戴榕菁

前文“很遺憾，看來E=mc2錯了。。。。”指出愛因斯坦的著名的質量-能量關係因為必然涉及錯誤的洛倫茲動鍾變慢或動尺變短所以一定是錯的。這裡我們在不涉及洛倫茲假設的前提下來推導一下質量-能量關係。

設有一個質量為m的物體靜止在坐標系(x, y, z)中，另有坐標系 (ξ, η, ζ) 以勻速度為v 的 沿x 軸相對於(x, y, z)進行平移運動。這時我們從物體m沿x 軸向兩個相反的方向同時射出兩束光線，由動量守恆我們知道物體m將在(x, y, z)中保持靜止不同。

假設每一束光線在(x, y, z)中的能量為L/2，那麼由多普勒效應我們知道在(ξ, η, ζ)這兩束光線的能量將分別為{c/(c-v)}L/2及{c/(c-+v)}L/2。

假設在發射光線之前，(x, y, z)中的總能量為E₀，(ξ, η, ζ) 中m的動能為K₀，m的總能量為H₀；發射光線之後，(x, y, z)中的總能量為E₁，(ξ, η, ζ) 中m的動能為K₁，系統的總能量為H₁。那麼由能量守恆我們得到：

E₀ = E₁ + L/2 + L/2 = E₁ + L  (1)

H₀ = H₁ + {c/(c-v)}L/2 + {c/(c+v)}L/2 = H₁ + c²L/(c² – v²) (2)

因為沿x軸的運動速度v只影響m的動能而不影響m的勢能，所以物體m動能變化應該為：

K₀ – K₁ = H₀ – E₀ – (H₁ – E₁) = c²L/(c² – v²) – L = v²(L/c²)/(1-v²/c²)  (3)

將1/(1-v²/c²)進行泰勒展開，略去高階項，我們得到：

K₀ – K₁ = v²(L/c²) (4)

因為在整個過程中速度v保持不變，所以，

K₀ – K₁ = Δm v²/2  (5)

其中Δm是發射光線後物體所損失的質量。由(4)式和(5)式我們得到：

Δm = 2L / c²  (6)

或許有人會對上面的泰勒展開提出質疑：“你略去了高階項，因此是不精確的。”

不好意思，以上的推導除了沒有用到洛倫茲變換之外，完全是按照愛因斯坦的思路【】來進行的。愛因斯坦在推導他著名的質量-能量關係時用的就是泰勒展開，並略去了下面的高階項：

3v⁴/8c⁴ + 5v⁶/16c⁶ + ……

如果有人會因為一直以為是放之四海而皆準的精確無比的愛因斯坦的質量-能量關係其實也只是在近似條件下推出的感到傷感的話，千萬別這樣，因為今天的現代理論物理中你恐怕很少能找到不是近似的解。

將(6)式改寫為人們所熟悉的形式便是：

m = 2E/ c²  (6a)

或

E = mc²/2  (6b)

據稱發現電子的湯姆遜和搞出橢球體的海維賽德及長期與愛因斯坦進行辯論的亞伯拉罕都在龐加萊和愛因斯坦之前，在沒有用到洛倫茲變換的前提下得出【[ii]】：

E = 4mc²/3  (7)

我一直查不到他們的原文，不知他們是怎麼得出來的。

但是，不管質量-能量關係應該是我上面推出的(6b)式還是其他人推出的(7)式，我們都無法回答為什麼NIST【[iii]】居然能高精度地證明基於錯誤的洛倫茲變換得出的錯誤的E = mc²。。。。

再重複一遍我在“很遺憾，看來E=mc2錯了。。。。”一文中指出的：

與只有建立在對於極少數的專家的信任基礎之上的實驗結果相比，我更相信放之四海而皆準並且是所有的人都可以直接運用和驗證的邏輯！！！

我曾直接否認NIST對於重力影響時間的所謂高精度的實驗驗證結果【[iv]】的意義，因為那是典型的混淆時間與在時間中進行的物理過程的例子。按照那個只有他們才有條件能做得出來的極高精度的實驗，如果我在月球上重複該實驗，結果應該顯示月球上的時間比地球上快；但是如果我們帶一個傳統的擺鐘去地球，得出的結果肯定是月球上的時間比地球上慢。所以，如亞里士多德在兩千多年前就正確地指出的：時間不同於在時間中進行的運動。重力影響的只是具體的運動過程而不是時間本身，假如NIST的重力時間效應實驗結果沒有人為的錯誤，那麼它所證明的也不是重力對時間的影響，而只是重力對具體物理過程的速度的影響而已！

[] Einstein, A. (1905a). “Does the Inertia of a Body Depend Upon Its Energy-content?”. Retrieved from: https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/e_mc2.pdf

[[ii]] Ricker，HH. “The Origin of the Equation E = mc2”. Retrieved from: http://www.dankalia.com/delloro/gravity-cone/The%20Origin%20of%20the%20Equation%20E%20=%20mc2.htm

[[iii]] NIST, “Einstein Was Right (Again): Experiments Confirmthat E= mc²”, National Institute of Standards and Technology, U.S. Department of Commers. https://www.nist.gov/news-events/news/2005/12/einstein-was-right-again-experiments-confirm-e-mc2

[[iv]] C. W. Chou, et al (2010). “Optical Clocks and Relativity”. 24 SEPTEMBER 2010 VOL 329 SCIENCE. Retrieved from: http://webs.ftmc.uam.es/juancarlos.cuevas/Teaching/Chou-Hume-Rosenband-Wineland-Science2010.pdf