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一维乌龟二维狗,芝诺刻舟渔翁瞅 2016-05-20 09:10:24

紫荆棘鸟博主的芝诺悖论解决了吗?》一文,在万维引起热烈讨论,从数学,物理学,逻辑学到哲学,不一而足。作为一个围观者,我经历了从不懂却自以为懂,到似懂非懂,到彻底看不懂的心路历程。网下与几个朋友讨论,皆是鸣凤,飞熊般的能人,却越说越让人一头雾水。倒不如一旁掌舟不爱说话的拱墅渔翁透彻,三句话不离本行,一番评说,反正我是听明白他的意思了。


渔翁兄慷慨,允我代其在万维发表,抛砖引玉,欢迎各路朋友讨论。人家扁舟一叶,有砖请轻砸



芝诺悖论、刻舟求剑与宇宙维度


万维各路高人几日来各显身手,围绕《芝诺悖论》各表高论。数列、极限、收敛,梯度、旋度、散度,哲学、物理、数学。各个领域、各种学派,众说纷纭,各有道理、各有局限。突然想到咱们中国也有一个《刻舟求剑》的成语故事,也跟时空有关。


003.jpg《吕氏春秋·察今》:“楚人有涉江者,其剑自舟中坠于水,遽契其舟曰:‘是吾剑之所从坠。’舟止,从其所契者入水求之。舟已行矣,而剑不行,求剑若此,不亦惑乎?”


不过呢,咱们中国人还是更实用主义一点,好像仅仅限于粗略的定性分析,对此案例的结论就是“比喻办事刻板,拘泥而不知变通。”据后人分析,吕不韦引用这个故事是为了劝勉为政者(秦王?)要明白世事在变,若不知改革,就无法治国。迄今为止似乎还没见有多少人从哲学、物理或数学等别的角度来探讨这个问题。


若是作一点数学物理的假设,也许“刻舟求剑”也并不为错,下列情况都有可能成立:


  1. 楚人有涉江者,其剑自舟中坠于水,遽契其舟曰:‘是吾剑之所从坠。’舟止不行,从其所契者入水求之。舟行未远,而剑不行,求剑若此,庶几可也!”(海天来翻译一下 -- 情况1:剑掉下去立刻停船,马上下水探摸,估计能摸上来

  2. 楚人有涉江者,其剑自舟中坠于水,遽契其舟曰:‘是吾剑之所从坠。’舟行复返,从其所契者入水求之。舟既归位,而剑不行,求剑若此,庶不虞失!”(情况2:船开了一阵再返回到落剑的位置,剑大概也丢不了

  3. 楚人有涉江者,其剑自舟中坠于水,遽契其舟曰:‘是吾剑之所从坠。’舟止,从其所契者入水求之。舟虽行矣,而剑亦行,以其舟适载磁石以货,故召铁剑于舟底,得失剑若此,亦天意也!”情况3:恰好船上满载磁石,把剑吸住了。船儿走,剑也走,从落剑的位置来找,顺理成章

  4. 楚人有涉江者,其剑自舟中坠于水,遽契其舟曰:‘是吾剑之所从坠。’舟止,从其所契者入水求之。舟虽行远,而江流亦速,剑得水运,恰尾其舟左右,遂复得剑,岂不奇哉!”(情况4:船在水上漂,剑在江中游,不离左右,如此找回失剑,也算奇事一桩

......

如果楚人想要找回失去的剑,就必须重新在时空中与他的剑重合到一个点上。这是古人和今人都同意的观点。在一般的时空观里,这应该也是正确的结论吧。当然了,切莫引入“色即是空,空即是色”,“有便是无,无便是有”的超级哲学。


回到“芝诺悖论”:“假设阿奇里斯速度是乌龟的10倍,但只要乌龟先跑,阿奇里斯就永远追不上。比如说乌龟先跑100米,当阿奇里斯跑完这100米时,乌龟已经在阿奇里斯前面 10米;当阿奇里斯跑完这10米时,乌龟已经在阿奇里斯前面1米;当阿奇里斯跑完这1米时,乌龟已经在阿奇里斯前面0.1米……因此结论是,尽管阿奇里斯 和乌龟之间的距离越来越短,但乌龟却永远在阿奇里斯前面。阿奇里斯永远追不上乌龟。”(原文引述自紫荆棘鸟博文《芝诺悖论解决了吗?》


1463761616248476.jpg在芝诺的时空参照系中,阿奇里斯和乌龟的运动可以简化为一条直线上两个点的同向相对运动。乌龟点在阿奇里斯点的前面,阿奇里斯点必须历经(重合)先前的所有乌龟点后才能在同一时刻与乌龟点重合,也就是追上乌龟。实际上,即使阿奇里斯和乌龟走的都是曲线,芝诺悖论的陈述形式也一样成立。而芝诺在他的陈述中也早已包括了时间因素。


简言之,芝诺悖论可以总结为,假设两个物体沿同一空间轨迹追逐运动,尾追物体必须历经先导物体经历的每一个轨迹点,才能最终在同一时间点和同一空间点上与先导物体重合,进而追上先导物体。相信这是一个比较正式的对芝诺悖论的复述。


可是这里有一点点细微的问题,那就是时间和空间的共存关系。虽然我们假设两个物体的空间轨迹除了时间点的不同,是重合的,但是这是处在四维空间中的人类的肉眼所见和由此产生的思辨假设。如果我们相信时间是一个独立的但又是相关于空间的维度,那么在“事实上”,并不存在“两个物体沿同一空间轨迹追逐运动”这样一种可能性。虽然在人们的眼睛里,两个物体完全可以沿同一空间轨迹追逐运动,比如在铁轨上的前后两列火车。但是,从一个时间和空间的复合角度来看,这两个物体完全是沿两个不同的时空轨迹在运动,并不存在着尾追物体必须历经先导物体经历的所有时空点才能追上后者的要求,而实际上,尾追物体也不可能沿着这样一个轨迹运动,因为“舟已行矣,而剑不行,求剑若此,不亦惑乎”。虽然在人们的眼里,看见的是一个物体追上了另一个物体(阿奇里斯沿着乌龟的足迹追上了长寿之星),但是在一个更完备的多维空间和数理模型中,也许更确切地说,是阿奇里斯沿着自己的时空轨迹在某个点上踩到了乌龟之路的某个点,而恰在此时此刻,阿奇里斯和乌龟在空间的点也是重合的。除了此时此刻之外,“人不能两次踏进同一条河流”,而阿奇里斯和乌龟也不可能经历同一空间而仅有时间上的差距。


根据这样一个假设的理论,芝诺悖论的前提既不成立,后续的推论也就无法证实。在芝诺生活的年代,人们对时间和空间的关系的理解应该也是比较直观。所以,他的理论看似无懈可击,后来的思辨和探讨也都是从数学和哲理的角度进行。


而从另外一个角度来讲,如果人类生活的世界不是我们现在所知的这个样子――地球自转,地球绕着太阳转,太阳随着银河转,整个宇宙在膨胀--而是整个体系无运动,只有时间往前流,那么,在地球上也许真能找到芝诺需要的那个参照系:阿奇里斯能够沿着乌龟的足迹去追赶这雍容慢行的小东西,这个轨迹是唯一的一条空间曲线。在轨迹上的任何一点看来,假如乌龟在T经历此点的话,阿奇里斯只能在T+Δt赶到同一点。无论Δt能够变得多小,Δt永远不会变成0。也就是阿奇里斯永远赶不上乌龟。


很遗憾的是,人类也许永远也无法创造出这么一个实验环境,因而我们也许永远也无法证明芝诺悖论是否会在那样的一个世界里变成真理。



海天评论:

渔翁兄的道理讲得有点长。我根据自己的理解来浓缩一下,大概是说,芝诺在“龟兔赛跑”的表述中,把时间这个维度压缩进一维的空间尺度概念中了,而我们常人的思维,是基于四维时空的感受(即时间加三维空间)。不同的维度有不同的逻辑,所以芝诺的一维逻辑在四维空间中成为悖论。


这个从一维到四维空间的矛盾,不由得让我想起《时间简史》中看到的一个二维狗:


1463759922124067.jpg“二维空间似乎不足以允许像我们这样复杂生命的发展。例如,如果二维动物吃东西时不能将之完全消化,则它必须将其残渣从吞下食物的同样通道吐出来;因为如果有一个穿通全身的通道,它就将这生物分割成两个分开的部分,我们的二维动物就解体了。类似的,在二维动物身上实现任何血液循环都是非常困难的。”

-- 霍金《时间简史》


二维狗从逻辑上就无法生存,一维乌龟追不上自然也只能是个悖论。如果我们能够进入更高维度的时空,看待四维世界,必定能推出无数新的悖论。


所谓悖论,一非谬误,二非诡辩。悖论的存在和难以驳倒,表明我们思维中某些最基本的概念和原则遇到了挑战。

浏览(1896) (5) 评论(29)
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文章评论
作者:海天 留言时间:2016-05-24 12:33:49
冬儿: <br>闲人:那你就听紫鸟的,自己开主贴说个痛快呗。<br>
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作者:老冬儿 回复 老冬儿 留言时间:2016-05-24 10:33:12
对不起,慌慌张张贴错了地方。
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作者:老冬儿 留言时间:2016-05-24 10:26:09
唉呀来晚了,看见标题是追乌龟俺就闪了,懒动脑子,没有想到是海天的生日,补上迟到的生日祝福,谢谢你这几年给我们带来的好文和精彩点评! 休息一下,不要太久哈。
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作者:溪谷闲人 留言时间:2016-05-24 09:18:07
我被紫鸟驱除出境了
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作者:海天 回复 溪谷闲人 留言时间:2016-05-24 08:14:18
谢闲人来访!不过我这楼没啥潜力,也就这样了,紫鸟那边马上可以到达15的平方值了,别错过哦!
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作者:溪谷闲人 留言时间:2016-05-23 22:28:27
所谓芝诺悖论钻了两个空子。第一、空间本没有起点、原点、断点。为了解决问题,数学家设定了原点,所有人都接受,不然没法活。这个原点,就是龟兔赛跑的起点,因为如果连起点都没有,还赛什么跑涅。第二,时间更是没有断点,比空间更甚。不过时间的断点所有人都未曾考虑过,直至爱因斯坦。就是说,把时间做为研究问题的一个“维度”,爱因斯坦是第一人。龟兔赛跑,龟和兔子从同一起点出发,没有人有异议。但古代人,从未考虑过时间“维度”,他们不知道,同时是不可能滴。因为你找不到时间的原点,也就是何时开始?这么一来,龟兔赛跑根本就不可能开始。比如假定一点钟开始,但按照芝诺的所谓“悖论”,开始不了,因为时间只能无限地接近一点钟,而到不了一点钟!
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作者:海天 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-23 09:17:08
紫儿:渔翁今天刚又发了几段补充,我待会儿贴上来,请你过目。我大概了解你的思路所向,但是不明白你为什么不认同“将这个悖论与物理联系起来的解读”,因为在我的理解中,古希腊的哲学家们对世界的一个核心探索,就是运动的本质。 芝诺的四个悖论其实都是在讨论运动的问题,方方面面,既有绝对运动也有相对运动,比如二分法和阿基里斯悖论假设了空间的连续,而飞矢不动和运动场悖论假设了时间的连续。运动的时空特性既然是属于物理范畴的,又何必置之不理呢? 、、、、、、、另:谁是万维第一数学家?/////////////////////////////////////////////////////////万维这个评论功能,已经让我出离愤怒了。我自己昨晚写的回帖,在本人登录状态激活的情况下,博文内看不到自己的回帖,只有退出登录才能看到,以致于我无法删除下面这个有很多莫名其妙文字的回帖。这种情况从昨晚持续到现在,12个小时了。
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作者:海天 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-22 20:39:37
紫儿:渔翁今天刚又发了几段补充,我待会儿贴上来,请你过目。我大概了解你的思路所向,但是不明白你为什么不认同“将这个悖论与物理联系起来的解读”,因为在我的理解中,古希腊的哲学家们对世界的一个核心探索,就是运动的本质。 芝诺的四个悖论其实都是在讨论运动的问题,方方面面,既有绝对运动也有相对运动,比如二分法和阿基里斯悖论假设了空间的连续,而飞矢不动和运动场悖论假设了时间的连续。运动的时空特性既然是属于物理范畴的,又何必置之不理呢? 、、、、、、、另:谁是万维第一数学家?不支持也不评论任何将这个悖论和任何物理联系起来的解读。支持也不评论任何将这个悖论和任何物理联系起来的解读支持也不评论任何将这个悖论和任何物理联系起来的解读不支持也不评论任何将这个悖论和任何物理联系起来的解读不支持也不评论任何将这个悖论和任何物理联系起来的解读不支持也不评论任何将这个悖论和任何物理联系起来的解读
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作者:海天 回复 芹泥 留言时间:2016-05-22 20:10:56
芹泥MM好!对这个悖论及有关解析,大概知其然而已。这篇主要是贴一下“渔翁”朋友的观点,觉得他的提法比较新颖,很符合我从“3万尺高处看问题”的胃口,而不是想象着跟在乌龟后面,一分一毫地逼近/超越。我自己在后面胡乱发挥了几句,被渔翁称歪曲了他的意思。
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作者:海天 回复 道还 留言时间:2016-05-22 19:50:32
道还先生好!你对二维动物世界的想象,实在有趣!二维人是不是不能两腿交错着走路,而只能一跳一跳呢?
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作者:海天 回复 究竟 留言时间:2016-05-22 19:45:10
究竟:我觉得悖论的意思,就在于陈述了一个违反常识的论证,挑战不同意它的人来证明相反的结论。“证明阿基里斯能追上乌龟”,难道不是想破解这个悖论的人需要做的吗?或者如能明白指出芝诺的论证哪里有漏洞而不符合逻辑,也是破解。
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作者:海天 回复 无闷 留言时间:2016-05-22 19:36:04
无闷:谢谢解说。试图用无穷级数的收敛性来破解这个阿基里斯悖论,实无穷潜无穷,这应该是conventional 思路了吧。我觉得渔翁这里提出的不是如何破解此悖论,而是看待此悖论如何产生的一种新眼光,谈及的时间是作为一个维度,而不是因数。阿奇里斯阿奇里斯阿奇里斯
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作者:海天 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-22 19:21:02
紫儿:渔翁你大概不认识,是我的一个朋友,平时不怎么来万维灌水。
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作者:海天 回复 溪谷闲人 留言时间:2016-05-22 19:16:37
闲人:把紫鸟MM的贴推成二百多层的高楼,你这功劳大大滴。
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作者:紫荆棘鸟 回复 芹泥 留言时间:2016-05-21 20:10:59
对,很同意这段摘录的观点。我一般不支持也不评论任何将这个悖论和任何物理联系起来的解读。我那里就溪谷闲人东拉西扯,我没法劝阻住。威胁将他降为万维第三号数学家都不管用。
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作者:紫荆棘鸟 回复 芹泥 留言时间:2016-05-21 20:04:52
帖子比较长的时候,点击发出,是要隔一阵子才能显示。我也好几次遇到这种情况,还以为丢帖了。万维迟早会被自己的程序员弄垮,呵呵。
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作者:芹泥 留言时间:2016-05-21 14:12:30

gee, 刚刚写了一大段,居然没了,:(

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作者:芹泥 留言时间:2016-05-21 14:10:54

再赞海天MM和紫儿MM的好思考,芝诺的四个悖论搅扰了数学界和哲学界几千年,自然是不那么好辨析的,否则,早如亚里士多德,后如黑格尔、罗素、哥德尔这些哲学和数学大佬也不会对他那么念念不忘了。 有时人们认为解决了,然后又发现没有。 有人甚至认为““时间与空间一样,已被最明显不过的证明为不是实在,而是一个矛盾的假象。“时间与空间一样,已被最明显不过的证明为不是实在,而是一个矛盾的假象。”。

其实,我觉得哥德尔在解析悖论中的一句话挺能说明问题,那就是把“the statement is false”, 改为“the statement is not proveable”.

我看过一段辨析阿乌悖论,觉得蛮好玩的:

许多人在算出了无穷级数之和是一个有限数之后,就以为解决了芝诺的阿喀琉斯悖论,很显然他们把经历无限之点与经历无限之距离混为一谈,其实,数学可以解决的是需要多少时间这个问题,但数学不解决“是否能”的问题。这个说法和哥德尔的论调很相似。我们都知道阿乌悖论是谬论,因为经验告诉我们,阿一定会赶上乌龟,我们只是无法证明,这是谬论而已。

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作者:道还 留言时间:2016-05-20 20:12:08
海天好文。霍金讲的这个二维的狗,似乎没想要它真正活起来,否则眼睛应该画在前端,不是只看见眼眶。二维世界奇怪的地方还很多,如不能转身;二维人骑二维马只能踩在马上;遇到树,马只好爬树,等等。呵呵,这些都是瞎想。但二维动物一旦动起来,消化通道不必一直是分开的。而三维世界里的牛,如果完全静止,即处于死亡状态,庖丁也可以不割而分解之。
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作者:无闷 回复 无闷 留言时间:2016-05-20 17:22:13
啊对不起懒偷得太大,wiki上抄来的二分法悖论需要改写才能等价于无穷级数求和:要从A走到B,先要走到1/2AB,然后再走1/4AB,再走1/8AB等等,这是一个无穷过程,因此永远到不了B,不管B离A有多近。其他不严谨处就不提了。
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作者:究竟 留言时间:2016-05-20 15:54:26
看来大家并不真懂逻辑。之诺的论证并不符合逻辑,因为存在漏洞。他根本没有证明阿基里斯不能追上乌龟,他只是没能证明阿基里斯能追上乌龟。
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作者:无闷 留言时间:2016-05-20 15:51:16
芝诺悖论中的时间因数其实无关紧要,可有可无。芝诺的另一悖论(芝诺悖论是一组悖论)二分法悖论(Dichotomy paradox)就和时间无关。偷把懒抄下wiki的二分法悖论:Suppose Homer wishes to walk to the end of a path. Before he can get there, he must get halfway there. Before he can get halfway there, he must get a quarter of the way there. Before traveling a quarter, he must travel one-eighth; before an eighth, one-sixteenth; and so on. This description requires one to complete an infinite number of tasks, which Zeno maintains is an impossibility。也就是人不可能走到目的地,所以世界是静止无运动的,这当然很荒谬(悖论)。这个荒谬来源于无穷和只能无穷逼近(潜无穷)而不等于收敛值(实无穷)。 甚至芝诺悖论中的空间或距离概念也不重要,大至相当于几何题中的辅助线,芝诺悖论的关键是关于无穷收敛是实还是潜。当我们在物理世界应用无穷级数时,即使是潜无穷也问题不大,因为物理世界的量子化提供了自然截断,就像数学上的奇点,在物理上只要不是裸奇点,物理学家们就放心了。 另外有意思的是阿基里斯和乌龟赛跑悖论并不自洽,阿基里斯和乌龟能跑能爬隐含了实无穷假设,而结论阿基里斯追不上乌龟,芝诺又回到了潜无穷。
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-20 13:23:46
渔翁是谁?好像没见过?
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作者:溪谷闲人 留言时间:2016-05-20 13:22:46
紫鸟,恶人先告状。
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-20 13:13:28
哈哈,我揭发一下,我那园子里象什么相对论,梯度旋度,基本上都是溪谷闲人说的,直到我数次希望他思考e-进制,他才慢慢打住。
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作者:海天 回复 绿岛阳光 留言时间:2016-05-20 12:15:02
绿岛:网上吵架的攻击点,一是人品二是逻辑,不可不察也!纯逻辑问题的争论通常比较好,即使让人凌乱,至少不伤人。周末愉快!
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作者:海天 回复 特有理 留言时间:2016-05-20 12:11:40
谢谢特博!这个“具有现代思维水平的论述”,出自拱墅渔翁,我是帮忙传播。特博对情况5 的发挥甚妙!渔翁兄天天风里来雨里去,神迹见过多少却未听言及。回头我问问,一苇渡江这种事又焉知不靠谱。顺祝Victoria Day快乐!
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作者:绿岛阳光 留言时间:2016-05-20 11:54:03
一碰到逻辑的东西,绿岛的逻辑思维就混乱了,呵呵。葱白两位才女一下!
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作者:特有理 留言时间:2016-05-20 11:19:55

这篇文章写得太棒了!!!

这是一个具有现代思维水平的论述,而且具有旁征博引的充实感。

很明显,按照海天的论述,二者在空间的运动轨迹是不重合的。同样,若考虑到时间维的矢量性,二者的时间矢量也是不同的。这不吝为大家的思考提供了一个全新的平台。

但是有一点要明确,就是二者运动的承托面(地面)也是运动的,那么,其变化就抵消了二者运动变化的不同,结果使得二者在不同时间下的运动轨迹又重合到了一起。也就是实际上二者都是沿着同一个轨迹运动。这就有了第五种情况:

楚人有涉江者,其剑自舟中坠于水,遽契其舟曰:‘是吾剑之所从坠。’舟行,从其所契者入水求之而得。舟虽行远,而剑得神助,恰随舟而动不差分毫,遂复得剑,岂不奇哉!”(情况5:船在水上漂,剑在江中与船相随而动,距标刻之处不差分毫,如此找回失剑,更算奇事一桩)

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