π、e以及复数是什么关系？ 特有理 2015-11-13
π和e是数学和工程应用中最常见的数学符号。它们有一个共同的特点，就是都为无理数。而且，了解数学的人都知道，π和e之间有着神秘且微妙的关系，即有：【eix=cos(x) + i sin(x)】 (三角函数中x与π直接相关)，或有【eiπ+1=0】这个科学界俗称 “欧拉的宝石” 的神奇表达。进一步，在现代科技的应用中，eix是工程数学的模型基础。其中最经典及为人熟知的，就是电学的基本变量元素：阻抗、感抗、和容抗，【Z=Zmejθ [θ (0, 2π)]】。 我曾经提到过应用电子学原理解决其它系统问题包括社会经济问题的想法，但是大家都几乎一笑了之，这个想法也太“民科”啦。不过，如果你仔细思考过π、e以及复数的关系，也许会正视这样一个思路。 π是圆周率，也就是圆的周长与直径的比率。这似乎已经是小学的常识。但有多少人思考过其背后的含义？为什么π是一个无理数？它与现代的科学现象有什么关系，比如有名的《测不准原理》？异想天开不是什么错误，但科学思维还是需要扎实的逻辑基础。那么我们先看看人类思维层次与科技发展的对应。 数字，最初是一个量的概念，是对人所感知的现象的量化表达。比如大小、多少。实数的思维层次，除了量化本身，还有了相对性的概念。也就是除了整数，还有了分数和小数。对应了加减乘除、乘方开方。几何原理的发展，催生出了三角函数。伴随着非线性数理的研究和数学应用的发展，虚数被引入到数学模型当中。 我不得不感叹当时西方人灵性的爆发！是何原因不得而知，但从实数到虚数的跨越，才使人类真正走到了现代的科技文明。为什么？一方面，虚数在现代科技中是不可缺少的数学变量，但是大多数人只知其然而不知所以然。【eix=cos(x) + i sin(x)】和【eiπ+1=0】难道只是数学上的巧合。在[1 *( -1)]= i这个虚数因子的基本表达中，它所包含的自然规律在是什么？ 我们知道，圆周上特定一点随圆转动的坐标轨迹就是余弦曲线。因此这个三角函数曲线就是圆周率在动态圆中的一种表达。然而在科技实践中，我们发现所有的自然曲线，包括电信号，都可以用三角函数序列表达。那也就是说：任何动态曲线中都有圆周率的作用，任何事物的运动都受到圆周率π的支配。 在研究运动规律的数学模型中，人们离不开参照的原点和参照系。但是，复杂的事物具有多种参照系，其根本也就是多种变量中基本动态圆的运动方向不同。坐标系的转换虽然不难，但是动态坐标系的转换就极为复杂了。虚数i的概念，使得数学模型超出了坐标原点的限制，给出了一个双向包容的动态基点。因此，复数应运而生。复数a+bi，也可称为矢量，实际上表达了事物运动的状态和趋势。 尽管e在数理体系中来源于极限，从【eix=cos(x) + i sin(x)】到【eiπ+1=0】我们已经能够感觉到，e也是事物运动的一种极限表达。实际上，这就是特定圆周运动的状态边界。这里，我们不妨回顾一下指数的概念。指数模型既包含了简单的量的概念，当指数成为一个广义的变量时，指数实际上也代表了一种量的变化状态。【状态】的概念是我们理解指数、虚数、以及复数的关键。从状态的角度，虚数代表了状态可能的范围（-1，1），复数则代表了自然事物运动的状态和趋势。例如eix，它是归一形式下，复数的指数表达方式。那么，eix=cos(x) + i sin(x)所展现的，就是无论X如何变化，cos(x) + i sin(x)这个特定的复三角函数所对应的指数底数，是一个等于e的常数。这个常数的意义从（ex）’= ex可以分析出，ex是自然界唯一一个保持在任意一点都具有与自身变化趋势相同的函数，因为一个数的倒数在本质上表达了函数曲线在对应点的动态变化趋势。 从泰勒级数ex=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+...，我们又可以看出，e是一个特定运动模式的集合边界。按照这个思路，进步审视傅里叶变换f(x)=a0+∑[ancos(nπx/L)+bnsin(nπx/L)],以及复频域的拉普拉斯变换F(s)=∫e-stf(t)dt，我们终于看到：e是一切数理函数的基石，任何函数都可以用ex的模块进行构建。当然，这里边始终隐藏着π的身影。 以上谈及的e和π，主要是在数理层面。这只不过是自然规律在人类意念上的一个表达。当我们面对现实世界的各种自然变化和物质的运动，我们又会发现，自然运动的基本状态是波。而任何运动的波，又遵从三角函数的表达模式。物理学、电子学、系统工程学都从科技实践的角度全面验证了波动的运动基础特性。任何复杂的运动状态，其实质都是一种特定的波动序列集合，也可称为【空间】。而对空间运动状态进行约束的最基本规则，就是π和e。 当我们看到Z=Zmejθ [θ (0, 2π)]这个电学的基本变量模块，这难道还不足以给我明确的启示吗？电学基本的器件变量分为：阻、容、感。在电学的函数表达中，电阻是复函数中的实部分量，电容和电感是虚部分量。如果超脱器件性质的层次而从系统整体的层次看，任何系统就可以用阻性变量、容性变量、以及感性变量来进行解析。特别是系统工程理论的发展，阻、容、感的概念已经成为包容物理学、电子学、系统学的通用变量性质概念。那么，阻、容、感的概念又与π、e以及复数有什么关系呢？ 前面已经指出：复数是一种可以表达状态的数理模型结构。而这个结构的基础，就是π和e。而在科技实践中，光有表达状态的结构还不足以对自然规律进行解析，我们还需要明确状态变化的趋势及其性质。这种趋势的性质，就是虚数模块前面的±符号。在自然运动中，它们所对应的，就是我们称之为的感性和容性。因此，我们完全可以得出结论：Z=Zmejθ并不仅仅是电学的基本函数模块，而是自然规律的一种普世表达。正是电子学的发展，使我们对复数所蕴含的自然规律有了更加深入的认识。这种规律既然可以用通用的数理模型进行表达，说明它并不是特定的电学规律，而是自然界的普遍规律。 当然，很多人还是会怀疑，电学里的变量函数真的就是自然规律的普世表达吗？那就让我们再深入思考一下自然的运动。根据前面的叙述，数理上的实数模型实际上表达的是运动变化中量的作用，例如加减乘除；虚数模型所表达的，则是状态的作用。这就回答了许多人心中的疑问：实数的相乘容易理解，复数的相乘在现实中表达的是什么？如果你理解电子学的原理，就能直观的意识到：复数的相乘就是物质运动状态的相互【调制modulation】。在这种调制中，不仅有量的变化，也有状态及趋势的变化。 一个社会成员必然受到社会文化的调制，人类社会必然受到地球系统的调制，而地球从整体上又受到太阳系的调制、、、。那么，当我们分析问题的时候，eix难道不是我们必须引入的基本数理模块吗？然而在现实的社会生活中，与人类活动相关的数学模型还基本停留在实数模型状态，最典型的就是现代的经济模型。我认为，只有把复数形式引入到经济模型的基本模块当中，人类的社会文明才能有进一步发展的希望。 π、e、eix不仅是一种数理表达，它代表了人类对自然规律认知的不同层次。
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