保险费，它的英文名称是 premium。计算premium 是一种专门的学问，在这个领域里的专家称为 Actuary，中文称为精算师。美国有些高校设置“精算”的课程，甚至有“精算”系。美国的各大银行和金融企业都雇佣精算师。 Premium，它包括的范围非常广，医疗保险，汽车保险，人寿保险 。。。，我这里想要解释的退休福利，原则上也是保险的一种形式。保险费有非常复杂的计算公式，但仔细分析下来，有三大要素是所有的保险费共同的元素： 1. 人寿概率（mortality）：保险，顾名思义，就是要保住灾难一旦发生时造成损失的最低限度。然而，灾难是完全随机的一个概率事件，谁也不能保证灾难什么时候会发生，怎样发生。如果有个先知先觉的人早已知道灾难什么时候发生，那还要买保险干什么？所以，事件发生的概率是最重要的因素。医疗保险关心的是买保险人的生病概率，汽车保险关心的是出车祸的概率，人寿保险关心的是人的死亡概率。。。，退休福利则是关心人的存活概率。 2. 利息（interest)：保险公司收了那么多的保险费，不是为人民服务, 他们是要拿去投资的，保险公司的目的是赚大钱 。既然是投资，那必定有利润，也必定有风险，这里就必定牵涉到利息。利息有各种各样，原因是投资的项目不同，收益也不同。一般来讲，高利息的必定伴随高风险；稳定的利息，比如 GIC (Guaranteed Income Contract), 可以保证拿到利息，但利率不可能高了。还有一点也必须考虑进去，那就是费用（expense)，客户拿到的利息都已被中间商以费用的名义搜刮掉了一部分，举例：公司投资实际收益 15%，扣除各种费用，层层剥削，客户真正拿到的恐怕只有10% 的利息，甚至更少。至于怎么投资才是最合理，最有效果，这又是另外一门学问了，这里不讲述。 3. 时间 (time laps)：这个时间是指从买年金那天开始，到启动年金的那一天的那段时间。比如：某人在 2017年9月1日买了年金，在2027 年9月1日 开始拿年金，那么计算公式里的时间应该是10 年。 以一个例子来说明问题：某人今年 50 岁，男性，他要买1元（$ 1 ）年金 （即每年拿 1元， 直到死亡），在65 岁 退休时，开始启动年金 (annuity)，问，该人现在要付多少 premium ? 为了解释问题简单起见，我们做一些理想化的假设： 1. 利息是5% (除去了各种手续费后的净利)， 每年计算复利 (compound interest)； 2. 手头有65 岁存活男性在 X岁死亡的概率表： X＝年龄： 66 67 68 69 。。。 110 死亡概率： 0.7% 0.8% 1.1% 1.3% 。。。 0.01% 上表第二行的概率加起来应该等于 100 ％ （因为人必定会死的）。 66 岁死的人，只在66岁时拿了1 元，这1 元在65 岁时的价值是 1/(1＋0.05) 67 岁死的人，在66岁和67岁时各拿了1 元，这2 元在65 岁时的价值是 1/(1＋0.05) ＋ 1/(1＋0.05)2 68岁死的人，在66岁，67岁和 68岁时各拿了1 元，这3元在65 岁时的价值是 1/(1＋0.05) ＋ 1/(1＋0.05)2＋ 1/(1＋0.05)3 。。。。 以此类推。 所以，1元的年金在65岁时的价值是： A = 0.7% ＊1/(1＋0.05) ＋ 0.8%＊［1/(1＋0.05) ＋ 1/(1＋0.05)2］ ＋ 1.1% ＊［1/(1＋0.05) ＋ 1/(1＋0.05)2＋ 1/(1＋0.05)3 ］ ＋ 1.3% ＊［1/(1＋0.05) ＋ 1/(1＋0.05)2＋ 1/(1＋0.05)3＋1/(1＋0.05)4 ］ ＋ 。。。 ＋ 0.01%＊［1/(1＋0.05) ＋ 1/(1＋0.05)2＋ 。。。 ＋1/(1＋0.05)45］ 65 岁时的 A元 在 50岁时的价值是 A/(1＋0.05)15 ，这就是50岁时该付的 premium。 注意，A 是 年金为 1元在65岁时的值，有了这个单位值，以下的事就好办了： 假设： A = 20 张先生希望在在65岁时有 5万 年金，他在50岁时必须付 5* 20 /(1＋0.05)15 ＝ 48.1万现金 (premium)。 王先生希望在在65岁时有 10万 年金，他在50岁时必须付 10* 20 /(1＋0.05)15 ＝ 96.2万现金 (premium)。 这是比较理想化的情形，实际碰到的会比这复杂些。例如：在65岁前每年都付一定的 premium； 在65岁后每年的年金按通货膨胀增加；还有，利息不是常数；等等。 年金也有各种各样的形式，例如： 张先生买的年金：保证前十年拿固定数量（每年拿8 万，拿满十年），不管在这十年中他是否死亡； 李先生买的年金：如果他死后，他的老伴接着拿年金，一直拿到老伴也死； 等等，等等，计算公式中会加入通货膨胀的因子， 公式也会变得复杂，但本质上大同小异，主要还是 概率，利息，时间，这三大元素起了作用。 有几个隐藏的事实应该要清楚，男性和女性的 mortality 是不同的，也就是为什么上面的例子全用了男性（女性有女性的表头），民族之间的 mortality 是不同的。在医疗保险中，抽烟和不抽烟的人的 mortality 是不同的。在汽车保险中，年轻人和年老人的车祸概率是不同的 。。。等等。Mortality 随着科学的进步会有变化，不同的保险费用不同的 mortality 计算。 保险公司的目的是赚钱，如果 年金的premium 每年付一次，没到 65 岁就死亡，那么保险公司会把premium 退还给客户。如果 年金已启动，65 岁以后死亡的，保险公司不会退钱，这里有个不能说的秘密：保年金的公司，希望65 岁后的人越快死越好，保险公司于此赚钱。医疗保险，人寿保险则恰恰相反，保险公司不希望保的人有疾病死亡，原因很清楚：你有病就要保险公司付钱，你死人也要保险公司出钱，保险公司当然不会开心，还有一件人人都知道的事实，你出了车祸，第二年的保险费就上去了。在买医疗保险或者人寿保险之前，保险公司要医生开证明，证明你没有病，证明你没有死的可能。年龄超过70 岁以上的老人，保险公司几乎不卖保险给他们了，保险公司不做亏本的买卖，这听起来很不人道，但这是事实。
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