孔子說：“溫故而知新，可以為師矣”。 空閒時，我愛看一些有關數學的書籍。這次，隨手在書架上抽出一本舊書，這本書是我當年在 UCLA 數學系修過的一門課， Real Analysis ，通常叫實變函數吧。 書名 ： Mathematical Analysis / Second edition 作者： Tom M. Apostol / California Institute of Technology 那年，教我們這門課的是 Yiannis Mostrovakis , 他是世界上頂尖的邏輯學專家，當年他在講台上給我們授課的情形至今歷歷在目。 Mostrovakis 是希臘人，瘦瘦高高的，蓄着一蓬大鬍子，資本論的作者馬克思的那種大鬍子，幾乎把他的整個下半臉全掩蓋了。在西方國家裡，這樣的大鬍子還是蠻常見的，也許是男性的一種時髦吧。當 Mostrovakis說話時，隱蔽在濃密的大鬍子裡，露出了一排牙齒，能注意到他的嘴巴在動。每當 Mostrovakis來給我們上課，他嘴裡叼着一個煙斗，講話時煙斗拿出來，托在手上，講完後，煙斗又塞回嘴裡。這讓我聯想起噻在兒童嘴裡的“咬咬樂”，兒童有這樣的樂趣，數學家也有這樣的樂趣。第一堂課，他把他的名字寫在黑板上，同時告訴我們：“我的名字不太好拼，你們如果拼錯了，我要扣你兩分”。我每次上交作業時小心翼翼，至少查二遍，決不讓他在“拼錯名字”上扣分。 Mostrovakis 教授是非常友善的，但實際上，他是瞧不起我們這些學生的。他在一個助教那裡說：“這個班上沒有數學家”。UCLA 的數學系裡，每個教授都是世界一流的。記得有一年，華羅庚先生來 UCLA 數學系，我們都去聽他的講座，他講了“優選法”。我環顧一下大教室的四周，寥寥無幾，約有二十來個人，好像都是中國學生。我問，數學系裡那些教授怎麼沒見來？ 一位研究生回答我說，華羅庚在中國是數學界的祖師爺，但在 UCLA 的數學系裡，每個教授都有華羅庚的水平，甚至比華羅庚的水平更高。 Mostrovakis 教授是個極頂聰明的人，這，當然是無可爭議的。我們用的這本數學書，裡面有很多數學證明題。課堂上，Mostrovakas 用濃重的希臘口音預告：“It is 達里必利，達里必利頂波”，（It is terribly， terribly simple）。 現在回到這本書的第7頁（page 7），有這麼一道題： Theorem 1.11 . If ex = 1 + x + x2/2！+ x3/3！+ ……… + xn/n！+ …….. ，then the number e is irrational. 目標非常明確： 證明 e 是 無理數。 直接證明 e 是無理數，當然可以的，但比較麻煩。這本教課書上來了個彎彎繞，先證明 e 的倒數 e-1是無理數，如果 e-1 是無理數， 那麼 e 就是無理數了。為什麼要這樣繞圈子呢？因為證明 e-1 是無理數相對容易，有點 “曲線救國”的意思，數學家的“門檻精”。 【如果 e-1 是無理數， 那麼 e 也是無理數】，這個命題可以說是對的，但也不是那麼顯然的，用數學語言，這是 non-trivial 。 先要證明 【如果 e-1 是無理數， 那麼e 也是無理數】這個命題是成立的，這樣，在邏輯上滴水不漏，讓人心服口服。 我來證明一下： 中文版： 用反證法： 假設 e 是有理數， e = a/b （a 和 b 是整數，這是有理數的定義）, 那麼 e-1 = b/a 也是有理數，這和假設矛盾，所以 e 是無理數。 英文版： Prof by contradiction: If e is rational, e = a/b (a and b are integers, this is the definition of rational numbers), then e-1 = b/a would also be rational， This is contradiction to the assumption, therefore, e must be irrational。 難嗎？這裡沒有任何高等數學的工具和語言，甚至沒有小學課本里的 加減乘除。我用了不到 50 個 字母和符號，不足二行，這裡只有邏輯推理。我想，沒有受過數學教育，聰明一點的農婦都能理得清想得通。純數學，說到底就是哲學。 如何證明 e-1 是無理數，這個比較複雜，需要大學數學系課程里的一些工具，這裡不展開了。
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