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走近量子(7)贝尔不等式 2012-02-02 10:39:51

1963-1964年,在长期供职于欧洲核子中心(CERN)後,约翰·贝尔有机会到美国斯坦福大学访问一年。北加州田园式的风光,四季宜人的气候,附近农庄的葡萄美酒,离得不远的黄金海滩,加之斯坦福大学既宁静深沉,又宽松开放的学术气氛。这美好的一切,孕育了贝尔的灵感,启发了他对EPR佯谬及隐变量理论的深刻思考。

贝尔开始认真考察量子力学能否用局域的隐变量理论来解释。贝尔认为,量子论表面上获得了成功,但其理论基础仍然可能是片面的,如同瞎子摸象,管中窥豹,没有看到更全面、更深层的东西。在量子论的地下深处,可能有一个隐身人在作怪∶那就是隐变量。

根据爱因斯坦的想法,在EPR论文中提到的,从一个大粒子分裂成的两个粒子的自旋状态,虽然看起来是随机的,但却可能是在两粒子分离的那一刻(或是之前)就决定好了的。打个比喻说,如同两个同卵双胞胎,他们的基因情况早就决定了,无论後来他(她)们相距多远,总在某些特定的情形下,会作出一些惊人相似的选择,使人误认为他们有第六感,能超距离地心灵相通。但是实际上,是有一串遗传指令隐藏在它们的基因中,暗地里指挥着他们的行动,一旦我们找出了这些指令,双胞胎的‘心灵感应’就不再神秘,不再需要用所谓‘非局域’的超距作用来解释了。

尽管粒子自旋是个很深奥的量子力学概念,并无经典对应物,但粗略地说,我们可以用三维空间的一段矢量来表示粒子的自旋。比如,对EPR中的纠缠粒子对AB来说,它们的自旋矢量总是处于相反的方向,如下图中所示的红色矢量和蓝色矢量。这两个红蓝自旋矢量,在三维空间中可以随机地取各种方向,假设这种随机性是来自于某个未知的隐变量L。为简单起见,我们假设L只有八个离散的数值,L=12345678,如下图所示,分别对应于三维空间直角坐标系的八个卦限。

 

由于AB的纠缠性,图中的红矢和蓝矢总是应该指向相反的方向,也就是说,红矢方向确定了,蓝矢方向也就确定了。因此,我们只需要考虑A粒子的自旋矢量(红矢)的空间取向就够了。假设红矢出现在八个卦限中的概率分别为n1,n2┅n8。由于红矢的位置在8个卦限中必居其一,因此我们有∶n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8 = 1

现在,我们列出一个表,描述AB的自旋矢量在3维空间可能出现的8种情况。下图中的左半部分列出了在这些可能情况下,自旋矢量在xyz方向的符号∶

 

既然AB二粒子系统形成纠缠态,互为关联,我们便定义几个关联函数,用数学语言来更准确地描述这种关联的程度。比如,我们可以如此来定义Pxx(L)∶观察x方向红矢的符号,和x方向蓝矢的符号,如果两个符号相同,函数Pxx(L)的值就为+1,否则,函数Pxx(L)的值就为-1。我们从上表左边列出的红矢蓝矢的符号不难看出,Pxx(L)8个数值都是-1。然後,我们使用类似的原则,可以定义其他的关联函数。比如说,Pxz(L),是x方向红矢符号,与z方向蓝矢符号的关联,等等。

在上图中的右半部分,我们列出了Pxx(L),以及Pxz(L)Pzy(L)Pxy(L)的数值。

现在,贝尔继续按照经典的思维方式想下去∶我们的小孙悟空AB蹦出石头缝时,它们的两个自旋看起来是随机的,但实际上是按照上面的列表互相关联。然後,他们朝相反方向拼命跑。经过了一段时间之後,两个小孙悟空分别被如来佛和观音菩萨抓住了。如来和观音分别对AB的自旋方向进行测量。因为L是不可知的隐变量,因此,只有关联函数的平均值才有意义。根 上面表中的数值,我们不难预测一下这几个关联函数被测量到的平均值∶

Pxx = -n1-n2-n3-n4-n5-n6-n7-n8 = -1

Pxz = -n1+n2+n3-n4+n5-n6-n7+n8

Pzy = -n1-n2+n3+n4+n5+n6-n7-n8

Pxy = -n1+n2-n3+n4-n5+n6-n7+n8

让我们直观地理解一下,这几个关联函数是什麽意思呢?可以这样来看∶Pxx代表的是AB都从x方向观测时,它们的符号的平均相关性。因为纠缠的原因,AB的符号总是相反的,所以同被在x方向观察时,它们的平均相关性是-1,即反相关。类似的,Pxz代表的是从x方向观测A,从z方向观测B时,它们符号的平均相关性。如果自旋在每个方向的概率都一样,即∶n1=n2=┅n8=1/8的话,我们会得到Pxz0。对PzyPxy,也得到相同的结论。换言之,当概率均等时,如在相同方向测量AB的自旋,应该反相关;而如果在不同方向测量AB的自旋,平均来说应该不相关。

我们可以用一个通俗的比喻来加深对上文的理解∶两个双胞胎AB,出生後从未见过面,互相完全不知对方情况。一天,两人分别来到纽约和北京。假设双胞胎诚实不撒谎。当纽约和北京的警察问他们同样的问题∶“你是哥哥吗?”,如果A回答“是”,B一定是回答“不是”,反之亦然。对这个问题,他们不需要互通消息,回答一定是反相关的,因为问题的答案是出生时就因出生的顺序而决定了的(这可相仿于Pxx=-1的情况)。但是,如果纽约警察问A∶“两人中你更高吗?”,而北京警察问B∶“你跑得更快吗?”,按照我们的经典常识,两人出生後互不相识,从未比较过彼此的高度,也从未一起赛跑。所以,他们的回答就应该不会相关了(这可相仿于Pxz=0的情况)。

现在再回到简单的数学∶我们在PxzPzyPxy的表达式上,做点小运算。首先,将PxzPzy相减再取绝对值後,可以得到∶

|Pxz-Pzy| = 2|n2-n4-n6+n8| = 2|(n2+n8)-(n4+n6)|                  1

然後,利用有关绝对值的不等式|x-y|<=|x|+|y|,我们有∶

2|(n2+n8)-(n4+n6)| <= 2(n2+n4+n6+n8) =

(n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8)+(-n1+n2-n3+n4-n5+n6-n7+n8) = 1+Pxy      2

这样,从(1)和(2),我们得到一个不等式∶

|Pxz-Pzy|<= 1+Pxy                                                3

这就是著名的贝尔不等式。上述不等式是贝尔应用经典概率的思维方法得出的结论。因此,它可以说是在经典的框架下,这三个关联函数之间要满足的约束条件。也就是说,经典的孙悟空不可以胡作非为,它的行动是被师傅唐僧的紧箍咒制约了的,得满足贝尔不等式!

但是,如果是量子世界的量子孙悟空,情况又将如何呢?当然只有两种情形∶如果量子孙悟空也遵循贝尔不等式,那就好了,万事大吉!爱因斯坦的预言实现了。量子论应该是满足‘局域实在论’的,量子孙悟空表现诡异一些,只不过是因为有某些我们不知道的隐变量而已,那不着急,将来我们总能挖掘出这些隐变量的。第二种情况∶那就是量子孙悟空不遵循贝尔不等式,贝尔用他的‘贝尔定理’来表述这种情形∶“任何局域隐变量理论都不可能重现量子力学的全部统计性预言”。如果是这样的话,世界好像有点乱套!

不过没关系,贝尔说,重要的是,这几个关联函数是在实验室中可能测量到的物理量。这样,我的不等式就为判定EPR和量子力学谁对谁错提供了一个实验验证的方法。

那好,理论物理学家们说,我们就暂时停止耍嘴皮,让将来的实验结果来说话吧。

上一篇∶帮倒忙的贝尔

下一篇∶纠缠态及实验

浏览(2568) (0) 评论(9)
发表评论
文章评论
作者:King 留言时间:2012-02-02 18:55:48
我有几篇几篇关于Bell态及量子隐形传态(Quanum Teleportion)的研究论文(pdf文件),想贴在万维我的博客上,但可能方法不对,一直贴不上。但发表评论可以显示。

现在几篇论文已发布在科学网我的博客上

http://blog.sciencenet.cn/u/guanky

因内容与现在讨论的问题稍有关系,藉此介绍一下。

欢迎浏览,批评指正。
回复 | 0
作者:King 留言时间:2012-02-02 14:56:10
天蓉:

看来,你好像还没明确回答这一关键问题:两个自旋不同的电子能否在三维空间看作是线性相关而且方向相反的矢量?

in English:
It seems that you have not replied my problem: If can the two different spin states of electron be treated as such two vectors in 3-dimensional space, that they are linear dependent, and one in in the positive direction and the other one is in the negative direction?

建议:我们都说汉语,在中文网讨论尽量用中文。发表英语论文另当别论。
回复 | 0
作者:天蓉 留言时间:2012-02-02 14:04:56
King,

Spin operator is similar to orbital angular momentum operator. They both are measurable physical quantities. Spin cannot take continuous values, as you said, for electron, it can only take 1 / 2 and -1 / 2, two values, but can still be observed in the three-dimensional space.

They are two orthogonal vectors in the Hilbert space, which is different from physical three-dimensional space.
回复 | 0
作者:Rabbit 留言时间:2012-02-02 13:52:07
硃换瑉
乱码ぃ穝写钩蛤и对泊
回复 | 0
作者:天蓉 留言时间:2012-02-02 13:50:58
If the results violate Bell's inequality, the denial of the locality of quantum mechanics. But it seems not enough to deny the non-local hidden variables.
回复 | 0
作者:逍遥津 留言时间:2012-02-02 13:42:42
楼主的上面的回帖是"天书",在我的屏幕上无法辩识,只好代答凑数,不知合意否。

贝尔不等式在经典力学中成立,而在量子力学中不成立。

实验表明:如果一个隐变量理论不改变量子力学的统计预言,就一定会违背定域性原理,迫使人们接受一种非因果关系的超光速效应。

換句话说,如果一个隐变量理论遵循定域性原理,就一定会改变量子力学的统计预言。

再換句话说,任何定域的隐变量理论不可能重复量子力学的全部统计预言。

再再換句话说,愛因斯坦"错",玻尔"对",但玻尔自己也不明白自已在说神马东西。

哈哈哈....只有兔子的"绝学"知道底细!
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作者:King 留言时间:2012-02-02 13:28:57
有个问题:

将量子的两个不同自旋态比作沿同一测量方向上的正负两个矢量是否恰当?

因为量子力学中,它们是同一自共轭自旋算符的对应于两个不同特征值(对电
子,这两个特征值分别是+1/2 和-1/2;对光子,这两个特征值分别是+1 和-1)
的两个特征矢量,这两个自旋态恰恰是正交的,不在同一方向上。

另外,量子力学还没有定义一特征矢量(态)的正负方向,因为对应其负向的矢量,仍是同一特征值的特征矢量,不会变成另一特征值的特征矢量。

不知作者自己是如何考虑的?
回复 | 0
作者:榕城老应 留言时间:2012-02-02 13:10:13
很精彩!学习了隐变量推出Bell不等式。所以确定论能解释符合Bell不等式的随机现象和纠缠。

满足Bell不等式的随机纠缠现象是不是都能找出隐变量来?

等着看什么是局部域和解释Bell定理。
回复 | 0
作者:Rabbit 留言时间:2012-02-02 11:03:18
可以简单地讲,贝尔不等式的原因是“隐形量”还没被测出/发现的结果吗?如果不对,您怎样总结?
回复 | 0
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