随着当代科技的高速发展， 在科学研究和工程设计领域里，离不开计算机的模拟。实行这种模拟，通常需要将非常复杂的微分方程化简到能够在计算机上编程实现。在这个化简的过程中，仍然要求所得到的结果能充分地逼近原始复杂问题的解。在应用数学上，实现和证明这个过程的方法，叫做“科学计算”－ Scientific Computing。
这样说来，“科学计算”和计算机是紧密联系在一起的。没有计算机，也就谈不上“科学计算”。但它又和计算机科学不一样。计算机就是一个可以用来算题的机器。然而，“科学计算”，是把一个完全无法计算的东西，比如一个无穷维的微分方程，变换和简化成可以在计算机上演算的东西。也就是说，一个复杂而神秘的东西，用一个简单的算法来做为它的替身，放到计算机去求解。应用数学家就是寻找和创造这些“替身”的伯乐。 我们知道，宇宙空间，球体之间的引力和它们之间的距离有关。计算每一对星球之间的引力，整个银河系统里的运动规律。。。，模拟这个庞大的系统，计算量可怕，计算机不知道要算到猴年马月，科学家只能望洋兴叹。再看看设计宇宙飞船，飞机导弹，和设计汽车的领域里，飞行物质的周围，被一层流体气层包围着，如何设计流线型的飞行物体，那是航天航空，和汽车制造业的关键之关键。当然，还有在我们周围的电磁场波。。。等等，总之，大到宇宙，小到电子，无处不存在科学家想探索的奥秘。 计算数学家在这探索自然界奥秘的过程中，扮演了什么角色？ 首先，应用数学家为上面的自然现象写出微分方程，这叫建立模型。他们认为，这些微分方程能够准确地描述我们想要知道的物理现象。但是，这些微分方程都是无穷维的，非常复杂， 大部分的微分方程都是无法显式求解的。 当代的计算机，无论有多先进，它只能够对付有限多个数的运算，我们想要在计算机上运算无穷维的微分方程，得到它得解，办不到。也就是说，在计算机上做无穷多个加减乘除的运算，无法实现。 既然这般，科学家说了，我们不需要模型的准确解，如果能得到一个相对误差不超过1% 的近似解，我们就满足了。“科学计算”要做的事，就是找一个算法 （algorithm），设计一个编程，来代替那个可怕的微分方程，这个编程是可以在计算机上运算的。这样还不够，还要证明，得到的解符合相对误差不超过1% 。有了这样的证明，确保了精确度，科学家方才心服口服。 “替身”找到了，科学家却又改变了主意，得寸进尺了。他们说现在要求精确度达到 0.1%，0.01%，0.001%。。。计算数学家可以用同样一个方法，达到这些要求，只不过要增加计算量。比如，增加网格点的个数。只要你给出要求，精确度ε，我总能找到网格N，来满足你的要求，在数学上，这叫收敛性。 那么，是不是总是可以用增加计算量来达到精确度？这不好讲。毫无疑问，增加计算量肯定会带来更高的精度，但是，如果代价太大，或者效率太低，都是不聪明的办法。 这里存在一个数学家很关心的问题：如果有两个算法，一个 A， 一个 B， 都能达到误差不超过 1% 的要求，但在同一台机器上，A要花两天才能算出结果，然而， B只要两小时就能给出同样的结果。你喜欢谁呢？当然是B，这是傻子都能回答的问题。这是计算方法中不可忽视的问题，叫做算法的效率。 最后谈一下“科学计算”中的 稳定性。 计算机是不能准确表达所有的数的。比如，1/3，存在计算机里的是0.3333333333333。。。 到底给出多少个小数点，那就看你的计算机是怎么设计的。现在的计算机，一般可以保留十几位有效数字。被截断的部分，就是“截断误差”。 当今的计算机里，“截断误差”通常可以小到 10-15 ，似乎微不足道。但是问题在于，很多算法，都要在计算机上运算成千上万步。我们假设有一个算法，它在计算机上的每一步运算，都把误差放大 1%。这一点点放大，似乎微不足道，但是运算一万步后，误差就被放大了1043 倍，原来微不足道的10-15 的截断误差，现在被放大成了1028，这可是个天文数字啊！这样的误差，把所有真解的影子全都埋没了，那还了得！ 计算数学需要研究稳定的格式，确保“截断误差”控制在某一范围内，不准误差每部放大。这就是所谓的“稳定性”。 以上所说，是“科学计算”的基本常识，属于中学生的科普。1978年，徐迟的一篇报告文学《哥德巴哈猜想》，使得高考志愿选数学系的大门挤破了头，人人争先恐后地想当陈景润。陈景润是搞数论的，属于纯数学，所以大家都认为只有纯数学才是数学，应用数学不是数学。这是一个误导。纯数学和应用数学确实有区别，我这里不往深里去解释它们之间的区别，但有一点是大家一听就懂的，那就是应用数学可以混，纯数学没法混。此话怎讲？学纯数学，懂就懂，不懂就不懂，证明不出来就是证明不出来，没法不懂装懂。然而，学应用数学，有些数学功底不咋的人，跟在人家已经设计好的东西后面，这里算算，那里改改，总归可以的，这叫滥竽充数。但这不等于说应用数学就比纯数学容易。能够设计出巧妙的算法，绝对需要 扎实的数学功底和智慧。有几个经典的算法，都有冠名。设计出这些算法的人，都是牛人。应用数学的牛人和纯数学的牛人没有区别，都是非常智慧的人。
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