顧名思義，量子計算是“量子”加“計算”，是在量子物理的基礎上發展起來的計算方法，是量子論眾多應用領域之一。量子思想的歷史始於1900年，遠遠早於上世紀80年代開始構思的量子計算。所以，使得量子計算具優越性的物理原理，多數是早期量子先驅們的功勞。因此，本文中我們首先回顧一下在“量子”誕生年代幾位前輩們的卓越貢獻，特別是與如今量子計算有關術語關聯的工作，然後，簡單介紹量子“計算”的基礎：量子門和量子電路。也就是說，今天的主題，前者屬於量子物理，後者才與計算有關。

1,早年量子先驅

量子物理不是一個人的功勞，它是數名科學家群體的產物，它是上世紀初最出色和最富激情的一代物理學家集體努力的成果，是由那片天空上閃亮的明星們共同創建的豐碑。先輩們作出的重大成果令世人刮目相看，他們作出成果的年齡更令我們汗顏！正是在這些成就的基礎上，若干後起之秀將其與計算技術結合，才開拓了量子計算這片新天地。

回顧當年量子力學創建的歷史，那是一段群星璀璨、人才輩出的年代。普朗克、愛因斯坦、玻爾、德布羅意、玻恩、薛定諤、泡利、海森堡、狄拉克、貝爾……，一個個閃光的名字！其中有開天闢地的老前輩，有思想深邃的大師，有初出茅廬的年輕學子，有奇思妙想的幻想者，也有埋頭苦幹的書呆子【1】……。

那一代物理人的共同特點中，最令人矚目的是他們的年齡。看看當年那一批爭奇鬥豔，光彩奪目的科學明星們吧，當他們對量子力學作出重要貢獻時，大多數是20-30歲的年齡。可以說，量子力學是一首少年英雄們譜成且奏響了一百多年的宏偉交響曲！

普朗克（德國）1900年提出量子概念時年齡最大，42歲；

玻爾（丹麥）1913年結合量子概念提出原子結構理論，28歲；

海森堡（德國）1925年創立矩陣力學，1927年提出不確定性原理，24-26歲。

圖1：量子早期先驅們作出重要成果時的年齡

薛定諤的名言甚多，例如，廣為人知的、又死又活的“薛定諤的貓”，比喻的量子疊加態，代表量子計算中量子位（量子比特）的本質；此外，愛因斯坦稱之為“鬼魅般超距作用“的，量子計算中經常使用的“量子糾纏”，也是被薛定諤命名的。

薛定諤方程在低能非相對論的條件下，出奇地好用，解決了微觀世界的許多物理難題。但它的不足之處是沒有將狹義相對論包括在內。此外，也沒有自動將電子自旋包括在方程中。完成這兩項的是英國人狄拉克，狄拉克的風格是以精確和沉默寡言而著稱。你聽過“狄拉克單位”嗎？它不是狄拉克在物理學中的創造，而是當年劍橋大學的同事們描述狄拉克時所開的善意的玩笑，因為他們將“1小時說一個字”定義為1個“狄拉克單位”，來描述狄拉克的少言寡語。狄拉克在1928年23歲時建立的狄拉克方程，自動包括了相對論和自旋，狄拉克為了解決從他的方程得到的負能量問題，提出了狄拉克海的假設，從而預言了正電子以及更進一步其它反粒子的存在。之後，這些粒子逐一被實驗所證實，狄拉克的假設也成為量子電動力學和量子場論的基礎。

狄拉克對科學許多方面貢獻了若干項成果，有數學的、物理的、工程的，有方程、有符號、有預言，可謂不勝枚舉。從簡單的狄拉克δ函數，到狄拉克方程，無一不體現了他畢生追求的“數學美”。

狄拉克方程中包含的電子自旋，對理解量子計算非常重要，因為自旋就是“量子比特”的實現方式之一。25歲時提出原子物理中“泡利不相容原理”奧地利物理學家泡利，對自旋有深刻的理解。

泡利以言辭犀利、思想敏銳、習慣於挑剔著稱，被玻爾譽為“物理學的良知”。他絲毫不給人留面子，即使是愛因斯坦，也對他“畏懼“三分。

據說泡利自己講過他學生時代的一個故事，有一次在柏林大學聽大神愛因斯坦講相對論的報告，報告完畢，幾個資深教授都暫時沉默不言，似乎正在互相猜測：誰應該提出第一個問題呢？突然，只見一個年輕學子站了起來說：“我覺得，愛因斯坦教授今天所講的東西還不算太愚蠢！”這愣頭愣腦的小伙子就是泡利。因此，十分有趣的是，據說每次愛因斯坦在演講前，會自然地向觀眾席上觀看，看看“鞭子”是否在場？

泡利對發現的學術問題尖刻地批評，對自己也一樣地挑剔，毫不留情！還有值得讚賞的一點是：學生們在泡利面前不害怕問任何問題，也不必擔心顯得愚蠢，因為對泡利而言，所有的問題都是愚蠢的。

不過，太挑剔的泡利也曾使學生失去重大發現的機會，例如下面所述的發現自旋的故事。

泡利提出的不相容原理，已經與自旋的概念只差一步之遙。從他引入原子的的四個量子數來看，自旋概念已經呼之欲出，因為從四個量子數得到的譜線數目正好是原來理論預測數的兩倍。這兩倍（角量子數上的1/2）從何而來呢？一位來自德國的學生克羅尼格對這個研究課題產生了興趣，試圖對此問題給出答案。克羅尼格想，玻爾的原子模型類似於太陽系的行星：行星除了公轉之外還有自轉。如果原子模型中的角量子數l描述的是電子繞核轉動的軌道角動量的話，那個額外加在角量子數上的1/2是否就描述了電子的“自轉”呢？

克羅尼格迫不及待地將他的電子自旋的想法告訴泡利，泡利卻冷冷地說“這確實很聰明，但是和現實毫無關係。”克羅尼格受到泡利如此強烈的反對，就放棄了自己的想法，也未寫成論文發表。可是，僅僅半年之後，另外兩個年輕物理學家烏倫貝克（George E. Uhlenbeck）和高斯密特（Samuel. A. Goudsmit）提出了同樣的想法，並在導師埃倫費斯特支持下發表了文章。他們的文章得到了玻爾和愛因斯坦等人的好評。這令克羅尼格因失去了首先發現自旋的機會而頗感失望。

泡利反對將自旋理解為“自轉”，這是正確的，不過仍然應該鼓勵學生鑽研下去，或先發表文章再尋求解釋。泡利自己實際上一直都在努力思考自旋的數學模型。他開創性地使用了三個不對易的泡利矩陣作為自旋算子的群表述，並且引入了一個二元旋量波函數來表示電子兩種不同的自旋態。

圖2：泡利矩陣和泡利門

泡利有關自旋的三個泡利矩陣【2】，在量子計算中有所應用，分別對應於三種量子門，如圖2所示。

2，量子門

經典計算中有許多邏輯門：例如與門、或門、非門、與非門、或非門等等。每一種邏輯門完成一項簡單的邏輯運算，但是它們的各種組合，便能夠完成各種複雜的計算。量子計算中也有各種“量子門”，與經典邏輯門相對應。

比較經典門，量子門有如下不同之處：經典邏輯門的輸入和輸出是簡單的比特（狀態只是0或1），量子門輸入和輸出是可能狀態有無窮多的量子比特。另一個區別是，量子門都是可逆的，經典門一般不可逆。

量子門可以有好幾種描述方法，例如，在圖3所示的5類單比特門中，就有4種表示方法：最上面是文字描述；第二層是矩陣描述；第三層是電路符號；最下面是布洛赫球面上矢量的變化。

簡單解釋一下矩陣描述及布洛赫球表示。量子門的作用是將Qubit從一個狀態變成另一個狀態。可以用2維矩陣代數的語言來描述疊加態（Qubit）的變化。量子比特是布洛赫球面上一個矢量，Qubit狀態的演化，就是布洛赫球面上矢量的旋轉。旋轉是由用幺正（酉）矩陣表示的“量子門”引起的。矩陣（量子門）作用在矢量上，將Qubit的狀態變成新的狀態。許多Qubit、許多量子門連在一起，量子計算便如此一步一步進行下去。所有Qubit的最後狀態，便是計算得到的最後結果。

圖3：幾種重要的單比特量子門

例如，最簡單的量子門是量子非門（圖3最左邊的X門），類似於經典非門，實現0、1互換，量子非門實現 |0⟩→|1⟩或|1⟩→|0⟩ ，更為一般地說，實現如下變換：α|0⟩+β|1⟩→α|1⟩+β|0⟩。X門用矩陣X（泡利矩陣σX）表達，在布洛赫球面上，X門將|0⟩態矢量繞着x軸旋轉了180度，最後到達|1⟩，從而實現狀態翻轉。此外還有相應的泡利Y門（σY）和泡利Z門（σZ）。

圖3中從左邊算到第4個，是H門也叫Hadamard門【3】，是一個非常重要的量子門。重要性是在於它的作用是使基態變成疊加態：|0⟩→α|0⟩+β|1⟩，這樣才有可能進行量子計算。H門在創建疊加態方面發揮着關鍵作用，疊加態是量子計算的基石。其它的量子門作用在基態上，結果仍然是基態，只有H門產生疊加態。

阿達瑪H門用法國數學家阿達瑪（Hadamard， 1865－1963）的名字命名，阿達瑪並不知曉量子計算，只是因為H門沿用了他定義的矩陣而已。

圖3最右邊是 S量子門，也叫相位門。相位門保留基態|0⟩，並且將|1⟩轉換成 eiθ（乘）基態|1⟩。若 θ 等於π， 則此門化為泡利-Z門，如果旋轉π/2，則是S門，如果旋轉π/4，則是另外一種T門，圖中未畫出。因此，Z、S、T門都是特殊的相位門。

圖4：多比特量子門

除了單比特量子門之外，還有多比特量子門，如雙比特量子門。最簡單的是CNOT，或稱“受控非門”，它的輸入是兩個量子比特，一個控制比特和一個被控比特。如果控制比特量子態為 |1⟩ ，受控比特翻轉，否則受控比特保持不變。雙比特量子門的變換矩陣是4x4的，如圖4中右上角CNOT門的矩陣。托弗利門有8個輸入8個輸出，變換矩陣是23x23的，如圖4中右下角所示。

3，量子電路

量子計算機的運算在Qubit（量子比特）上進行，量子比特是微觀世界的東西，但我們輸入到量子計算機的信息以及對輸出結果的測量，卻只能在宏觀世界完成。因此，量子計算機的輸入和輸出時仍然使用經典比特來表示。所以，整個量子計算過程可以用圖5中的大框圖來描述，大框圖中標記為“量子計算機”的部分，看起來有點像經典計算機中的電路圖，稱其為量子電路【4】。

圖5：量子電路框圖

量子電路由量子比特和量子門組成。量子比特（位）是量子信息的基本單位，一般以疊加態的形式存在。另一方面，如上所述，量子門是作用於量子比特以執行特定轉換的操作。

人們用量子電路說明量子門如何控制量子信息，從而實現量子計算。量子電路是用於量子計算的模型，是執行量子位狀態的傳送之路，但量子電路圖只是貌似經典的電路圖，實際上完全不同於傳統電路，例如：實線並不一定是物理電纜。量子電路的目的只是定義事件的時間順序：水平軸是時間，左邊開始右邊結束。量子門的時間順序會對量子位的最終狀態產生重大影響。圖5的框圖中，左邊開始的水平線是量子比特，下面的雙線代表經典比特，一般與測量相連。量子電路圖對理解電路的邏輯運算有幫助，但並不是接線的方式。

類似經典電路，計算是一系列的量子門，但測量是經典電路沒有的量子操作。圖5的量子電路圖，來自於IBM Quantum 模擬器【5】。

圖6所示是一個簡單的量子電路示意圖。包括2個量子比特，兩個量子門，以及兩個測量。最下方的雙線是經典比特的輸入線，和測量後的結果輸出線。

圖6：簡單量子電路，2個量子比特，兩個量子門，兩個測量

量子門的可逆性導致整個量子電路的可逆性，這是量子電路的特點之一。可逆性使得量子電路遵循一些特殊規則：一是只有時間順序，一般沒有迴路（loop）；二是輸入和輸出的量子比特數目相等。另外，控制量子門可以完成某些簡單卻神奇的功能，例如最簡單的CNOT門，即圖6所示的電路，如果控制比特處於疊加態時，控制和受控比特之間就會發生量子糾纏，這是產生糾纏態的最簡單量子電路，更多的控制門能表現更多的神奇功能。糾纏態對量子計算有什麼用呢？如對糾纏的任何一個比特施加某種操作，相當於操作施加在了所有的糾纏的量子比特上。

4，量子計算機

最後說幾句與量子計算未來發展有關的本人觀點。有了量子電路，便能構成量子計算機了。那麼，許多讀者腦海中自然會產生一個問題：量子計算機將來是否會取代經典計算機呢？筆者的答案是不會。從圖5所示的量子電路框圖就能得出這個結論。量子計算有其優越性，但也有致命的弱點，量子計算機無法像經典計算機那樣給出直接的答案，它的輸入輸出仍然需要通過經典方式來完成。

除此之外，經典計算機具有量子計算機難以達到的獨特品質。例如，存儲數據的能力，量子計算機的內存最多只能持續很短的時間（目前是幾百微秒，也難以提高）。

量子計算機難以物理實現，特別是，要建造具有多個量子位的量子計算機極其困難。目前使用的超導等，需要保持在接近絕對零的溫度，即 -270 攝氏度的數量級。因為量子計算在處理具有許多不同輸入變量和複雜算法的複雜問題時的優越性，可以大大縮短計算的時間。因此未來更可能的前景是學術界和工業界研究人員將可能通過雲服務來訪問量子計算機，完成特殊要求的運算，這也是目前已經開始了的情況。

此外，量子計算的錯誤是量子系統的不確定性所固有的，本質上無法避免。需要化很大資本和人力來開發量子糾錯的方法，最終也可能仍然難以消除誤差。

最後的結論是：量子計算也許將在未來改變許多適合量子計算的行業，但難以如同現在的經典計算機（手機）那樣“走進千家萬戶”。經典計算機將始終發揮作用，不會被量子計算機所取代。

參考資料：

【1】張天蓉.群星閃耀 量子物理史話[M].清華大學出版社，北京，2021，pp. 150，

【2】泡利矩陣：The Pauli spin matrices - The Feynman Lectures on Physics

【3】量子邏輯門-維基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_logic_gate

【4】量子電路-維基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E7%B7%9A%E8%B7%AF

【5】IBM Quantum (2022). estimator primitive (Version x.y.z) [computer software]. https://quantum-computing.ibm.com/