第三章∶分數維是怎麽回事？

了解了更多分形的知識之後，三個好朋友∶張三、李四、王二，又湊到了一塊兒，返回去思考和探索第一章留下的問題∶分數維到底是怎麽回事呢？

張三說，在經典幾何中，是用拓撲的方法來定義“維數”的 ，也就是說，空間的”維數”等於決定空間中任何一點位置所需要變量的數目∶比如，所謂我們生活在‘三維空間’，是因為我們需要三個數值∶經度、緯度、和高度，來確定我們在空間的位置。對於一個二維空間，比如在地球這個球面上，則需要兩個數值來確定一個物體的位置。當我們開車行駛在某一條高速公路上，汽車的位置只需要用一個數∶出口的序號數，就能表示了，這是一維空間的例子。

拓撲“維數”概念的擴展，要歸功於德國數學家費利克斯•豪斯多夫（F.Hausdorff，1868-1942）。豪斯多夫在1919年給出了維數新定義，為維數的非整化提供了理論基礎。

“豪斯多夫！我讀過他的故事。他後來是自殺的┅┅”王二在三個朋友中年紀最小，急不可耐地插了幾句。

豪斯多夫是拓撲學的創始人。第二次世界大戰開始後，納粹當權，豪斯多夫是猶太人，但他認為自己做的是純數學，在德國已經是令人敬重的大教授，應該可以免遭迫害。但是事非所願，他未能逃脫被送進集中營的命運。他的數學研究，也被指責為屬於猶太人的、非德國的無用之物。 1942年，他與妻子一起服毒自盡。

不等王二說完，李四便搶著接下去∶“這是科學家不懂政治的悲劇。我們還是回到豪斯多夫的數學。張三說得一點沒錯，因為‘變量的數目’不可能是一個分數，因此，按照這種拓撲方法定義的”維數”，當然只能是整數嘍！但是，分形的維數是用另一種方式定義的┅┅”

李四說，其實，在‘分形’這個名字中，就已經包含了‘分數維數’的玄機。眾所周知，經典幾何學中，有1維的線、2維的面、3維的體。三維以內，有現實物理世界的物體對應，容易理解，維數大於三的時候，就需要應用一點想象力了，比如加上了時間的四維空間等。但是不管怎麽樣，經典幾何的‘維數’總是一個整數，將經典的三維空間擴展想象一下，一維一維地加上去就可以了。而分形幾何中的‘維數’，卻包含了‘分數維’在內，這也就是‘分形’名稱的來源。

“如何定義和理解分數維呢？首先，讓我舉幾個例子，慢慢解釋給你們聽！” 李四洋洋得意地看著兩個師弟說。李四學的是物理，並且已經是大學四年級的學生，比兩個朋友多讀了幾年書，講起課來頭頭是道。

在分形幾何中，我們將拓撲方法定義的‘維數’，擴展成用與自相似性有關的度量方法定義的‘維數’。第一章中我們不是已經介紹過花菜的結構和分形龍的‘自相似性’嗎。其實，經典整數維的幾何圖形，諸如一條線段、一個長方形、一個立方體，也具有這種‘自相似性’，只不過，它們的‘自相似性’太平凡而不起眼，被人忽略了而已。

王二眨巴著大眼，不甚明白的模樣∶“你的意思是說∶線、面、體┅┅這些我們常見的整數維幾何形狀，也算是分形？”

“當然，也應該是這樣嘛。就像實數中包括了整數一樣，擴展了的分形維數定義當然也包括了整數維在內。你聽我先解釋一下如何用‘自相似性’來定義‘維數’吧┅┅”

根 ‘自相似性’ 的粗淺定義∶“一個圖形的自身可以看成是由許多與自己相似的，大小不一的部分組成的”，我們來觀察普通整數維圖形的‘度量維數’。

比如說，如圖（3.1）所示∶（a）一條線段是由兩個與原線段線段相似，長度一半的線段接成的；（b）一個長方形，可以被對稱地剪成四個小長方形，每一個都與原長方形相似。也就是說，長方形自身可以看成是由4個與自己相似的，大小為四分之一的部分組成的；（c）一個立方體，則可以看成是由8個大小為八分之一的小立方體組成的。

仍然利用上面的圖，用自相似性來定義的‘維數’可以如此簡單而直觀地理解∶首先將圖形按照（N: 1）的比例縮小，然後，如果原來的圖形 可以由（M）個縮小之後的圖形拼成的話，這個圖形的‘維數’d，也叫豪斯多夫維數，就等於∶

d  =  ln(M)/ln(N)                                     （3.1）

不難看出，將上述方法用來分析直線、平面、空間，分別得到d = 1、2、3。見圖（3.1）中的a、b、c。

現在，我們可以用同樣的方法來分析科赫曲線的維數，就像圖（3.1）中的（d）所示∶首先，將科赫曲線的尺寸縮小至原來的三分之一；然後，用四個這樣的‘小科赫曲線’，便能構成與原來一模一樣的科赫曲線。因此，根據公式（3.1），我們得到科赫曲線的維數d = ln(4)/ln(3) = 1.2618..。這就說明了，科赫曲線的維數不是一個整數，而是一個小數，或分數┅┅

“等一等，我想用這個公式算算我這兒這個分形的維數┅┅”張三一邊用筆在本子上畫著什厶，一邊說。

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