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浅谈量子计算机-2 2023-11-27 02:41:15

3.3 量子门

最简单的量子门是量子非门,类似于经典非门,实现01互换,量子非门实现 |0|1|1|0 ,更为一般地说,实现如下变换:a|0+b|1a|1+b|0


3.6:几种重要单比特量子门

 

量子非门用矩阵X表达,被称为X门,图3.6中左显示出X门的符号、矩阵表示,下面是在布洛赫球面上实现的变换。也就是说,X门是将|0态矢量绕着x轴旋转了180度,最后到达|1,从而实现状态翻转。量子力学中有一组泡利矩阵,一组三个2×2的幺正厄米复矩阵,描述自旋和磁场之间的交互作用。其中的sX就是表示X门的X矩阵。相应地,表示Y门的Y矩阵是sY,表示Z门的Z矩阵是sZ。泡利 Y 门是一个有趣的机器,转换得到与泡利 X 门相同的结果,|0绕着y轴旋转了180度到达|1,也实现了|0|1的状态翻转,但是是在复数的虚空间中移动的,因此,Y门实现了相位转移和比特翻转,泡利 Z 门使任何向量绕z轴旋转180度,这意味着如果完全处于|0|1基态,则门的作用后不会发生任何变化,只有处于两者之间的矢量才变化。

 

H门也叫Hadamard门,是一个非常重要的量子门。重要性是在于它的作用是使基态变成叠加态:|0a|0+b|1,这样才有可能进行量子计算。其它的量子门作用在基态上,结果仍然是基态,只有H门产生叠加态。

 

3.6最右边是 S量子门,也叫相位门。相位门保留基态|0,并且将|1转换成 e(乘)基态|1。若 θ 等于π 则此门化为泡利-Z门,如果旋转π/2,则是S门,如果旋转π/4,则是另外一种T门,图中未画出。因此,ZST门都是特殊的相位门。

 

除了单比特量子门之外,还有多比特量子门,如双比特量子门。最简单的是CNOT,或称“受控非门”,它的输入是两个量子比特,一个控制比特和一个被控比特。如果控制比特量子态为 |1 ,受控比特翻转,否则受控比特保持不变。双比特量子门的变换矩阵是4x4的,如图3.7中右上角CNOT门的矩阵。

 

3.7:多比特量子门

3.7下方的托弗利门是3量子比特门,看起来与CNOT门差不多,多了一个结点,即有两个控制端。如果两个控制比特是状态 |1,则对被控比特进行泡利-X运算,反之,不满足条件则不做任何操作。托弗利门来自于一种经典通用可逆逻辑门。任意可逆电路可由托佛利门构造得到,可逆的意思是说计算过程是可逆的,逻辑电路输入输出交换后的结果相同。量子计算天生具有可逆性,因为量子计算每一步都是酉矩阵,酉矩阵是可逆矩阵,所以量子计算可逆。

 

还有一种反控(或负控)非门,如图3.8所示。顾名思义,它的行为和(正)受控非门相反,当控制比特为|0时才会翻转受控比特。受控门也可以有多个控制比特进行组合,如图3.8的组合控制Z门。图3.8中黑点表示正控,空圈表示负控。

 

3.8:正控门和反控门

 

3.4 量子电路

 

量子计算机的运算在Qubit上进行,但输入和输出时仍然使用经典比特,所以,整个量子计算如图3.9中的大框图所示,框图中的量子计算机部分,看起来有点像经典计算机中电路图。

 

3.9:量子电路框图

 

人们用量子电路说明量子门如何控制量子信息,从而实现量子计算。量子电路是用于量子计算的模型,是执行量子位状态的传送之路,但它不同于传统电路,例如:实线并不一定是物理电缆。量子电路的目的是定义事件的时间顺序:水平轴是时间,左边开始右边结束。左边开始的水平线是量子比特,下面的双线代表经典比特,一般与测量相连。

 

类似经典电路,计算是一系列的量子门,但测量是经典电路没有的量子操作。这些量子电路图,都来自于IBM Quantum 模拟器5

 

3.10:简单量子电路,2个量子比特,两个量子门,两个测量

 

量子门的可逆性导致整个量子电路的可逆性,这是量子电路的特点之一。可逆性使得量子电路遵循一些特殊规则:一是只有时间顺序没有回路(loop);二是输入和输出的比特数目相等(图3.11-a)。另外,控制量子门可以完成某些简单却神奇的功能,例如最简单的CNOT门,如果控制比特处于叠加态时,控制和受控比特之间就会发生量子纠缠,这是产生纠缠态的最简单量子电路,更多的控制门能表现更多的神奇功能(图3.11-b)。纠缠态对量子计算有什么用呢?如对纠缠的任何一个比特施加某种操作,相当于操作施加在了所有量子比特上。

 

3.11:量子电路特例

 

下面举一个简单量子电路模拟例子,说明量子叠加态“概率幅”叠加的特别之处。

 

我们作如图3.12所示的3个模拟实验。每个实验的上图是电路,下方是IBM量子模拟结果。产生叠加态的操作是 H门, H门至关重要,它把基态|0变成叠加态。

 

首先考虑实验1,这只是一个H门作用在基态|0上,从图下方模拟结果可见:52%时间给出|048%时间是|1,就像掷一枚公平的硬币一样:接近 50/50概率。第二个实验是第一个稍作改变的情形,也就是使用X门将量子位首先从|0变成|1,再生成另一种叠加态然后进行标准测量,结果会怎么样呢?

 

我们发现实验结果与第一个实验类似,除了电路不同外。结果显示|0|1的分布也接近 50/50,是53%时间给出|047%给出|1

 

我们从这两个实验结果乍一看,感觉H门的作用类似于抛1个(公正)硬币。

 

然而,H门所代表的量子随机性,实际上与抛硬币是完全不一样的。让我们再运行实验3,就能看看有何不同。实验3中有两个连续的H门。如果我们认为 H门类似于抛硬币的话,那么两个串联的H门应该等于抛两次硬币。那么从经典经验,你仍然会期望接近 50/50 的分布。但是这次的结果令人惊讶,与经典不同,结果发现输出量子位总是处于状态|099%的概率),似乎两次H门的作用消除了随机性而给出了一个确定性的结果!

 

3.12:说明量子 “概率幅”叠加的模拟实验

 

因此,量子随机性不仅仅是经典的随机抛硬币。上述结果是如何产生的?在实验1中,H门产生一个新状态:

 

|+  = H|0= 2-1/2(|0+|1)

 

它是|0|1的均匀叠加。测量使系统以相等概率处于|0|1。实验2中的新状态是 

 

|- = H|1 = 2-1/2(|0-|1)

 

仍然是状态|0|1的均匀叠加但符号不同。实验3可以视为两个实验H|0H|1的总和。如果我们将这两个实验加在一起,状态|1会因为减号而抵消,状态|0则因加号而增强。这里我们看到了经典概率p和量子概率幅的差异:概率幅可以是正的、负的,甚至是复数。概率幅的叠加产生干涉,而测量只能检测经典概率无法检测相位(负号)。

 

3.13:经典的概率相加不同于量子的概率幅相加

参考文献:

 

1Keynote talk, 1st conference on Physics and Computation, MIT, 1981(International Journal of Theoretical Physics, 21: 467488, 1982)

2Thomas H. Cormen; Charles E. Leiserson; Ronald L. Rivest; Clifford Stein; 殷建平等译1 算法在计算机中的作用算法导论 原书第3北京机械工业出版社. 20131

3】张天蓉世纪幽灵-走近量子纠缠(第二版)[M].合肥:中国科技大学出版社,20205月。

4Bloch Spherewikipedia),https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere

5IBM Quantum (2022). estimator primitive (Version x.y.z) [computer software]. https://quantum-computing.ibm.com/

相关视频:

     封面 25-28.jpg   

(待续)

Contents

**** 1.  前言 ****

**** 2.  历史 ****

**** 3.  基础 ****

3.1 叠加态

3.2 量子比特

3.3 量子门

3.4 量子电路

**** 4.  算法 ****

4.1 Grover 量子搜索算法

4.2 多伊奇算法

4.3 秀尔算法-1(经典,数论部分)

4.4 秀尔算法-2(量子部分)

**** 5.  实现 ****

********************************************************** 

作者部分YouTube视频:

https://www.youtube.com/watch?v=0I8FdazqAvc&list=PL6YHSDB0mjBKB2LBZDKL9UhcMMx6GtOsx

https://www.youtube.com/watch?v=_d0wquZkOYU&list=PL6YHSDB0mjBJ6qgfin-xKmP3FtTQr4x7i

*********************************************************


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