常聽有人將數學與哲學進行對比，因為兩者都高度依賴於邏輯思維。今天的邏輯學其實就橫跨着歷史上的數學與哲學這兩門學科。但這兩門學科之間又是顯然不同，這並不需要經過什麼特殊的訓練，而是小學生就能知道的。柏拉圖認為數學只不過是哲學家需要掌握的一門基礎課而已，因此數學家還夠不上哲學家的水平[1]。當然，這一方面因為柏拉圖認為哲學的基本標誌是辯證法，而數學不需要辯證法，另一方面應該與那個時代的數學知識還相對比較淺顯因而哲學家的數學水平也不必數學家差有關。雖然學數學並不需要把哲學作為一門基礎課，在數學與哲學高度專業化的今天的數學家恐怕也會很自然地把柏拉圖的話反過來說，認為哲學家夠不上數學家的水平。

我們可以從兩個彼此相關卻又不同的層次來看待數學與哲學之間的關聯與不同。第一個層次是如我之前在討論文化的基礎分類[2]時提到的，我們可以從兩個學科在人類文化中所處的邏輯地位的關係來看它們之間的關聯與不同，而第二個層次便是從它們所對應的思維方式的不同來看它們之間的關聯與不同。本文要討論的是數學與哲學在思維方式上的對比。

首先，作為研究數量關係的學科，數學不能迴避在它推導過程中的任何一個細節步驟上的關係的確定性（包括所謂的不確定性），而哲學則通常不需要深入到非常複雜微妙的數量關係細節中去。這決定了數學家們需要具有哲學家們所不需要的對於相關的邏輯細節的敏感度。但另一方面，哲學則需要在沒有已知的確定的知識的前提下，從開放的不確定的複雜關係中找出能夠用最明確一致的語言來描述對象的視角來。這就決定了，哲學家需要具有把握不確定性並在不同的邏輯層次上進行抽象的韌性。

第二，說到這裡有必要澄清一點，雖然不論是數學還是哲學都依賴於邏輯的思辨，在現實生活中人們的數學思維或哲學思維並非總是遵循着可以在紙上寫出來的明確的邏輯脈絡，很多時候直覺起了非常重要的作用，因此當我們對數學和哲學的思維方式進行對比時，一個不容迴避的問題就是人們對於數學的直覺與對於哲學的直覺顯然是不同的，有些人數學的直覺很強，而有些人則哲學的直覺力很強，當然也有些人或許兩方面都很強。當然，如果拿一個受過專業訓練並有着多年工作經歷的數學家與一個受過專業訓練並有着多年工作經歷的哲學家進行比較，肯定馬上會涉及到各自所學習積累的知識的不同以及與之相應的長期養成的思維習慣的不同而決定的各有所長。

但是，在專業知識的積累與長期的工作習慣之外，仍然不可否認地存在着一些因人而異的利於數學或利於哲學的直覺思維方式。對於數學來說，這樣的直覺性在一些沒有經過專業訓練的青少年身上可以得到很好的表現。這裡舉幾個例子，有一次有人給我出了一個智力遊戲，說有人在一座大樓的8樓上班，他經常是上班時坐電梯做到6樓，然後走兩層到8樓，而下班時則直接在8樓坐電梯下樓，問這是為什麼。我想半天不得其妙，但這時有個小學生兩年級的學生一聽就說因為那個人是個子矮，所以上樓時夠不着8樓的按鈕，只好坐到6樓然後走兩層，而下樓則不存在這個問題。

又有一次，有人給我出了一個撲克牌遊戲題，從紅黑兩種顏色的牌各取十五張（其實具體張數不重要）弄成一沓，進行如下的操作：從最上面拿出一張翻過來放在桌子上，再將最上面一張（原來的第二張）移到最下面，然後將最上面的那張（是最初的第三張）再翻過來放到桌子上，接在之前放在桌上的那張牌（即第一張）後面，再將最上面一張（原來的第四張）移到最下面，重複這樣的步驟直到手裡的牌全部放在桌上。要求這樣操作的結果是放在桌上的牌是嚴格的紅黑相間的一個序列。這需要對那一沓牌做特殊的處理。作為北美一流大學畢業的工科博士，我在那裡折騰了半個多小時也不得其解，這時過來一位五年級的小學生，在問明白了遊戲要求後，坐到一邊，三分鐘後便找出了答案。

還有一次我接觸到一道中學生老師出的數學題，要求在1到40之中找出4個數，用這4個數進行加減乘除運算（每個數只能用一次）能得出1到40中的任何一個數來。我這個博士生又在那裡折騰近一小時，還列出方程式來，仍不知所措。這時過來一位從未接觸過這道題目的大學兩年級的學生，在了解了問題後，閉目思考了最多也就是三秒鐘，非常自信地給出了答案，然後我們一一驗證，果然可以通過加減乘除得出1到40之中的任何一個數。

要知道在幾十年沒有接觸中學數學之後，我曾為了輔導一中學生而一口氣將美國的SAT數學考試輕鬆提前做完只錯了一道題。換句話說，本人的數學基礎並不差，而我的博士與碩士論文都有長篇的數學推導。記得我讀博士時，為了推導非理想流體力學的一階近似方程（比零階高一階）的解析解過程中，經常是一個等式要有十多頁長。也就是說，本人並非數學功底很差的人，但上面幾個例子告訴我，數學的思維並非全都是理性的邏輯思維，很多時候是非意識的直覺在起作用。

對於哲學來說，直覺也同樣起着很重要的作用。以我本人來說，我既不是數學專業出身的，也不是哲學專業出身的。 從前面的幾個例子可以看出，我的數學直覺力是不夠強的，如果你讓我去讀最高深的理論數學專著，我肯定咬不下來；但是，我卻能相當輕易地將千百年來被專業哲學家們公認為沒什麼人讀得懂的老子或黑格爾的哲學專著讀懂，而且能看出其中的不為人知的結構特點，甚至是邏輯缺陷。考慮到千百年來那些沒有讀懂老子或黑格爾的專業哲學人員中有很多天才級的人物，我從我自己的例子中可以看到直覺對於哲學的作用性。

今天不論是心理學家還是哲學家們顯然對這種直覺的作用機理還缺乏基本的了解[3]。但是，人們對於直覺的作用機理的知識上的缺乏並不代表直覺在現實中不存在，畢竟知識是用來反映現實，而不是限制現實的。既然直覺存在於人們的數學和哲學的思維中，那麼當我們對數學與哲學的思維特點進行考察時就不能迴避直覺這個議題。但是，由於我們對於直覺的作用機理缺乏基本的科學認識，我這裡對於直覺在數學與哲學中所起的作用的對比，只能說：現實的經驗表明，數學的直覺不同於哲學的直覺。

第三，數學的語言相對簡單，而哲學則對自然語言有着非常高的要求。而對於自然語言的領悟本身又與生活的經歷密切相關。

第四，與上面的第三相關地，柏拉圖和黑格爾都強調人生經歷對於哲學領悟的影響，這是哲學與數學在思維上的另一個不同點。雖然數學世界也可被比喻浩瀚的海洋，但畢竟實在一些比較確定的框架下進行的針對性很強的思考，而哲學則面對整個人類文明。這裡涉及兩個方面，其中第一個便是上面第三中提到的對語言的依賴性不同，而第二個則是生活經歷可以提供在語言之外的對於哲理的領悟力。

第五，作為一門研究數量關係的學科，反映數學中最基本的關係的便是那個等號或與之相應的等價關係，或在等號或等價的意義上建立起的其它的各種關係。而不論是等價還是不等價，或想等或不相等，在任何一步具體的推導過程中，都是單一而明確的關係；即便是概率或與之相應的模糊數學也都是有簡單明確的相等或不等來表達。

因此，基於明確的相等或不等關係的數學確實如柏拉圖所說與辯證法的關係不大，而哲學則由於其所關心的關係之開放性而需要辯證法。因此，對於辯證思維的運用程度的不同便是由數學及哲學這兩門學科的對象不同而導致的思維方式的另一個不同點。亞里士多德在世的話恐怕會站出來反對這一說法，因為他不認為哲學需要辯證法。但實際上他自己的著作中也滿是辯證的思維。

第六，由於上述的種種原因，數學與哲學在邏輯思維上有一個中學生都會遇到的明顯的不同，那就是數學運算經常需要用到一些所謂的小技巧，而即便是高深的哲學思辨也通常都是大來大去。

第七，數學與哲學的最大的不同其實還在於數學注重的是數的特性，而哲學注重的是概念。

在討論了數學與哲學的思維上的不同點之後，我們也有必要了解數學與哲學在思維上的關聯。

首先，很多時候（比如在很多的涉及邏輯的智力遊戲或考試中）人們會發現很難界定所涉及的是數學還是哲學。那是因為，數學與哲學統一於邏輯。雖然，在一般的情況下，數學的邏輯與哲學的邏輯可以有着涇渭分明的不同，但是，當一個問題既涉及到明確的數值關係，又有着微妙的非數值的邏輯關聯時，我們就會發現很難將那個問題界定為數學或哲學，而只能認為它們是數學與哲學的綜合性問題。

另外，數學與哲學永遠是同一存在的兩個不同的層次，也就是說，任何存在都一定有着其內在的數學關聯，而同時它的整體構型也一定能用哲學的語言來進行表達。不過，如我之前曾在關於機器人的討論[4]^,[5],[6]中提到的，哲學只屬於人類，而數學同時也屬於機器人。。。。。。

[1]The Republic, by Plato, URL:

[2] 文化之基礎分類的界定 （那篇文章看起來簡單其實恐怕並不易懂。我將該文的中英文版寄給中英文雜誌，目前無一人能讀懂）

[3]神學界可以就人們不需要通過理性的邏輯思維而得出正確的結論給出對於有宗教信仰的人來說非常令人信服的解釋。以我個人來說，我相信我對於哲學的領悟來自上帝的指引與啟示。對於對宗教信仰缺乏了解的一般人來說，神學提供的答案並不能令他們滿足，因為神學並沒有給他們關於為什麼有些人的數學直覺強，而有些人的哲學直覺強的問題的一般性公式性的答案。神學之所以沒有給出那樣的回答是因為神學本來就強調自然的人在超自然面前的特異性，以基督教來說，就是強調每個人在上帝面前都是不同的。

[4] 哲學與數據：區別人與機器人的智能標記

[5] 藝術，哲學，及機器人

[6] 沒有道德與信仰的邏輯--人工智能的又一天然缺陷