《三門問題》的權威答案是如何被幻想出來的？ 特有理 2023-05-21 首先聲明，這裡就不重複介紹什麼是《三門問題》了。 看樣子，我需要做出一個關於《三門問題》的系列，才能用掰開了、揉碎了的方式，使我的想法讓更多的人理解。 自從有關視頻播出後，和以往遇到的許多問題一樣，總是有人看都不看，或只遛了兩眼，就一口咬定：你說的都不對。你跟他們談邏輯，他們跟你講數理；你跟他們講數理，他們跟你說概率；你跟他們說概率，他們跟你談實驗；你跟他們談實驗，他們跟你論專業；你跟他們論專業，他就回到原點，說你什麼都不懂。 經過幾次的視頻製作，我越來越深刻地意識到，思維幻覺是如何把三門問題帶偏的。在這個看似非常簡單的概率問題，其中居然有三重思維幻覺在誤導大眾。 其實，藝萌幫助宣傳的那集視頻早已有了下集。但今天這集更綜合、更深人、也相對簡潔。 那個下集就以後抽空再貼出來吧。 先看第一個幻覺。 權威理論使用的是這樣一張示意圖。對於普通人來講，這張圖確實很直觀，也很有誘導性。要說這是一張可能性的展示，籠統來說沒毛病；但對於嚴謹的數理問題，其缺陷就是沒有定義展示的是什麼可能性。你說是組合的可能性可以，你說是排列的可能性也行，你說是一次選擇面臨的可能性沒錯，你說是多場遊戲可能出現的狀態也沒錯。但具體計算概率時就不能概念不清了，因為你至少要明確要算的是那種可能性的出現概率。在一個不清不楚的可能性概念中，權威理論就把排列組合的可能性，與重複出現的狀態糅合起來，作為了分析的基礎。於是得出了換門就有兩次機會的結論。 但實際情況則是，在嘉賓沒做選擇之前，你說多少可能性、什麼樣的可能性都沒事；可一旦做出了選擇，可能性就被確定性所替代。也就是在每一場遊戲中，只有一種可能性成為現實的確定性。見示意圖：選擇之前的可能性在選擇之後，就定格成每一次遊戲的確定性。之前的那個可能性示意圖，就應該轉換到現在的確定狀態示意圖。《三門問題》的概率，就應該依據確定性所建立的概率框架來計算；而不是依據可能性所導致的可能性來計算。原因就是主持人的開門選擇並非完全隨機。其中具有絕不透露車在哪個門的確定性。計算概率時，就必須考慮選擇之後的狀態確定性，以及遊戲規則導致的概率空間變化的確定性。把前面涉及的邏輯進行歸納就是：當第一次選擇建立起確定性之後，其它可能性出現的機會就是零。再說還有這種可能性、那種可能性，就是脫離了現實狀況的思維幻覺。只要一場遊戲不可能同時存在多種選擇狀態，那麼把多種狀態合併到一次獨立的概率事件中進行計算就是完全錯誤的。 第二個幻覺是第一次選擇剩下的兩個門，一定具有比被選中的那個門多一倍的機會概率。 從正面解釋來說，在遊戲的三個門中，兩個門的相互組合可以有三個。而主持人面對的兩個門只是其中之一。在邏輯角度，籠統地說任意兩個門的有車概率大於一個門的有車概率，這大致沒錯。但前提是，作為進行比較的那一個門，與其它任何門沒有概率相關性才對。如果這個門與其它門同樣具有組合的可能性。那實際比較的就不是兩個門對一個門，而是兩門對兩門。在遊戲中，儘管主持人選擇打開的門並不包含嘉賓第一次選中的門，但這並不等於打開的門與嘉賓選中的門沒有概率相關性。 這裡的思維陷阱在於，語言描述把兩隻羊統稱為羊，因此許多不具備概率專業素養的人，就很容易忽略兩隻羊並不是同一個概率變量。如果我們分別把兩隻羊叫做喜羊羊和懶羊羊，那麼主持人面對的兩門組合就有可能或者有喜羊羊，或者有懶羊羊，或者兩隻都有。且每次請出來的羊只能是其中一隻。這時，嘉賓選中的門就必然與另外一隻羊構成了自然的兩門組合。而且，根據遊戲設定，主持人在任意兩個門中，都肯定能打開一扇有羊的門。這個操作過程所給出的信息只能限定在主持人公開展示了這個必然性的程度。任何超出這個信息邊界的添枝加葉都違背了科學分析的嚴謹原則。因為兩門組合的自然存在性是不隨人為的劃分而界定的。從概率的基本常識來理論，兩個門的信息只有當可以全部展現時，其2/3的概率表現才算真實。那麼僅依靠某一個組合的部分信息釋放，就認定這個組合擁有了2/3中獎機會的結論，就只會依靠幻覺才能得出。 下面這個圖展示了《三門問題》中，兩門組合的完整狀態。在第一次選擇剩下的兩門區域，每一種組合出現的概率都是1/3。在只打開一個門的前提下，誰都無法確認當前的組合是哪種組合。唯一可以確認的，是兩隻羊出現的概率是1/2，已經出現的那隻羊所帶來的有車組合概率是1/3。雖然另一隻沒出現的羊也擁有1/3的有車組合概率，但由於它出現的機會已是1/2，因此所能貢獻的有車概率就是1/6。兩個概率值相加，就得到這兩個門的有車概率應該是1/2。 用組合的方式，以嘉賓選中的那個門為基礎進行分析，其第二次選擇的有車概率也是1/2。 可是在權威解答的不斷強調下，大多數人不僅接受了剩下兩個門具有2/3有車概率的魔幻命題。還把這個錯誤概念當作了信仰來維護。不管你如何解釋主持人並非隨機進行選擇，而且在三個門中，任意兩個門的組合可以有三個，但堅信權威答案的人就認準了兩個門比一個門機會多的這個片面的說辭。他們會以各種方式來描述兩個門是如何比一個門機會多的。為了避免敘述的混亂，這裡就不再羅列那些說法了。 我發現，用正面解析的方式，許多人不是對這個邏輯不理解，就是對那個邏輯亂糾纏。有一個質疑錯誤的捷徑就是用反證法。因為只要能證明一個理論有一個不正確的地方，就等於證明該理論是錯的。儘管還是會有一些人連反證法得出的結論都不認賬，但至少那些不胡攪蠻纏，且有基本邏輯常識的人應該會理性予以思考。 我們知道，三中選二的組合數就等於三。那麼在嘉賓沒有選擇之前，主持人將會面對的兩門組合也就是三個。而在這三個組合中，必定存在這種情況，假設三個門分別是A、B、C，嘉賓選擇了門B，且恰好有車。這種情況下，主持人打開另外個沒車的門就是一種隨機選擇。他或者會打開門A，或者會打開門C。如果主持人打開的是門A，按照權威的理論，門C就應該具有2/3的有車概率；而如果主持人選擇門C，則門A就也應該有2/3的有車概率。很明顯，在這種狀況下，權威理論就形成了一個自相矛盾的悖論。根據概率理論的基本常識，任何一個可能性的集合中，其概率的總和不可能大於一。可是在上述的狀態中，權威理論就導致了同一種狀態下，兩個門有車的概率之和大於一的尷尬結果。然而，即使權威理論造成的悖論如此明顯，許多堅定維護該理論的人就是死不認賬。他們一定是抱定了這個信念：只要自己死不認錯，那錯就一定能安到對方頭上。而且，一旦大家抱團堅定維護權威，誰還管邏輯不邏輯，推理不推理？人多就是正義，聲大就是真理，權威就是不容置疑。 還有一個產生幻覺的地方，就是讓可能性的排列組合動起來。在第一個兩門幻覺的基礎上，權威理論就借坡下驢地把兩個門可能具有的排列組合動態化。你一次節目看不出來有哪些可能性沒關係，你可以多模擬幾次呀！其實用得着模擬嗎？一會車在這個門，一會車在那個門，你把兩個門的可能性不斷重複相加，概率可不是加倍嘛！稍有擴展知識的人都能明白，一個一維的直線與二維的平面一定具有不同的數理特性。儘管直線的垂直運動可以產生二維的平面，但平面所擁有的性質並不能對等到線段上。一次抽獎節目的概率集合是一維狀態。既任何一個概率點上，其可能性狀態只與同一次節目的其它點相關；而與其它場次毫無關聯。做個形象的類比：許多人可能都知道八音盒的原理，就是具有特定凸起排列的滾筒在轉動時，連續撥動具有不同音階的金屬簧片，從而奏出優美的音樂。但是奏出音樂的前提是滾筒必須轉動。我們使用的掃描儀，看到的電影、動畫、視頻都是類似的原理。一個不容置疑的事實是：單一一幀的靜態畫面與按時間順序動態展示的畫面，二者表達的信息是完全不同的。《三門問題》面對的也是相同的邏輯。你單獨一次的節目狀態，非要用重複多次的模擬結果來表示。普通人也就罷了，那麼多專家學者都在想什麼呢？對於吃理工這碗飯的人來說，這應該算是基本常識吧？然而，眼見着那些自認為懂概率、懂數理、懂邏輯的聰明人，就是不認為重複進行的模擬實驗會有什麼不對的地方。你跟他們說重複統計的結果不符合實際情況，他們則對你說，你自己做個模擬實驗就能理解答案的正確了。 不過，可以理解的是，在三重思維幻覺的誘導下，有多少人能保持頭腦清醒呢？ 我覺得，除了反覆講我的道理，也真沒別的辦法！
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