3.3 量子门

最简单的量子门是量子非门，类似于经典非门，实现0、1互换，量子非门实现 |0⟩→|1⟩或|1⟩→|0⟩ ，更为一般地说，实现如下变换：a|0⟩+b|1⟩→a|1⟩+b|0⟩。

图3.6：几种重要单比特量子门

量子非门用矩阵X表达，被称为X门，图3.6中左显示出X门的符号、矩阵表示，下面是在布洛赫球面上实现的变换。也就是说，X门是将|0⟩态矢量绕着x轴旋转了180度，最后到达|1⟩，从而实现状态翻转。量子力学中有一组泡利矩阵，一组三个2×2的幺正厄米复矩阵，描述自旋和磁场之间的交互作用。其中的s_X就是表示X门的X矩阵。相应地，表示Y门的Y矩阵是s_Y，表示Z门的Z矩阵是s_Z。泡利 Y 门是一个有趣的机器，转换得到与泡利 X 门相同的结果，|0⟩绕着y轴旋转了180度到达|1⟩，也实现了|0⟩到|1⟩的状态翻转，但是是在复数的虚空间中移动的，因此，Y门实现了相位转移和比特翻转，泡利 Z 门使任何向量绕z轴旋转180度，这意味着如果完全处于|0⟩、|1⟩基态，则Z 门的作用后不会发生任何变化，只有处于两者之间的矢量才变化。

H门也叫Hadamard门，是一个非常重要的量子门。重要性是在于它的作用是使基态变成叠加态：|0⟩→a|0⟩+b|1⟩，这样才有可能进行量子计算。其它的量子门作用在基态上，结果仍然是基态，只有H门产生叠加态。

图3.6最右边是 S量子门，也叫相位门。相位门保留基态|0⟩，并且将|1⟩转换成 e^iθ（乘）基态|1⟩。若 θ 等于π， 则此门化为泡利-Z门，如果旋转π/2，则是S门，如果旋转π/4，则是另外一种T门，图中未画出。因此，Z、S、T门都是特殊的相位门。

除了单比特量子门之外，还有多比特量子门，如双比特量子门。最简单的是CNOT，或称“受控非门”，它的输入是两个量子比特，一个控制比特和一个被控比特。如果控制比特量子态为 |1⟩ ，受控比特翻转，否则受控比特保持不变。双比特量子门的变换矩阵是4x4的，如图3.7中右上角CNOT门的矩阵。

图3.7：多比特量子门

图3.7下方的托弗利门是3量子比特门，看起来与CNOT门差不多，多了一个结点，即有两个控制端。如果两个控制比特是状态 |1⟩，则对被控比特进行泡利-X运算，反之，不满足条件则不做任何操作。托弗利门来自于一种经典通用可逆逻辑门。任意可逆电路可由托佛利门构造得到，可逆的意思是说计算过程是可逆的，逻辑电路输入输出交换后的结果相同。量子计算天生具有可逆性，因为量子计算每一步都是酉矩阵，酉矩阵是可逆矩阵，所以量子计算可逆。

还有一种反控（或负控）非门，如图3.8所示。顾名思义，它的行为和（正）受控非门相反，当控制比特为|0⟩时才会翻转受控比特。受控门也可以有多个控制比特进行组合，如图3.8的组合控制Z门。图3.8中黑点表示正控，空圈表示负控。

图3.8：正控门和反控门

3.4 量子电路

量子计算机的运算在Qubit上进行，但输入和输出时仍然使用经典比特，所以，整个量子计算如图3.9中的大框图所示，框图中的量子计算机部分，看起来有点像经典计算机中电路图。

图3.9：量子电路框图

人们用量子电路说明量子门如何控制量子信息，从而实现量子计算。量子电路是用于量子计算的模型，是执行量子位状态的传送之路，但它不同于传统电路，例如：实线并不一定是物理电缆。量子电路的目的是定义事件的时间顺序：水平轴是时间，左边开始右边结束。左边开始的水平线是量子比特，下面的双线代表经典比特，一般与测量相连。

类似经典电路，计算是一系列的量子门，但测量是经典电路没有的量子操作。这些量子电路图，都来自于IBM Quantum 模拟器^【5】。

图3.10：简单量子电路，2个量子比特，两个量子门，两个测量

量子门的可逆性导致整个量子电路的可逆性，这是量子电路的特点之一。可逆性使得量子电路遵循一些特殊规则：一是只有时间顺序没有回路（loop）；二是输入和输出的比特数目相等（图3.11-a）。另外，控制量子门可以完成某些简单却神奇的功能，例如最简单的CNOT门，如果控制比特处于叠加态时，控制和受控比特之间就会发生量子纠缠，这是产生纠缠态的最简单量子电路，更多的控制门能表现更多的神奇功能（图3.11-b）。纠缠态对量子计算有什么用呢？如对纠缠的任何一个比特施加某种操作，相当于操作施加在了所有量子比特上。

图3.11：量子电路特例

下面举一个简单量子电路模拟例子，说明量子叠加态“概率幅”叠加的特别之处。

我们作如图3.12所示的3个模拟实验。每个实验的上图是电路，下方是IBM量子模拟结果。产生叠加态的操作是 H门， H门至关重要，它把基态|0⟩变成叠加态。

首先考虑实验1，这只是一个H门作用在基态|0⟩上，从图下方模拟结果可见：52%时间给出|0⟩，48%时间是|1⟩，就像掷一枚公平的硬币一样：接近 50/50概率。第二个实验是第一个稍作改变的情形，也就是使用X门将量子位首先从|0⟩变成|1⟩，再生成另一种叠加态然后进行标准测量，结果会怎么样呢？

我们发现实验结果与第一个实验类似，除了电路不同外。结果显示|0⟩和|1⟩的分布也接近 50/50，是53%时间给出|0⟩，47%给出|1⟩。

我们从这两个实验结果乍一看，感觉H门的作用类似于抛1个（公正）硬币。

然而，H门所代表的量子随机性，实际上与抛硬币是完全不一样的。让我们再运行实验3，就能看看有何不同。实验3中有两个连续的H门。如果我们认为 H门类似于抛硬币的话，那么两个串联的H门应该等于抛两次硬币。那么从经典经验，你仍然会期望接近 50/50 的分布。但是这次的结果令人惊讶，与经典不同，结果发现输出量子位总是处于状态|0⟩（99%的概率），似乎两次H门的作用消除了随机性而给出了一个确定性的结果！

图3.12：说明量子 “概率幅”叠加的模拟实验

因此，量子随机性不仅仅是经典的随机抛硬币。上述结果是如何产生的？在实验1中，H门产生一个新状态：

|+⟩  = H|0⟩= 2^-1/2(|0⟩+|1⟩)，

它是|0⟩和|1⟩的均匀叠加。测量使系统以相等概率处于|0⟩或|1⟩。实验2中的新状态是 

|-⟩ = H|1⟩ = 2^-1/2(|0⟩-|1⟩)，

仍然是状态|0⟩和|1⟩的均匀叠加但符号不同。实验3可以视为两个实验H|0⟩和H|1⟩的总和。如果我们将这两个实验加在一起，状态|1⟩会因为减号而抵消，状态|0⟩则因加号而增强。这里我们看到了经典概率p和量子概率幅的差异：概率幅可以是正的、负的，甚至是复数。概率幅的叠加产生干涉，而测量只能检测经典概率无法检测相位（负号）。

图3.13：经典的概率相加不同于量子的概率幅相加

参考文献：

【1】Keynote talk, 1st conference on Physics and Computation, MIT, 1981。(International Journal of Theoretical Physics, 21: 467–488, 1982)

【2】Thomas H. Cormen; Charles E. Leiserson; Ronald L. Rivest; Clifford Stein; 殷建平等译. 第1章 算法在计算机中的作用. 算法导论 原书第3版. 北京: 机械工业出版社. 2013年1月

【3】张天蓉. 世纪幽灵-走近量子纠缠（第二版）[M].合肥：中国科技大学出版社，2020年5月。

【4】Bloch Sphere（wikipedia），https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere

【5】IBM Quantum (2022). estimator primitive (Version x.y.z) [computer software]. https://quantum-computing.ibm.com/

相关视频：

（待续）

Contents

**** 1.  前言 ****

**** 2.  历史 ****

**** 3.  基础 ****

3.1 叠加态

3.2 量子比特

3.3 量子门

3.4 量子电路

**** 4.  算法 ****

4.1 Grover 量子搜索算法

4.2 多伊奇算法

4.3 秀尔算法-1（经典，数论部分）

4.4 秀尔算法-2（量子部分）

**** 5.  实现 ****

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作者部分YouTube视频：

https://www.youtube.com/watch?v=0I8FdazqAvc&list=PL6YHSDB0mjBKB2LBZDKL9UhcMMx6GtOsx

https://www.youtube.com/watch?v=_d0wquZkOYU&list=PL6YHSDB0mjBJ6qgfin-xKmP3FtTQr4x7i

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