計算機在點值和係數的空間來回計算，這是要有代價的。如果已知係數，要算一個點值，這是 N 數量級的工作量；把所有N個點值全算出來，則是 N2數量級的工作量。反之，如果已知點值，要把所有N個係數全算出來，也是 N2數量級的工作量。當 N 很大時，這是相當大的計算量，這不，如果 N = 100000，再平方一下，這數字太可怕了，而且，計算機的大量運算會產生誤差積累，導致算出的結果不夠精確。
能不能把 N2 降下來？能。快速傅立葉變換( FFT) 的思想其實很簡單：仔細觀察公式，發現有很多重複計算。在算點值時，打個比方（純粹胡說）：第一個點，第四個點，第七個點。。。有重複計算。FFT 把重複計算的部分，一次性算好，然後在第一個點，第四個點，第七個點。。。同時使用。就這麼點簡單的思想，你只要把它做到極致，一個 N2 數量級的工作量就降到了N log N 數量級了，相比於 N，log N 是一個很小的數，幾乎等同於常數。這，是一個革命性的創舉。
FFT的第一篇文章，1965年發表在Mathematics of Computation , 這是美國數學學會的頂級雜誌，也是非常古老的計算數學雜誌。這篇FFT 論文的影響力是巨大的。
例二：快速多極法（fast multi-pole method）
這種方法是用來快速計算 N 個粒子之間兩兩相互作用的效果。比如，兩兩粒子間的引力作用。對一個固定的粒子來說，它的運動取決於它和其他所有粒子兩兩相互作用的效果之和。把這些相互作用都算清楚，需要 N 數量級的工作量。那麼，要算好所有 N 個粒子的運動規律，則需要 N2數量級的工作量。
這次運氣不好，和 FFT 不同，我們似乎找不到明顯的重複運算 (除了兩兩相互作用只需算一次，這只能減少一半運算量，沒法在數量級上減少)。但這難不倒數學家。數學家們發現，一個粒子和距離它較遠的一堆粒子的相互作用，不用兩兩算清楚，只需要算這個粒子和這一堆粒子（看成一個大粒子）的相互作用，也就八九不離十了。當然，誤差是多少，一堆粒子到底可以多大，如何定義 “較遠”，這些都要分析清楚。這次沒有辦法像 FFT 一樣得到和原來公式一樣的數學效果，但是，如果給定能容忍的誤差，比如千分之一，則上述的辦法只需要 N log N 數量級的工作量。實際上，如果把算法和分析再做得精細些，工作量能降到 N 數量級。這種方法叫做“快速多極法”。
快速多極法的發明，歸功於耶魯大學的 V. Rokhlin和 L. Greengard。1985 年，他們發表在 Journal of Computational Physics 的一篇文章中，首創性地提出和分析了快速多極法。和FFT 類似，這個方法也在科學和工程中得到廣泛的應用。因為這個工作，這兩位數學家得到了美國數學學會 2001 年的一個重量級獎項 (the Leroy P. Steele Prize)。這項獎通常都是授予純粹數學家的，應用數學家極少得到該獎，這也說明了快速多極法在數學和應用中的雙重重要性。
例三：多重網格法（multigrid method）
怎樣解大型的線性方程組
Ax = b
A是 N x N矩陣，b 是向量。這個問題看上去十分簡單，用中學學到的Cramer’s Rule 就能得到解。不過，用Cramer’s Rule 的計算量是 N 的階乘（N!）的數量級。當矩陣很大的時候，比如， N=1000， N! 是個非常龐大的數，不信你在計算器上摁一摁，會發現計算器都無法顯示出這麼龐大的結果。不管今天的計算機有多快，都無法在短時間內實現這樣的計算。所以，Cramer’s Rule 在解大型的線性方程組時，只有理論上的意義，沒有實際意義，紙上談兵也。
用高斯消除法（Gaussian elimination）求解，可以將工作量從 N! 數量級降到N3數量級。這已經大大提高了計算效率。對一般的線性方程組，這經常是實際計算中唯一可行的方法。不過， N3還是實在太大了，數學家希望再進一步降低工作量。對於一些實際應用中的矩陣，有些特殊的性質，比如對稱正定矩陣，何不利用一下？應用數學知識可以設計 N 數量級的算法，如果能如願以賞，的確是美事一樁，故而發明了“多重網格法”。要知道，不是所有的矩陣都能採用多重網格法，矩陣需要滿足特殊的性質。因為哪怕A是對角矩陣，求解也需要 N 數量級的計算，再也沒有油水可榨了，N數量級已經達到了極限。
多重網格法的主要貢獻者是以色列數學家Achi Brandt , 為此，2005 年，他得到了美國工業與應用數學學會(SIAM）和美國計算機學會 (ACM) 共同授予的 “計算科學和工程獎” (Prize in Computational Science and Engineering )，這是個非常了不起的大獎。
