上次給大家出的MIU難題，實質上是一個用語言掩蓋的自然數難題。這個系統只有一個公理， MI， 根據這個公理和4個規則，我們知道MIU， MII， MIIII，MUI，等等，都是這個系統的定理，但是我們無法推導出MU，所以MU不是該系統的一條定理。 形象一點說， 如果把這個系統當作一顆樹，我們可以構造出定理樹，MU不在其上。
我們看到有一個難題可以歸結於數論中的問題而得到解決。我們還將進一步看到，有一種方法可以將所有形式系統中的問題歸結於數論中的問題。這要歸功於哥德爾所創造的一種特殊的同構，即哥德爾編碼。
繼續玩數字遊戲：
我們以MIU系統為例，可以在系統的特號與數字之間建立這樣的對應關係：
M ----->3
I ----->1
U ----->0
這種對應關係完全是任意的。我們稱這些數為哥德爾數。採用哥德爾數，就可以從兩種不同的層次去理解系統中由數字構成的串。一方面，可以把它們的運算看成是定理的變換；另一方面，又可以把它們看成是一般數字的運算。公理則可表述為31（對應於MI）。我們從上次的同構系統中知道，從31（MI)是無法推導出30(MU)來.
現在設m、n為任意的自然數。於是這幾條規則的算術運算就可以表述成：
1．如果生成了10m十l，就可以生成10×(10m十1)。
2．如果生成了3×10m十n，就可以生成10m×(3×10m十n)十n。
3．如果生成了k×l0m+3十111×10m十n，就可以生成k×10m+1十n。
4．如果生成了k×l0m+2十n，就可以生成k×10m十n。
（參考MIU系統的四條規則：
這4條規則是： 規則1：如果一個串的最後一個符號為I，則可以再加上一個U。例如，MI可以變為MIU. 規則2：如果有一個串為Mx那麼可以再加上x而生成Mxx。這裡的x代表任何一個由M、I、U組成的串。例如，MI 可以變為MII， MII 可以變為MIIII。 規則3：如果串中出現連續的3個I，那麼可以用U代替III而得到一個新串。不過不能用III去代替U。所以，MIII，可以變為MU。 規則4：如果串中出現UU，那麼可以把UU刪去。 ）
這次我們的題目是， 怎麼翻譯那四條規則。
我先翻譯第一條作為例子：
1） 由於10m十l最後一個數字是1， 相當於字母I， 所以，根據第一條規則，“如果一個串的最後一個符號為I，則可以再加上一個U”， 所以，我可以在串的後面加一個U， 也就是0. 一個數後加一個0， 也就是要乘上10. 所以， 這個串變為 10X(10m十l).
請同學們演繹底下的三個規則。
我明天解釋第二條，然後第三條，最後第四條。
現在，同學們可以腦風暴了。
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