孔子说：“温故而知新，可以为师矣”。

空闲时，我爱看一些有关数学的书籍。这次，随手在书架上抽出一本旧书，这本书是我当年在 UCLA 数学系修过的一门课， Real  Analysis  ，通常叫实变函数吧。

书名 ： Mathematical Analysis /  Second edition

作者： Tom M. Apostol / California Institute of Technology

那年，教我们这门课的是 Yiannis Mostrovakis , 他是世界上顶尖的逻辑学专家，当年他在讲台上给我们授课的情形至今历历在目。

Mostrovakis 是希腊人，瘦瘦高高的，蓄着一蓬大胡子，资本论的作者马克思的那种大胡子，几乎把他的整个下半脸全掩盖了。在西方国家里，这样的大胡子还是蛮常见的，也许是男性的一种时髦吧。当 Mostrovakis说话时，隐蔽在浓密的大胡子里，露出了一排牙齿，能注意到他的嘴巴在动。每当 Mostrovakis来给我们上课，他嘴里叼着一个烟斗，讲话时烟斗拿出来，托在手上，讲完后，烟斗又塞回嘴里。这让我联想起噻在儿童嘴里的“咬咬乐”，儿童有这样的乐趣，数学家也有这样的乐趣。第一堂课，他把他的名字写在黑板上，同时告诉我们：“我的名字不太好拼，你们如果拼错了，我要扣你两分”。我每次上交作业时小心翼翼，至少查二遍，决不让他在“拼错名字”上扣分。

Mostrovakis 教授是非常友善的，但实际上，他是瞧不起我们这些学生的。他在一个助教那里说：“这个班上没有数学家”。UCLA 的数学系里，每个教授都是世界一流的。记得有一年，华罗庚先生来 UCLA 数学系，我们都去听他的讲座，他讲了“优选法”。我环顾一下大教室的四周，寥寥无几，约有二十来个人，好像都是中国学生。我问，数学系里那些教授怎么没见来？ 一位研究生回答我说，华罗庚在中国是数学界的祖师爷，但在 UCLA 的数学系里，每个教授都有华罗庚的水平，甚至比华罗庚的水平更高。

Mostrovakis 教授是个极顶聪明的人，这，当然是无可争议的。我们用的这本数学书，里面有很多数学证明题。课堂上，Mostrovakas 用浓重的希腊口音预告：“It is 达里必利，达里必利顶波”，（It is terribly， terribly simple）。

现在回到这本书的第7页（page 7），有这么一道题：

Theorem 1.11 .    If  e^x  = 1 + x + x²/2！+ x³/3！+ ……… +  xⁿ/n！+  …….. ，then the number e is irrational.

目标非常明确： 证明 e 是 无理数。

直接证明 e 是无理数，当然可以的，但比较麻烦。这本教课书上来了个弯弯绕，先证明 e 的倒数 e^-1是无理数，如果 e^-1  是无理数， 那么 e 就是无理数了。为什么要这样绕圈子呢？因为证明 e^-1  是无理数相对容易，有点 “曲线救国”的意思，数学家的“门槛精”。

【如果 e^-1  是无理数， 那么 e 也是无理数】，这个命题可以说是对的，但也不是那么显然的，用数学语言，这是 non-trivial 。

先要证明 【如果 e^-1  是无理数， 那么e 也是无理数】这个命题是成立的，这样，在逻辑上滴水不漏，让人心服口服。

我来证明一下：

中文版：

用反证法：

假设 e 是有理数，  e = a/b  （a 和 b 是整数，这是有理数的定义）,  

那么  e^-1  = b/a 也是有理数，这和假设矛盾，所以 e 是无理数。

英文版：

Prof by contradiction:

If e is rational,   e = a/b  (a and b are integers, this is the definition of rational numbers),  then e^-1  = b/a would also be  rational，

This is contradiction to the assumption,  therefore, e  must be irrational。

难吗？这里没有任何高等数学的工具和语言，甚至没有小学课本里的 加减乘除。我用了不到 50 个 字母和符号，不足二行，这里只有逻辑推理。我想，没有受过数学教育，聪明一点的农妇都能理得清想得通。纯数学，说到底就是哲学。

如何证明 e^-1  是无理数，这个比较复杂，需要大学数学系课程里的一些工具，这里不展开了。