退休基金投資的時間效應

牛北村

拙作《退休究竟需要多少錢》（以後簡稱《退》文）提出了三個估計退休所需資產的簡單公式，結果引來不同解讀與討論。有人認為退休需要百萬美金是天方夜譚，不可能實現。也有人認為估算退休費用不必要，車到山前必有路，大不了就採取老美“die broke”的方針。還有人將估算退休費用看作是金融顧問（financial advisors）企圖騙取大眾錢財之招數。

更有理工專業人士，高瞻遠矚地將退休費用的估算問題歸類為求解複雜的數學物理方程之重任，諸如 coupled nonlinear, stochastic, delayed partial integro-differential equations, with uncertain initial and boundary conditions and subject to inequality constrains 之類的東東，讓人感到好有學問喲！佩服之餘，突然發現那些個複雜的數學方程並未能說明或解決任何問題。這難道又是學術界“先將簡單問題弄複雜、然後忽悠研究基金”的慣用伎倆？俺不禁想起了文革中的一句名言：知識越多越反動！J

鐵生，你怎麼看？JJ

網友們的討論雖有一定道理，卻存在兩個小小的問題。第一個問題是，投資理財不靠神仙皇帝，全靠自己找出適合本身性格與條件的策略。據一個美國金融雜誌多年前的調查，不少人，包括醫生律師教授高管等專業人士，雖然在業內精明強幹，投資理財卻是一塌糊塗，他們要麼不做分析草率從事，要麼懼怕做決定、懶於選擇投資方案。這些人的投資回報率就可想而知了。在投資理財方面，沒有什麼放之四海皆準的原則，只能依靠自己不斷摸索方能找出切實可行的方法。

第二個問題則是本文的重點：一些網友忽略了退休基金投資中的兩個時間效應，既通貨膨脹率的時間效應與投資回報率的時間效應。通貨膨脹的概念很簡單：二十年前一份麥當勞漢堡套餐賣2.99美元，現在6.70美元，平均每年漲價4.1%；見《從衣食住行看美國的通貨膨脹率》。如果一個現在退休的人在二十年前按照當時的物價存錢而不考慮通貨膨脹，那麼他（她）現在每天最多只能吃個半飽。其實，食品費用增長率跟醫療費用增長率相比可說是小巫見大巫。據美國主流媒體的估計，美國醫療費用的年增長率在今後相當一個時期內將為6%左右，遠高於官方近些年頒布的通膨率（2-3%）。有鑑於此，不管人們願意與否，退休基金的投資與管理必需考慮通貨膨脹的時間效應；將通膨率視為不可測因而不去考慮，既不明智，也呈現出一種鴕鳥心理。

通貨膨脹率好理解，投資回報率的時間效應卻往往被人們忽視。為了解釋這一現象，重新考慮《退》文中的例子如下：

例1：一個人打算在n年後退休，並希望退休後的年花費為現在消費水準的5萬美元。如果這個人到時每年會有4萬美元的養老金（pension）和社安收入（SSI），那麼他（她）需要存多少錢才夠呢？

這裡，原來的十年被n年所替代。我們依舊採用《退》文中的公式2：

NAV_Ret = 32 x Sp x (1 + 0.04)^(n) – 25 x SSandP

注意1：Sp x (1 + 0.04)^(n) 實際上已將通膨的因素考慮在內了。

注意2：SSandP 是n年之後的金額。以現在的物價為基準，SSandP中的那4萬美金在20年之後只相當與現在的

4/（1 + 0.04)^(20) = 1.83萬美元。

我們再假定這個人計劃65歲退休。於是 n = 0, 5, 10, 15 和 20 表明此人現在的年齡為 65, 60, 55, 50和 45 歲不等。運用上面公式做計算，將結果列入表1.

表1：退休所需資產與現有資產（根據《退》文中公式2）

表1中NAV_Now是為達到退休所需淨資產NAV_Ret現在就必須擁有的淨資產，並且它在今後n年保持8%的平均年增長率。也就是說

NAV_Ret = NAV_Now x (1+0.08)^(n)

另外，表1中的最右邊兩列是現有淨資產的劃分（breakdown），既

NAV_Now = 房屋淨資產 + 現有儲蓄（包括現金股票401k等）

房屋淨資產是一個估計值，它並不影響NAV_Now或NAV_Ret的計算結果。

《退》文中提及，當 n = 10（既10年後退休），那個人在退休時需要有137萬的淨資產。一部網友讀到這裡就炸了：137萬，還讓不讓人活了！這些人沒有考慮投資回報率的時間效應，並且錯誤地以為137萬是現在必須擁有的資產。其實那個人現在只需有63萬美元淨資產即可在10年後退休時得到預期的收入；見表1。如果 n = 0（既現在立馬退休），只要那個人有60萬淨資產，就能保證每年稅後五萬的收入。

根據表1，現年45至60歲的人，只要現在有54-64萬的淨資產、並能保證淨資產在今後每年增長8%，則在65歲退休時，就有相當於現在物價的5萬美元稅後收入。

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有人可能會說，50-60萬太多了，我現在只30萬左右的淨資產、其年增長率為7%，而退休後僅有1萬元社安收入，那麼俺到退休後能否有按現在物價2萬的年收入？為了回答這個問題，我們可以考慮下面一個例子。

例2：一個人打算n年後65歲退休，並希望退休後的年花費相當於現在物價的2萬美元。如果這個人到時每年會有1萬美元的社安收入（SSI），那麼他（她）需要存多少錢才夠呢？

因這個例子的年收入較低，我們可以採用《退》文中的公式3（10%稅率）：

公式中各參數的意義與公式2的相同。運用這個公式對 n = 0, 5, 10, 15 和 20計算，將結果列入表2，其中NAV_Now = 房屋淨資產 + 現有儲蓄，而NAV_Ret = NAV_Now x (1+0.07)^(n)。

表2：退休所需資產與現有資產（根據《退》文中公式3）

根據表2，現年45至60歲的人，只要現在有26-31萬的淨資產、並能保證淨資產在今後每年增長7%，則在65歲退休時，就可得到相當於現在物價的2萬美元稅後收入。

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上面兩個例子表明，在考慮了投資回報率的時間效應後，人們並不一定現在就要有百萬資產才能有一個預期的退休收入。

【結束語】

退休基金的投資與管理是一件很私人的事。一個人退休時想花多少錢與能花多少錢通常不是一回事。俗話說，你不理財，財不理你。博文《退休究竟需要多少錢》中的三個公式可用來估算退休後有多少收入，適用於美國所有收入不同的中產階級：

公式1：適用於上中產階級（upper middle class，30%稅率）

NAV_Ret = 36 x Sp x (1 + 0.04)^(n) – 25 x SSandP

公式2：適用於一般中產階級（middle class，20%稅率）

NAV_Ret = 32 x Sp x (1 + 0.04)^(n) – 25 x SSandP

公式3：適用於下中產階級（lower middle class，10%稅率）

NAV_Ret = 28 x Sp x (1 + 0.04)^(n) – 25 x SSandP

經濟狀況較差但在貧困線之上的人們（working class，5%稅率）可以考慮下面的公式：

公式4：NAV_Ret = 26 x Sp x (1 + 0.04)^(n) – 25 x SSandP

此外，現有淨資產NAV_Now跟n年後退休時的淨資產NAV_Ret有如下關係：

NAV_Ret =  NAV_Now x(1 + Gro_Rate)^(n)

式中Gro_Rate為現有淨資產在今後n年的年平均增長率（如7%，8%）。

上述公式考慮了退休基金投資中的兩個時間效應，既通貨膨脹率的時間效應與投資回報率的時間效應，同時也將所得稅率的因素包含在內。這些公式的好處在於簡單明了，無需高深的金融理論與故弄玄虛的數學，更沒必要具備碩士博士學位。人們以現在的花費Sp為參考就可以便捷地估算出退休時所需的淨資產NAV_Ret，或根據現有淨資產NAV_Now反推退休時的稅後收入Sp（以現在物價計）。

古人云：凡事預則立，不預則廢。希望這些公式對人們計劃將來的退休生活起到一定的積極作用。必須說明的是，任何公式只能作為參考，計算結果無論數值高低都不是人生所追尋的終極目標。只要有良好的心態、相對健康的身體以及一定的經濟保障，人們都可以過上幸福的退休生活。

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[洛山愚士（原創）2014年2月23日。作者保留版權，引用請註明出處。]