上次给大家出的MIU难题，实质上是一个用语言掩盖的自然数难题。这个系统只有一个公理， MI， 根据这个公理和4个规则，我们知道MIU， MII， MIIII，MUI，等等，都是这个系统的定理，但是我们无法推导出MU，所以MU不是该系统的一条定理。 形象一点说， 如果把这个系统当作一颗树，我们可以构造出定理树，MU不在其上。  

    我们看到有一个难题可以归结于数论中的问题而得到解决。我们还将进一步看到，有一种方法可以将所有形式系统中的问题归结于数论中的问题。这要归功于哥德尔所创造的一种特殊的同构，即哥德尔编码。

    继续玩数字游戏： 

    我们以MIU系统为例，可以在系统的特号与数字之间建立这样的对应关系：
      M ----->3

        I  ----->1

        U ----->0

    这种对应关系完全是任意的。我们称这些数为哥德尔数。采用哥德尔数，就可以从两种不同的层次去理解系统中由数字构成的串。一方面，可以把它们的运算看成是定理的变换；另一方面，又可以把它们看成是一般数字的运算。公理则可表述为31（对应于MI）。我们从上次的同构系统中知道，从31（MI)是无法推导出30(MU)来.

    现在设m、n为任意的自然数。于是这几条规则的算术运算就可以表述成：

1．如果生成了10^m十l，就可以生成10×(10^m十1)。
2．如果生成了3×10^m十n，就可以生成10^m×(3×10^m十n)十n。
3．如果生成了k×l0^m+3十111×10^m十n，就可以生成k×10^m+1十n。
4．如果生成了k×l0^m+2十n，就可以生成k×10^m十n。

（参考MIU系统的四条规则：

    这4条规则是：

    规则1：如果一个串的最后一个符号为I，则可以再加上一个U。例如，MI可以变为MIU.

    规则2：如果有一个串为Mx那么可以再加上x而生成Mxx。这里的x代表任何一个由M、I、U组成的串。例如，MI 可以变为MII， MII 可以变为MIIII。

    规则3：如果串中出现连续的3个I，那么可以用U代替III而得到一个新串。不过不能用III去代替U。所以，MIII，可以变为MU。

    规则4：如果串中出现UU，那么可以把UU删去。

）

这次我们的题目是， 怎么翻译那四条规则。

我先翻译第一条作为例子： 

1）  由于10^m十l最后一个数字是1， 相当于字母I， 所以，根据第一条规则，“如果一个串的最后一个符号为I，则可以再加上一个U”， 所以，我可以在串的后面加一个U， 也就是0. 一个数后加一个0， 也就是要乘上10. 所以， 这个串变为 10X(10^m十l).

请同学们演绎底下的三个规则。

我明天解释第二条，然后第三条，最后第四条。

现在，同学们可以脑风暴了。

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