π、e以及複數是什麼關係？ 特有理 2015-11-13
π和e是數學和工程應用中最常見的數學符號。它們有一個共同的特點，就是都為無理數。而且，了解數學的人都知道，π和e之間有着神秘且微妙的關係，即有：【eix=cos(x) + i sin(x)】 (三角函數中x與π直接相關)，或有【eiπ+1=0】這個科學界俗稱 “歐拉的寶石” 的神奇表達。進一步，在現代科技的應用中，eix是工程數學的模型基礎。其中最經典及為人熟知的，就是電學的基本變量元素：阻抗、感抗、和容抗，【Z=Zmejθ [θ (0, 2π)]】。 我曾經提到過應用電子學原理解決其它系統問題包括社會經濟問題的想法，但是大家都幾乎一笑了之，這個想法也太“民科”啦。不過，如果你仔細思考過π、e以及複數的關係，也許會正視這樣一個思路。 π是圓周率，也就是圓的周長與直徑的比率。這似乎已經是小學的常識。但有多少人思考過其背後的含義？為什麼π是一個無理數？它與現代的科學現象有什麼關係，比如有名的《測不準原理》？異想天開不是什麼錯誤，但科學思維還是需要紮實的邏輯基礎。那麼我們先看看人類思維層次與科技發展的對應。 數字，最初是一個量的概念，是對人所感知的現象的量化表達。比如大小、多少。實數的思維層次，除了量化本身，還有了相對性的概念。也就是除了整數，還有了分數和小數。對應了加減乘除、乘方開方。幾何原理的發展，催生出了三角函數。伴隨着非線性數理的研究和數學應用的發展，虛數被引入到數學模型當中。 我不得不感嘆當時西方人靈性的爆發！是何原因不得而知，但從實數到虛數的跨越，才使人類真正走到了現代的科技文明。為什麼？一方面，虛數在現代科技中是不可缺少的數學變量，但是大多數人只知其然而不知所以然。【eix=cos(x) + i sin(x)】和【eiπ+1=0】難道只是數學上的巧合。在[1 *( -1)]= i這個虛數因子的基本表達中，它所包含的自然規律在是什麼？ 我們知道，圓周上特定一點隨圓轉動的坐標軌跡就是餘弦曲線。因此這個三角函數曲線就是圓周率在動態圓中的一種表達。然而在科技實踐中，我們發現所有的自然曲線，包括電信號，都可以用三角函數序列表達。那也就是說：任何動態曲線中都有圓周率的作用，任何事物的運動都受到圓周率π的支配。 在研究運動規律的數學模型中，人們離不開參照的原點和參照系。但是，複雜的事物具有多種參照系，其根本也就是多種變量中基本動態圓的運動方向不同。坐標系的轉換雖然不難，但是動態坐標系的轉換就極為複雜了。虛數i的概念，使得數學模型超出了坐標原點的限制，給出了一個雙向包容的動態基點。因此，複數應運而生。複數a+bi，也可稱為矢量，實際上表達了事物運動的狀態和趨勢。 儘管e在數理體系中來源於極限，從【eix=cos(x) + i sin(x)】到【eiπ+1=0】我們已經能夠感覺到，e也是事物運動的一種極限表達。實際上，這就是特定圓周運動的狀態邊界。這裡，我們不妨回顧一下指數的概念。指數模型既包含了簡單的量的概念，當指數成為一個廣義的變量時，指數實際上也代表了一種量的變化狀態。【狀態】的概念是我們理解指數、虛數、以及複數的關鍵。從狀態的角度，虛數代表了狀態可能的範圍（-1，1），複數則代表了自然事物運動的狀態和趨勢。例如eix，它是歸一形式下，複數的指數表達方式。那麼，eix=cos(x) + i sin(x)所展現的，就是無論X如何變化，cos(x) + i sin(x)這個特定的復三角函數所對應的指數底數，是一個等於e的常數。這個常數的意義從（ex）’= ex可以分析出，ex是自然界唯一一個保持在任意一點都具有與自身變化趨勢相同的函數，因為一個數的倒數在本質上表達了函數曲線在對應點的動態變化趨勢。 從泰勒級數ex=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+...，我們又可以看出，e是一個特定運動模式的集合邊界。按照這個思路，進步審視傅里葉變換f(x)=a0+∑[ancos(nπx/L)+bnsin(nπx/L)],以及復頻域的拉普拉斯變換F(s)=∫e-stf(t)dt，我們終於看到：e是一切數理函數的基石，任何函數都可以用ex的模塊進行構建。當然，這裡邊始終隱藏着π的身影。 以上談及的e和π，主要是在數理層面。這只不過是自然規律在人類意念上的一個表達。當我們面對現實世界的各種自然變化和物質的運動，我們又會發現，自然運動的基本狀態是波。而任何運動的波，又遵從三角函數的表達模式。物理學、電子學、系統工程學都從科技實踐的角度全面驗證了波動的運動基礎特性。任何複雜的運動狀態，其實質都是一種特定的波動序列集合，也可稱為【空間】。而對空間運動狀態進行約束的最基本規則，就是π和e。 當我們看到Z=Zmejθ [θ (0, 2π)]這個電學的基本變量模塊，這難道還不足以給我明確的啟示嗎？電學基本的器件變量分為：阻、容、感。在電學的函數表達中，電阻是複函數中的實部分量，電容和電感是虛部分量。如果超脫器件性質的層次而從系統整體的層次看，任何系統就可以用阻性變量、容性變量、以及感性變量來進行解析。特別是系統工程理論的發展，阻、容、感的概念已經成為包容物理學、電子學、系統學的通用變量性質概念。那麼，阻、容、感的概念又與π、e以及複數有什麼關係呢？ 前面已經指出：複數是一種可以表達狀態的數理模型結構。而這個結構的基礎，就是π和e。而在科技實踐中，光有表達狀態的結構還不足以對自然規律進行解析，我們還需要明確狀態變化的趨勢及其性質。這種趨勢的性質，就是虛數模塊前面的±符號。在自然運動中，它們所對應的，就是我們稱之為的感性和容性。因此，我們完全可以得出結論：Z=Zmejθ並不僅僅是電學的基本函數模塊，而是自然規律的一種普世表達。正是電子學的發展，使我們對複數所蘊含的自然規律有了更加深入的認識。這種規律既然可以用通用的數理模型進行表達，說明它並不是特定的電學規律，而是自然界的普遍規律。 當然，很多人還是會懷疑，電學裡的變量函數真的就是自然規律的普世表達嗎？那就讓我們再深入思考一下自然的運動。根據前面的敘述，數理上的實數模型實際上表達的是運動變化中量的作用，例如加減乘除；虛數模型所表達的，則是狀態的作用。這就回答了許多人心中的疑問：實數的相乘容易理解，複數的相乘在現實中表達的是什麼？如果你理解電子學的原理，就能直觀的意識到：複數的相乘就是物質運動狀態的相互【調製modulation】。在這種調製中，不僅有量的變化，也有狀態及趨勢的變化。 一個社會成員必然受到社會文化的調製，人類社會必然受到地球系統的調製，而地球從整體上又受到太陽系的調製、、、。那麼，當我們分析問題的時候，eix難道不是我們必須引入的基本數理模塊嗎？然而在現實的社會生活中，與人類活動相關的數學模型還基本停留在實數模型狀態，最典型的就是現代的經濟模型。我認為，只有把複數形式引入到經濟模型的基本模塊當中，人類的社會文明才能有進一步發展的希望。 π、e、eix不僅是一種數理表達，它代表了人類對自然規律認知的不同層次。
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