常簡單，但卻代表了代數中的一大類問題：n元一次方程組。具體對這道雞兔同籠問題，就是解一個2元一次方程組。

二元（n=2）的意思是有x和y兩個變量，“一次”是說只包含變量的1次項，說明方程是線性的。本題的方程組中有兩個方程，才能解出兩個變量。

中國古代數學著作中比較有名的，除了6世紀的《孫子算經》之外，還有早好幾百年的《九章算術》。就成書的年代及篇幅而言，它們可以與古希臘數學相媲美。但中國數學書的特點是演繹和定理比較少，用現在的標準看起來，不像教科書，像是習題集和答案，再加上了有關解題方法的一些敘述。這是因為中國古代數學輕演繹重應用的原因。另外就是古希臘數學的重點是幾何，古中國數學有更為濃郁的代數色彩，更像是7-8世紀的印度或阿拉伯的數學。

在《九章算術》中，第八章“方程”的第一道題目，就是解一個三元一次方程組（圖1.7.5）。三個未知數，比雞兔同籠問題多了一元，更為複雜一點。

圖5：《九章算術》“方程術”中的代數題（YouTube視頻）

我們可以用現有的代數方法解這道題：令 x, y, z 分別代表上等稻、中等稻和下等稻各1捆所能打出的稻米斗數，然後列出如圖1.7.5右所示的三元一次聯立方程組，經過分離變量和消元過程，便能得到圖1.7.5右下角所示的x, y, z 數值。

圖6：張蒼和《九章算術》（YouTube視頻）

張蒼的年代稍後於阿基米德，大約是公元前200年左右的人士，陽武（今河南原陽）人。他不僅是西漢時期“以善算命世”的數學家兼天文學家，又是西漢的開國功臣，並且官至丞相十幾年，他的政治聲譽大於科技的。在數學方面，他是《九章算術》的作者和編輯者之一。

 
《九章算術》的“方程術” 一章：包括了聯立一次方程組的解法和正負數的加減法，在世界數學史上是第一次出現。“方程”的地位相當於今天的線性方程組。“方程術”之算法上與今天加減消元法完全一樣。這確實是中國古代數學一項了不起的成就，可以說超過中國剩餘定理的意義，但是剩餘定理融入了世界數學之中，方程術卻只在中華文化中曇花一現，儘管也許解決了農業生產等等活動中的實用計算問題，但在閉關自守的環境下不被重視，無進一步的理論研究，最後被淹沒而鮮為世人知。

《九章算術》中，對於開平方術、開立方術，敘述非常詳盡，在當時也是很先進的方法。“方程術”與“開方術”相結合，後來發展了高次代數方程的“天元術” ，可以解出二項二次方程、二項三次方程，或更高次的方程，在數學的發展中也有重要地位。此是後話不表。

圖7：用符號表示的“天元術”的3次方程

4. “嘗擬雄心勝丈夫 ”

嘗擬雄心勝丈夫，這句詩出自於中國清朝一位女數學家王貞儀。

你可能沒聽過這位女科學家，但她在世界上卻有一定的知名度：金星上有一個以她命名的撞擊坑，還有一顆小行星也以她命名。

圖8：有關王貞儀的書和視頻

王貞儀（1768～1797），字德卿，生於江寧府（今江蘇南京），祖父宣化太守王者輔熱愛讀書，據說有藏書七十五櫥，且精通曆算，著述頗豐，父親王錫琛科舉不中，轉而學醫，精通醫術。出身於如此家庭，自小聰明好學喜愛讀書的王貞儀，從祖父學習天文，從祖母學詩詞，父親則教她醫學、地理和數學。後來她又隨同祖母和父親去過北京、陝西、湖北、廣東和安徽等地，遊覽名勝古蹟，見聞頗多，也接觸到不少社會實際。25歲時和安徽宣城的一個叫詹枚的青年結了婚，沒有孩子，並且不幸於29歲時英年早逝。

王貞儀只活了短短的29年，但卻留下不少著作。

數學著作有《西洋籌算增刪》、《重訂策算證訛》、《象數窺余》、《術算簡存》、《籌算易知》、《勾股三角解》等。

文學作品《德風亭詩鈔》和《德風亭集》。

天文學書籍：《歲差日至辯疑》、《盈縮高卑辯》、《經星辯》、《黃赤二道解》、《地圓論》、《地球比九重天論》、《歲輪定於地心論》、《日月五星隨天左旋論一、二、三》、《月食解》

從她遺留下來的著作可以看出，她是一位從事天文和籌算研究的女數學家。

據說她曾積極宣傳闡釋哥白尼的日心說，這在當時十分難能可貴。她用自己的獨立見解來詮釋“天圓地方”，並對日月食的成因做出了通俗易懂的解釋。她還對歲差的成因、測量和計算做出貢獻。

她寫過一本介紹西方“算籌”的書。算籌是一種棒狀的計算工具，其作用類似算盤。應用“算籌”進行計算的方法叫作“籌算”。17世紀初葉，英國數學家納皮爾發明了一種算籌計算法，明末介紹到我國，也稱為“籌算”。清代著名數學家梅文鼎、戴震等人曾加以研究，還短暫地形成了一個安徽數學學派。王貞儀祖籍安徽，當年是這一學派的主要成員之一。她研究由西洋傳入中國的這種籌算，並且寫了三卷書向國人介紹。王貞儀思想開放，主張取中西算法之優點。對此，她在《勾股三角解》中有一段十分精彩的論述：“中西固有所異，而亦有所合。然其法理之密、心思之微，而未可以忽視。夫益知理求是，何擇乎中西？唯各極其兼收之義。”

王貞儀酷愛天文，喜歡自己動手，她用屋頂橫梁上懸掛的水晶燈當做太陽、小圓桌當做地球、圓形的鏡子當作月亮。根據天文學原理，她一邊移動這三個物體，一邊不斷地觀察它們的相對位置和造成的現象，終於弄清了日月食的原理。她寫了《月食解》一文，精確地闡釋了月食發生的時間、食分深淺等知識，語言淺顯直白，還有配圖。王貞儀在她的另一部著作《地圓論》中，揭示了“相對空間位置的概念”，即宇宙沒有上、下、正、反之分，以此而批駁流傳了數千年的天圓地方之說。

她頗有文才，寫詩填詞懂繪畫。“峰勢長江矗，濤飛天外聲。潛虬能護法，徵士獨留名。”、“始信鬚眉等巾幗，誰言兒女不英雄？”是她的詩句。

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