真是好玩（积、和相互推理）智力题的矩阵分析法

特有理

2013-3-29

才女真是好玩和紫荆棘鸟最近各出了一道相互推理的智力题。真是好玩的题要分别从两个数的积与和的数理逻辑关系推导出具体的数值；紫荆棘鸟的题是要从月份和日子两个变量的逻辑信息中推理出具体的生日。详见昨日紫荆棘鸟的概括性大作《说说真是好玩那道逻辑推理题》，我就偷个懒不再翻找她们的原题的链接了，都是跟帖找起来太麻烦。直接从紫鸟的帖子里搬过来如下：

真是好玩的原题：

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一天，王先生拿出一套卡片，上写从2到99个数字，每张一个数字。抽出两张。相加之后，把和告诉张先生，把积告诉李先生。当然，张和李都不知道对方的数字是什么。于是有如下一段对话：

  张：我不知道那两个数字是什么，但是我知道你也不知道。
  李：我本来不知道，你这么一说我就知道了。
  张：那我也知道了。

  问：那两个数字是什么？
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紫荆棘鸟的原题：

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小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M月N日，2人都知道张老师的生日是下列10组中的一天，张老师把M值告诉了小明，把N值告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是那一天吗？
3月4日 3月5日 3月8日
6月4日 6月7日
9月1日 9月5日
12月1日 12月2日 12月8日
小明说：我不知道的，但是我也知道小强不知道。
小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了。
小明说：哦，那我也知道了。
请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天？
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要说紫鸟那道老师生日的题堪称此类问题的经典模式。用成语形容就是“抽丝剥茧”，从逻辑推理角度就是通过不完整的信息去排除确定不是的元素，从而最终找到符合信息洽和的唯一结果。而好玩的题由于范围较大，组合太多还没做就感到巨大压力。今儿借着紫鸟的启发及长周末的闲暇，对好玩的题认真分析了一下，觉得用矩阵法很直观。特此抛砖引玉与大家探讨一下。

紫鸟的文章里已经说的很明白：知和者（张三）只要能找到两个素数相加的组合，就能确认知积者（李四）有可能找到唯一答案。在此我要补充的是：2与素数的和同样归于此类，详见下面18X19矩阵中深色标注的数字。因此，如果张三能够确认李四也无法确定具体的两个数字，说明此和的数字组合完全不包括2与素数及素数与素数的相加组合。例如矩阵中斜线方向的11，17，23。其它如7，8，9，10，12，13，14，18 。。。30的相加组合都不能确认李四不知道。

那么李四在得到张三的信息后，必须能够排除两数相乘的N-1个组合才能得到唯一的确切答案。以紫鸟的（4，13）为例：假如李四的积是52，那么只有两种组合满足要求，4X13和2X26。反推到和数则和有17和28两种可能。从矩阵中可看到：17不包括2与素数及素数与素数的相加组合；而28则含有所见的11+17的组合。因此，如果张三确定李四也不知道，则张三的和必定为17。由此可以断定52是由4X13两个数得来。到此，李四已知道答案。

张三根据李四知道的信息，只要查看矩阵表格中7种数字乘积的组合反演到加法后那些值是否落入深色区域就可判断，当然此表必须扩展才能全部看到。张三若要得到答案，必须在7个组合中有唯一一个组合没落入深色区域才行。

但是，如果把区域扩展，还会不会有其它的数组也符合这三层的数理逻辑关系呢？难到是不难，时间的花费应该是指数增长的吧。

局部矩阵：