戴榕菁

自著名數學家愛米諾伊德在1918年提出她的兩個著名的關於連續李群中的變分不變量的定理以來，它們一直被譽為揭示自然界的深層對稱性的數學定理[1]，而其中的第一定理更被認為是對所有已知的守恆律的正確性的嚴格證明。諾伊德定理確實在物理世界具有相當的適用性，而這一適用性也確實反映了自然的一種深層的特性，這種深層特性或許超出了人們用簡單的對稱性對之進行的描述，這一點我以後有機會可能會進一步討論，但本文要指出的是諾伊德第一定理並非是對已知的守恆律的正確性的嚴格證明，而那種聲稱諾伊德定理的具有這種功效的說法是一種哲學上的謬誤。

我們知道，包括物理學，數學在內的所有學科都可能會出現各種錯誤，也都會經歷糾正錯誤和不斷發展的過程。但是，物理學和數學的發展過程中的一個明顯的區別為：物理學本身的發展在很大程度上會受到所處時代的整體技術和知識水平的局限，而從原則上來說，認真仔細的數學家的推導和論證在其所設定的前提條件下是可以不受歷史條件約束地做到完全沒有邏輯錯誤的，儘管具體的數學家在具體的操作過程中仍可能出現錯誤，而且所出現的錯誤也仍有可能被社會忽略因而長期存在。

但是，數學自身的邏輯嚴格性並不等於具體的數學體系在物理世界中的適用性，而對於具體的數學體系在物理世界的適用性的認識實際上屬於哲學的認識，比如當年愛因斯坦認為歐氏幾何不適用於他的四維時空因而需要採用黎曼幾何就是一種自然哲學的判斷；但遺憾的是，人們常把這種修正看作是單純的科學上的進步或數學研究領域的拓展。很顯然，這種誤解的一個基本特點便是對於數學與物理關係的錯誤解讀，而這種錯誤的解讀一旦經過錯誤的社會哲學的裝飾後，便有可能成為長期誤導社會的錯誤的哲學理論。一旦錯誤的哲學理論形成之後，就不但對學界人士造成思想的禁錮，更會作為一個社會的力量阻止任何與相關的錯誤哲學相牴觸的真理的發展。

有關諾伊德第一定理作為物理守恆律的嚴格證明的錯誤論斷就是上述的對數學與物理學之間的關係的錯誤的哲學認識的一個典型的例子，而這個被愛因斯坦和希爾伯特等頂級的物理及數學家們加持的定理在經過了哲學性的錯誤加工後便在過去一百多年裡也成為禁錮人們對已知的能量關係進行進一步探索的一個重要依據。

1. 諾伊德定理

諾伊德的兩個定理[2]的原始敘述為：

定理一：如果積分I對具有ρ個參數的有限連續（李）群Gρ為不變量，那麼ρ個線性獨立的拉格朗日表達式的組合就變成了散度；反之亦然：如果上述的結論成立，我們也得到I對Gρ為不變量的結論。這個定理甚至在有無窮多個參數的極限情況下也成立。

【英譯原文：If the integral I is invariant with respect to a Gρ, thenρlinearly independent combinations of the Lagrange expressions become divergences — and from this, conversely, invariance of I with respect to a Gρ will follow. The theorem holds good even in the limiting case of infinitely many parameters.】

定理二：如果積分I對由ρ個連續函數定義的無限連續（李）群G_∞ρ為不變量，其中任意函數的σ階導數存在，那麼就存在拉格朗日表達式及其直到σ的導數之間的ρ個恆等關係式。反之亦然。

【英譯原文：If the integral I is invariant with respect to a G_∞ρ in which the arbitrary functions occur up to the σ-th derivative, then there subsist ρ identity relationships between the Lagrange expressions and their derivatives up to the σ-th order. In this case also, the converse holds.】

這裡先對諾伊德的原文做兩點澄清。第一，她並沒有明確聲稱她證明了物理學的守恆律，她只是在證明她的第一定理時指出滿足她的定理條件的解在特定條件被稱為物理學上的守恆律（Passing over to the variations problem, i.e., putting ψi = 0, (13) goes over into the equation DivB⁽¹⁾=0 , . . . ,DivB^{(ρ )} = 0, often referred to as “laws of conservation.”）。無論諾伊德當時心裡是怎麼想的，這一論述本身並不等價於聲稱她證明了物理學的守恆律，她完全可以是基於她對於物理學的守恆量所遵循的數學方程及其解的形式的了解而指出她所證明的結果與物理學上的守恆量所遵守的數學方程及其解的形式相同。

第二，諾伊德的論文中很重要的一點是指出希爾伯特所做的廣義相對論不滿足能量守恆律的結論是正確的，這是一些作者在宣傳諾伊德定理對於能量守恆律的重要性時常忽略的。後來人們認為廣義相對論之所以會違背能量守恆是因為宇宙膨脹的原因，但在諾伊德寫那篇文章的時候人們還不具備宇宙膨脹的概念，因此她和希爾伯特指出的是廣義相對論自身所具有的違背能量守恆律的數學特性。

澄清這兩點的意義在於表明本文接下來所要批判的將諾伊德定理說成是對包括能量守恆在內的物理守恆律的嚴格證明的哲學錯誤不能歸咎於諾伊德或希爾伯特，因為至少從諾伊德在證明她的兩個定理的論文上並沒有做這樣的明確的聲索，而她與希爾伯特也明確知道在當時已被認為是正確反映自然特徵的廣義相對論就不符合能量守恆，而且是在沒有知道造成該現象的任何物理原因的前提下做出這樣的判斷的 --- 這意味着她們並沒有認為諾伊德單從數學的推導就證明了能量一定守恆。

2. 聲稱諾定理證明物理守恆律的人們所犯的哲學錯誤

如我在前面指出的，與科學對時代發展的高度依賴不同，從原則上來說，數學結論的正確性往往在它們所針對的前提條件下是可以超越歷史條件而嚴格成立的，而物理學或其它科學上的某些數學結論的正確性之所以會出現問題，雖然有可能是由於數學推導本身的瑕疵，更可能的是對於相關數學結論的應用條件的理解出現了問題，嚴格說來這種數學應用所出現的問題既不屬於數學的範疇也不是相關學科內部的知識的問題，而是如何將數學與相關學科匹配的哲學問題。

以諾伊德定理來說，認為那些定理嚴格證明了物理學上的守恆律這一點本身在哲學上就是荒唐的。遺憾的是這種荒唐已經主導的科學界一百多年，由此可以看出今天主流學界的哲學思考水平有多差強人意。

這裡所說的哲學上的荒唐是相當明顯的：數學的證明需要具體的條件，而單純的數學是不可能給出具體的物理條件的。兩千多年前在古希臘曾有過一場關於自然的數學屬性的爭辯。柏拉圖與之前的畢達哥拉斯認為自然的物質是可以由數字和幾何圖形產生的，而柏拉圖的學生被譽為西方科學之父的亞里士多德則回應到：我怎麼看不出如何可以由數字和圖形製造出物質實體來？當然，他們之間的爭辯並沒有如很多科學唯物論者認為的那樣早已有了定論，因為它涉及到宇宙更加深層的數學屬性問題。但是，諾伊德定理顯然不是柏拉圖與亞里士多德關於宇宙的根本的數學屬性的爭論的延續，從諾伊德定理的證明過程可以看出那是在具有相當大的約束條件下對於李群的不動變換的條件的證明而已。考慮到在諾伊德證明她的定理之前，人類已經有了從費馬，到拉格朗日，歐拉，哈密爾頓等人運用與諾伊德定理所涉及的變分法相類似的方法處理自然現象的數百年的歷史，就物理學的守恆律與諾伊德定理的結論在很大程度上的吻合這一點來說，與其說是印證了柏拉圖和畢達哥拉斯對於數學元素在自然中的地位的正確性，恐怕還不如說諾伊德的工作在很大程度上是對於前人在物理學的領域所採用的變分方法的一種反思與拓廣。

當然，從另一角度來說，我們也完全可以假設諾伊德根本不了解之前人們在物理學領域所進行的變分分析的成果，而是僅從數學的角度推導出了物理學在一定條件下必須遵守的守恆律的形式，就這一點來說它確實在相當程度上反映了自然的數學本質，因而認為那是在柏拉圖與亞里士多德的論戰上為柏拉圖與畢達哥拉斯贏得了一分的話也是完全合理的（我可能會專門寫文討論這個問題）。但是，正如大家將要本文後面的例子中看到的那樣，以此來把諾伊德的定理說成是嚴格地證明了物理學的守恆律卻是危險的。這裡的問題關鍵是，如果沒有之前數百年的物理學領域裡的相關實踐，即便諾伊德證明了她的定理，她也無法知道那與物理學的守恆律有什麼關係，因為抽象的數學符號本身並不具有物理的意義。

更重要的是，數學的證明本身無法決定物理的條件而只能是反映物理條件對於自然的作用。所以，除非是在柏拉圖與亞里士多德所爭論的數字及圖形是否能產生物質世界這樣的層級上能取得數學證明的突破，任何具體的數學定理的證明都不應該也不能被看成是對於自然定律的證明。以諾伊德定理證明過程中所涉及的李代數或現代物理所推崇的任何一中基於群論的理論來說，它們所依賴的前提條件是相關群中的基本變換，而那些變換是由各種物理過程的因果關系所給出的，它們本身並不能決定物理學的因果條件；相應地，如果某個群論應用中的變換沒有正確或全面地反映自然中的物理機制，則該理論無法正確表達相關的物理過程。數學本身最多只能告訴人們在對自然機制的抽象過程中可能存在的邏輯錯誤或偏失，而無法在完全脫離了物理學背景的前提下創造出一個物理定律來。

3. 諾伊德定理的局限性

其實，從諾伊德的那篇論文的陳述中我們就可以感受到數學家心目中的一般性與物理世界的一般之間的差別。從前面的諾伊德文章的陳述中我們可以看到她非常在意她的解在具有任意階導數的一般情形下也能成立這一點。這種情節是不難理解的，因為對於任意階導數都成立的解從表達到推導都要比低階解複雜很多。但是，在現實世界裡是我們所面對的可能是根本不具備任何一階導數的狀況。在過去一年裡，我曾指出了自然界中的三種違背能量守恆律的現象，其中我最先指出的由普朗克公式決定的在紅移和藍移過程中出現的能量不守恆就屬於根本不具備任何階導數的隨機狀況，這個過程甚至無法由對於對稱性有相當要求的李群來表達。這是因為不同物體的運動之間的相關性在自然界屬於是極少數的狀況，絕大多數的物體的運動之間並不具備相關性，因此當一束光線（比如因發熱而產生的紅外線）從某物體射出時，它會打到哪個物體是一個相當隨機的事件，它可能會因為億分之一秒的差別而錯過某個物體或因億分之一的巧合正好打在某物體上，而這之前與之後的狀態是完全不連續的。因此，這種現象完全無法用諾伊德定理來描述。

另外，諾伊德定理所設定的李群需要有一個恆等變換，在這個恆等變換的基礎上按照李代數的思路用無限小的變換的累積來達到宏觀上的變換。但是，我所設計的ETDPMS體系根本就不存在恆等變換。那是一個單一變量θ的變換群，其變換由它所受的重力矩Г= 24ρgl²（1 - ）決定，其中U(θ) = 48 + sin²2θ。由簡單的結構靜力學分析很容易看出該體系在任何角度下都不可能處於靜止，因此它的轉速將不斷地增加，從而不具備恆等變換，因此也不滿足諾伊德定理的條件。

而對諾伊德定理最具有挑戰的一個打破能量守恆律的例子便是我在過去一年裡進行過深入探討的那個著名的DDWFTTW運動車類。雖然目前沒有人給出過任何一部DDWFTTW車子的運動過程的動力解析解，也沒有見到什麼人對任何一輛DDWFTTW車子做過數值分析，根據我們對於宏觀機械系統的常識可以得知我們一定可以通過實驗的或數值的或解析近似的方法來確定任意一部DDWFTTW車子的動力解的。因此，如果我們用一個李群或其它什麼群來代表一部DDWFTTW車子的運動的話，我們是一定可以找到滿足群論要求的變換的。不僅如此，當一部DDWFTTW車子在逆風運動中達到勻速時，該群的變換還一定是恆等變換，因為那時整個系統的狀態會維持不變。這時不但系統的總能量不變，而且系統的動能和勢能都各自保持不變。

但是，一台做勻速逆風運動的DDWFTTW車子顯然不符合能量守恆，因為它在沒有額外的能量供給的前提下不斷地向周圍環境提供因摩擦而產生的熱能，從而成為一台名副其實的免費能量製造機，不但違反熱力學第二定律，也徹底打破作為熱力學第一定律的能量守恆定律。與紅藍移以及ETDPMS明顯不符合諾伊德定理所要求的條件不同，DDWFTTW車子的這種貌似完全符合諾伊德定理條件卻根本不符合諾伊德定理結論的現象當然對諾伊德定理的合理性構成極大的威脅。不過，如果我們仔細審查一下諾伊德定理的證明過程，也可以發現DDWFTTW車子違反了一個在諾伊德定理中沒有明確表達出來卻在證明過程用到的條件，那就是相應的李群Gρ中隨自變量x而變的因變量u及其導數必須在邊界上的積分取零值。這個條件是諾伊德定理所必須滿足的李群的條件，而DDWFTTW車子的運動顯然不滿足這個條件，因為在DDWFTTW車子的運動過程中，系統不間斷地向周圍環境釋放熱能，也就是說車子本身是一個熱源或更確切地說車子內部存在着一個不需要外部提供能量的熱源，而內部存在能量源的系統的散度積分不等於零，因此根據散度定理（即高斯定理）我們可知，該系統中的因變量在邊界上的積分也不可能等於零，因而無法滿足諾伊德定理證明過程中所假定的條件。

我在上面舉出的三個例子中只是指出它們明顯不滿足諾伊德定理的某些條件因而無法根據諾伊德定理來證明它們必須滿足能量守恆，但這並不等於說這三個系統中不存在其它的導致能量不守恆的因素，只是對於本文反駁聲稱諾伊德定理嚴格證明能量守恆的偽哲學論調來說，上面指出的對於諾伊德定理所要求的條件的不滿足就已經足夠了。

這裡我們見證了物理世界中存在着違背了數學家們所設定的被他們認為是反映物理世界特性的天衣無縫的條件的狀況，而這一點本身不但表明人們即便是以有着幾個世紀的實踐經驗為依據的想象力在自然面前仍然可以是漏洞百出的，更說明即便是已被實踐印證了幾個世紀的物理定律仍然可以是被特殊的條件打破的，也再一次表明人們不可能僅憑數學推導來創造出物理學定律的。

4. 對於諾伊德定理之表達的修正之偽哲學效果

除非你象本文這樣去找到諾伊德的原文，如果今天你上網去查詢諾伊德定理，你所得到敘述與諾伊德的原初的敘述會有很大的不同。下面是今天你能查找到的關於諾伊德定理的一種典型敘述[3]：

如果一個系統具有一個連續對稱的變量，那麼就有相應的量值在時間上是守恆的。

【英文：If a system has a continuous symmetry property, then there are corresponding quantities whose values are conserved in time.】

或稍微複雜點的：

對於由局部作用產生的每個可微對稱性，都有一個守恆的流。

【英文：To every differentiable symmetry generated by local actions there corresponds a conserved current.】

雖然這些對於諾伊德定理的現代化敘述的本意應該是將原本不那麼通俗易懂的諾伊德定理由專業數學人士進行消化理解後用通俗易懂的方式介紹給大眾。但問題是，如前所述，諾伊德在她的文章中並沒有明確地表明她的定理證明了物理學中的守恆律，只是指出物理學中的守恆律所存在的形式與她的定理的結論形式一致而已。而這些被專業人士翻譯過來的通俗易懂的版本則由於略去了諾伊德定理所需要的各種前提條件，被坐實為了普適的自然法則，而成為人們把包括能量守恆在內的守恆律視為絕不可能被違背的法條的重要依據。

這再一次凸顯了哲學對於正確的學術思維的重要性。如果學術界的專業人士能具備一些最基本的正確的哲學思維的話，這種明顯不符合基本自然邏輯的謬誤就不會在長達一個多世紀的時間裡支配着世界主流學術界的思維，而且直到今天也沒有改變的跡象。幾天前，中國的一位網紅還在YouTube中信誓旦旦地說一切聲稱違背能量守恆的都是騙子，儘管他自己在視頻中採用了被魯迅在“搗鬼心傳”中指出的那種含糊其辭顧左右而言它的典型的欺騙手法。

5. 宏觀與微觀的區別

諾伊德定理的作用被世人誇大性的誤解也有其特殊的自然與歷史的原因。諾伊德定理產生的時間正是相對論和量子力學開始在物理學界占主導地位並開始步入一般的大眾文化的時期，而諾伊德定理不但可以在沒有任何物理依據的情況下，僅憑數學的分析就正確地指出廣義相對論不符合能量守恆，而且在量子微觀的世界的適用性也超出了在宏觀世界的適用性。我前面給出的包括紅藍移在內的三個例子其實都是宏觀世界裡無法滿足諾伊德定理的狀況；但是，在微觀世界裡，如同群論在粒子物理中取得巨大成功一樣，諾伊德定理的條件看來一直被很好地滿足着。這是因為在微觀粒子的世界裡，任何加諸於粒子上的作用力都可表達為具有漂亮的數學光滑性的某種勢能，因此微觀粒子的世界裡的能量除了動能就是勢能，從而使得李群也罷其它什麼群也罷的條件都能很好地被滿足。

這裡人們或許會提出這樣一個問題：宏觀世界是由微觀世界組成的，如果能量在微觀世界是守恆的，怎麼會在宏觀世界不守恆呢？

對於這個問題的回答涉及到三個層次的因素。首先，目前的物理學界對於如何從量子微觀過渡到宏觀還沒有一個統一的確定的認識，對於即便是比較被接受的所謂退相干作用的解釋也都還沒有取得一致；最近我甚至看到有物理學界人士認為自然的本質不是微觀的而是宏觀的，而迄今為止人們所得到的微觀世界的知識都是某些未知的宏觀特性在微觀的投射而已。因此，認為可以從微觀的守恆直接推論出宏觀的守恆這種看法目前由於缺乏科學的依據而無法在哲學上被確認。以諾伊德定理來說，微觀世界裡的變換對定理條件的滿足是有着各種沒有明確直說的隱含的前提的，當微觀粒子通過退相干而構成宏觀現象時，這些隱含的條件就有可能被打破。比如，諾伊德聲稱她的定理滿足無限多參數的條件，但是我們知道無限大是個複雜的概念，很多事情從有限轉為無限時會發生違反直覺的變化。

其次，過去幾十年裡關於非線性複雜系統的研究已經確立了這樣一種基於科學理論的哲學共識：複雜系統可以產生底層系統中不具備的特性來。以社會系統為例，兩個人能夠做到很多一個人無法做到的事來。因此，從數學上來說，我們並不能否認由大量簡單系統構成的非線性複雜系統會產生離散的簡單系統所不具備的能量的可能性。

第三，嚴格地說，諾伊德定理在微觀上的成立也是近似的，因為迄今為止的微觀量子力學還沒有把我在過去一年裡反覆討論的由紅藍移造成的能量不守恆考慮進去。我也還沒有在這方面繼續追下去。一方面因為我還有很多其它需要考慮的議題，而在我目前的非常艱苦生活條件下我必須集中能量重點做一些事；另一方面，直覺地我感到紅藍移造成的能量誤差在微觀世界裡可能會存在於量子測不準的範圍內。不過，既然已知現有的理論在微觀是一種近似，我們就無法完全排除當大量微觀聚集在一起構成宏觀時，相應的誤差不會宏觀地顯現出來。

6.結束語

宏觀能量的不守恆已經是板上釘釘的現實，而諾伊德定理根本無法被用來否定宏觀能量不守恆的可能性。前不久在一個網上物理討論中的一位網友指出的，從來沒有人嚴格證明過能量必須守恆，只是焦耳自己當初人為地把不同形式的能量湊在一起聲稱它們可以相互轉換。他的話有些過激，但他指出的從未有人嚴格證明過能量必須守恆這一點是事實。。。。。。

[1] N. Beyers, E. Noether's discovery of the deep connection between symmetries and conservation laws, Israel mathematical conference proceedings Vol. 12 1999, pp. 67-81

[2] E. Noether, “Invariante Variationsprobleme”. Nachr. d. K¨onig. Gesellsch. d. Wiss. zu G¨ottingen, Math-phys. Klasse, 235–257 (1918), tr. M. A. Tavel, Transport Theory and Statistical Physics, 1 (3), 183–207 (1971).

[3] E.g. Wikipedia (2022) “Noether’s theorem”. https://en.wikipedia.org/wiki/Noether%27s_theorem

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最近因為體力問題一直未能開始將此文改寫為英文，不過這過程中也得到了一些重要的信息（感謝上帝帶領我的每一步）。。。。比如，寫完此文後我就直覺到薛定諤方程的線性特徵是一個問題，結果Sabine今天的視頻就回答了這個疑問，她也認為薛定諤方程的線性特徵是一個問題，不過她最後提到，退相干的過程是非線性的，這或許可以彌補薛定諤方程的線性特徵的不足。。。。

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上面這個視頻可幫助提醒：諾伊德定理其實只是亥姆霍茲定理的子集。。。