第十七章﹕混沌游戏

“我想，庞加莱本质上是保守的。而且，他的数学眼光又大大超越了他的物理眼光和哲学眼光……”

李四很赞同王二的说法。对呀，你们看，他在狭义相对论的表现和他在看到混沌现象时的表现，都是出于同样的在哲学上和物理上的保守观念。其实，当初他已经发现了对初始条件极为敏感的混沌现象。但有人认为，庞加莱并没有把他对同宿交错网，也就是对混沌现象的全部想法，完全写进他的著作。他最后提交的有关三体问题论文，有长长的270多页，而且后来，他还就此问题，发表了三大卷《天体力学的新方法》，对天体力学做出了重要的贡献。而对同宿交错网及混沌，却只是在他的书的第三卷第397节中简单提了一下，只是为了说明：N体问题的解的复杂性，超出了人们的想象能力。

张三说：“唉，在那个时代，也难为他了……十九世纪末期，人们对自然界的基本理解是决定论的。”

的确，这种混沌的想法完全不符合当时知识界的乐观情绪。那时的人们津津乐道的是，给定现在的状态，人类有能力预测未来的一切！

谈到这个话题，张三又想起了他们曾经讨论过的决定论，上次李四不是说过吗？根据量子力学，初始条件是无法精确确定的，这个观点的确很有道理。张三说，尽管我不懂量子力学，但我也听过量子力学中的不确定原理……。其实，不确定原理并不难理解嘛。在工程中，也有两个物理量不可能同时被精确测量的情况。比如说：时间和频率。这是因为，所谓频率，指的是 ‘一段时间’内的振动次数。如果你把这‘一段时间’精确到一个理想的时间点的话，频率当然就失去意义了，就像对一个时间点，速度的定义失去其意义一样。不过，我对‘混沌现象’、‘决定’、还是‘非决定’这些概念，仍然有所疑问：

“虽然叫做混沌，看起来杂乱无章、一片混乱，虽然貌似随机，但是，我总觉得这种混沌现象与真正的‘随机过程’，还是风马牛不相及，它们毕竟是确定的微分方程的解啊！另外，洛伦茨方程产生的混沌，与三体问题中的混沌，还是不同的吧？因为它们是与不同的微分方程有关嘛。所以，我们这儿讨论的‘混沌’，有一些，怎么说呢……好像仍然包含着‘决定’的成分……”

王二很快领悟到了这其中的奥妙：“难怪啊！我总看见书上把它们叫做‘决定性的混沌（deterministic chaos）’，看来这就是原因了！”

不过，王二不同意张三所说的：混沌现象与真正的随机过程‘风马牛不相及’这个观点，王二提到了最近他在一本书上看到的‘混沌游戏’。

李四也说，我们所说的‘混沌现象’，的确并不完全等同于‘随机’。但是和随机过程有关系，它是随机过程和决定规律的结合。洛伦茨方程产生的混沌，显然不同于三体问题产生的混沌，因为它们有不同形态的奇异吸引子，分别作为它们各自的标签！这些奇异吸引子对应于不同的分形，分形有决定的一面，也有其随机的一面。正如王二所说，从本章介绍的‘混沌游戏’，我们将看到：分形可以从随机过程产生出来！

总结我们迄今为止所介绍过的分形，大概有如下三类：

1.   科赫曲线、谢尔宾斯基三角形、分形龙等，可以从线性迭代过程产生；

2. 曼德勃罗集、朱利亚集，从非线性复数迭代过程产生；

3. 奇异吸引子，由洛伦茨方程或三体运动方程等非线性微分方程组产生。

前面几章中，曾经介绍用迭代的方法构成分形。而随机过程如何产生分形呢？我们以谢尔宾斯基三角形为例。

图（17.1）：用混沌游戏方法生成谢尔宾斯基三角形

在初始图形上，画上红、绿、蓝三个顶点，以及随意选择的起始点z0，再准备一个能随机产生‘红、绿、蓝’之一的随机发生器。这很简单，比如说，我们可以将标有1-6的骰子重新贴标签：第1、4面贴‘红’，2、5面贴‘绿’，3、6面贴‘蓝’，这样，这个骰子就能让我们达到随机选择红绿蓝的目的了。然后，我们就可以开始混沌游戏。

图（17.1）所示，从z0开始，利用随机选出的颜色点（这时是绿），取z0到绿点的中点，作为下一个点z1，然后，又利用再次随机选出的颜色点（这时是蓝），取z1到蓝点的中点，作为z2，……以此往复地做下去，得到z3、z4、z5、z6……

张三有点不耐烦了：“你这些乱七八糟的点，看不出什么名堂啊……”

王二叫他别急，统计现象嘛，一定要足够多的实验点才能见效果的。果然如此，从图（17.2）可见，如果用大量随机的点作上面的混沌游戏，最后构成了谢尔宾斯基三角形。

图（17.2）：生成谢尔宾斯基三角形的混沌游戏，不同实验点数的不同结果

张三看看图（17.2），又回头再去看图（17.1），心中琢磨：像这样，每次随机选择一个顶点，取中点作为下一点，一直做下去，怎么就产生出谢尔宾斯基三角形来了呢？想着想着，脑中突然灵光一闪，似乎觉得不难理解了。因为他想起：在用迭代法产生谢尔宾斯基三角形的时候，每次迭代的过程，都是将原来图形的尺寸缩小到二分之一，变成三个小图形，放在三个顶点附近而成的。这迭代时的‘尺寸缩小一半’，肯定就和这儿混沌游戏中的‘取中点’关联起来了！不过嘛，图形迭代时，我们看到的是同时产生了三个小三角形，像是平行运算。在混沌游戏中，所有分形的点却是一点接一点，串行而随机地加到图上去的。嘿，这就是为什么叫做‘混沌游戏’嘛，有意思！看起来混沌，本质上却和迭代的效果是一样的！

张三想通了混沌游戏产生谢尔宾斯基三角形的奥秘，心中得意，刚想解释给朋友们听听，没料到王二已经早他几天看过有关‘混沌游戏’的书，比他理解得还更深一层，提出了一个他没想过的新问题。王二问李四：

“用混沌游戏产生谢尔宾斯基三角形比较简单。像你说的：随机选择顶点，再找中点就可以了。但是，一般分形的情况怎么办呢？还有那些由非线性方法产生的分形呢？也能用混沌游戏产生出来吗？”

李四认为，原则上应该是可以的，虽然他没有做过。数学家们的特点，不就总是从一个特殊的例子，抽象成一个一般的数学问题，再研究出一般的解决方法吗？

产生分形所用的迭代方法，可以抽象成一组收缩变换函数，数学家们将此称为迭代函数系统（IFS，Iterated Function System）。任何分形，只要找到了对应的IFS，就能用迭代法（或者是混沌游戏的方法）产生出来，非线性的情况也一样。比如说，下面公式即为谢尔宾斯基三角形的IFS：

f₁(z) = z/2,

f₂(z) = z/2 + 1/2,

f₃(z) = z/2 + ( 3 + I)/2

王二点点头，张三也觉得更明白了：啊，原来是用迭代函数系统将它们联系起来。谢尔宾斯基三角形的IFS中这么多的（1/2），不就是我刚才想到的‘尺寸缩小一半’和‘取中点’此类操作的数学表达吗？只听王二又说：

“你刚才总结过有三类不同的分形，前面两种分形（简单的、和曼德勃罗集等）都显而易见地，可从迭代过程产生。那种奇异吸引子的分形不是微分方程的解吗？那怎么从迭代过程产生啊？”

张三高兴了，终于找到了表现的机会，赶快抢答。因为这个问题他再清楚不过了，他在画洛伦茨吸引子等图的时候，就是从初始时间t0时的初值开始，用迭代法产生出下一个时间t1时的值，以及再下面的t2、t3….等等时刻的数值。这样做的原因是因为找不到微分方程的精确解，因而只能用迭代法得到数值解。

王二恍然大悟：啊，原来如此！

图（17.3）：生成树叶的混沌游戏

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