紫荊棘鳥博主的《芝諾悖論解決了嗎？》一文，在萬維引起熱烈討論，從數學，物理學，邏輯學到哲學，不一而足。作為一個圍觀者，我經歷了從不懂卻自以為懂，到似懂非懂，到徹底看不懂的心路歷程。網下與幾個朋友討論，皆是鳴鳳，飛熊般的能人，卻越說越讓人一頭霧水。倒不如一旁掌舟不愛說話的拱墅漁翁透徹，三句話不離本行，一番評說，反正我是聽明白他的意思了。

漁翁兄慷慨，允我代其在萬維發表，拋磚引玉，歡迎各路朋友討論。人家扁舟一葉，有磚請輕砸。

芝諾悖論、刻舟求劍與宇宙維度

萬維各路高人幾日來各顯身手，圍繞《芝諾悖論》各表高論。數列、極限、收斂，梯度、旋度、散度，哲學、物理、數學。各個領域、各種學派，眾說紛紜，各有道理、各有局限。突然想到咱們中國也有一個《刻舟求劍》的成語故事，也跟時空有關。

《呂氏春秋·察今》：“楚人有涉江者，其劍自舟中墜於水，遽契其舟曰：‘是吾劍之所從墜。’舟止，從其所契者入水求之。舟已行矣，而劍不行，求劍若此，不亦惑乎？”

不過呢，咱們中國人還是更實用主義一點，好像僅僅限於粗略的定性分析，對此案例的結論就是“比喻辦事刻板，拘泥而不知變通。”據後人分析，呂不韋引用這個故事是為了勸勉為政者（秦王？）要明白世事在變，若不知改革，就無法治國。迄今為止似乎還沒見有多少人從哲學、物理或數學等別的角度來探討這個問題。

若是作一點數學物理的假設，也許“刻舟求劍”也並不為錯，下列情況都有可能成立：

1. 楚人有涉江者，其劍自舟中墜於水，遽契其舟曰：‘是吾劍之所從墜。’舟止不行，從其所契者入水求之。舟行未遠，而劍不行，求劍若此，庶幾可也！”（海天來翻譯一下 -- 情況1：劍掉下去立刻停船，馬上下水探摸，估計能摸上來）

2. 楚人有涉江者，其劍自舟中墜於水，遽契其舟曰：‘是吾劍之所從墜。’舟行復返，從其所契者入水求之。舟既歸位，而劍不行，求劍若此，庶不虞失！”（情況2：船開了一陣再返回到落劍的位置，劍大概也丟不了）

3. 楚人有涉江者，其劍自舟中墜於水，遽契其舟曰：‘是吾劍之所從墜。’舟止，從其所契者入水求之。舟雖行矣，而劍亦行，以其舟適載磁石以貨，故召鐵劍於舟底，得失劍若此，亦天意也！”（情況3：恰好船上滿載磁石,把劍吸住了。船兒走，劍也走，從落劍的位置來找，順理成章）

4. 楚人有涉江者，其劍自舟中墜於水，遽契其舟曰：‘是吾劍之所從墜。’舟止，從其所契者入水求之。舟雖行遠，而江流亦速，劍得水運，恰尾其舟左右，遂復得劍，豈不奇哉！”（情況4：船在水上漂，劍在江中游，不離左右，如此找回失劍，也算奇事一樁）

......

如果楚人想要找回失去的劍，就必須重新在時空中與他的劍重合到一個點上。這是古人和今人都同意的觀點。在一般的時空觀里，這應該也是正確的結論吧。當然了，切莫引入“色即是空，空即是色”，“有便是無，無便是有”的超級哲學。

回到“芝諾悖論”：“假設阿奇里斯速度是烏龜的10倍，但只要烏龜先跑，阿奇里斯就永遠追不上。比如說烏龜先跑100米，當阿奇里斯跑完這100米時，烏龜已經在阿奇里斯前面 10米；當阿奇里斯跑完這10米時，烏龜已經在阿奇里斯前面1米；當阿奇里斯跑完這1米時，烏龜已經在阿奇里斯前面0.1米……因此結論是，儘管阿奇里斯 和烏龜之間的距離越來越短，但烏龜卻永遠在阿奇里斯前面。阿奇里斯永遠追不上烏龜。”（原文引述自紫荊棘鳥博文《芝諾悖論解決了嗎？》）

在芝諾的時空參照系中，阿奇里斯和烏龜的運動可以簡化為一條直線上兩個點的同向相對運動。烏龜點在阿奇里斯點的前面，阿奇里斯點必須歷經（重合）先前的所有烏龜點後才能在同一時刻與烏龜點重合，也就是追上烏龜。實際上，即使阿奇里斯和烏龜走的都是曲線，芝諾悖論的陳述形式也一樣成立。而芝諾在他的陳述中也早已包括了時間因素。

簡言之，芝諾悖論可以總結為，假設兩個物體沿同一空間軌跡追逐運動，尾追物體必須歷經先導物體經歷的每一個軌跡點，才能最終在同一時間點和同一空間點上與先導物體重合，進而追上先導物體。相信這是一個比較正式的對芝諾悖論的複述。

可是這裡有一點點細微的問題，那就是時間和空間的共存關係。雖然我們假設兩個物體的空間軌跡除了時間點的不同，是重合的，但是這是處在四維空間中的人類的肉眼所見和由此產生的思辨假設。如果我們相信時間是一個獨立的但又是相關於空間的維度，那麼在“事實上”，並不存在“兩個物體沿同一空間軌跡追逐運動”這樣一種可能性。雖然在人們的眼睛裡，兩個物體完全可以沿同一空間軌跡追逐運動，比如在鐵軌上的前後兩列火車。但是，從一個時間和空間的複合角度來看，這兩個物體完全是沿兩個不同的時空軌跡在運動，並不存在着尾追物體必須歷經先導物體經歷的所有時空點才能追上後者的要求，而實際上，尾追物體也不可能沿着這樣一個軌跡運動，因為“舟已行矣，而劍不行，求劍若此，不亦惑乎”。雖然在人們的眼裡，看見的是一個物體追上了另一個物體（阿奇里斯沿着烏龜的足跡追上了長壽之星），但是在一個更完備的多維空間和數理模型中，也許更確切地說，是阿奇里斯沿着自己的時空軌跡在某個點上踩到了烏龜之路的某個點，而恰在此時此刻，阿奇里斯和烏龜在空間的點也是重合的。除了此時此刻之外，“人不能兩次踏進同一條河流”，而阿奇里斯和烏龜也不可能經歷同一空間而僅有時間上的差距。

根據這樣一個假設的理論，芝諾悖論的前提既不成立，後續的推論也就無法證實。在芝諾生活的年代，人們對時間和空間的關係的理解應該也是比較直觀。所以，他的理論看似無懈可擊，後來的思辨和探討也都是從數學和哲理的角度進行。

而從另外一個角度來講，如果人類生活的世界不是我們現在所知的這個樣子――地球自轉，地球繞着太陽轉，太陽隨着銀河轉，整個宇宙在膨脹－－而是整個體系無運動，只有時間往前流，那麼，在地球上也許真能找到芝諾需要的那個參照系：阿奇里斯能夠沿着烏龜的足跡去追趕這雍容慢行的小東西，這個軌跡是唯一的一條空間曲線。在軌跡上的任何一點看來，假如烏龜在T經歷此點的話，阿奇里斯只能在T+Δt趕到同一點。無論Δt能夠變得多小，Δt永遠不會變成0。也就是阿奇里斯永遠趕不上烏龜。

很遺憾的是，人類也許永遠也無法創造出這麼一個實驗環境，因而我們也許永遠也無法證明芝諾悖論是否會在那樣的一個世界裡變成真理。

海天評論：

漁翁兄的道理講得有點長。我根據自己的理解來濃縮一下，大概是說，芝諾在“龜兔賽跑”的表述中，把時間這個維度壓縮進一維的空間尺度概念中了，而我們常人的思維，是基於四維時空的感受（即時間加三維空間）。不同的維度有不同的邏輯，所以芝諾的一維邏輯在四維空間中成為悖論。

這個從一維到四維空間的矛盾，不由得讓我想起《時間簡史》中看到的一個二維狗：

“二維空間似乎不足以允許像我們這樣複雜生命的發展。例如，如果二維動物吃東西時不能將之完全消化，則它必須將其殘渣從吞下食物的同樣通道吐出來；因為如果有一個穿通全身的通道，它就將這生物分割成兩個分開的部分，我們的二維動物就解體了。類似的，在二維動物身上實現任何血液循環都是非常困難的。”

-- 霍金《時間簡史》

二維狗從邏輯上就無法生存，一維烏龜追不上自然也只能是個悖論。如果我們能夠進入更高維度的時空，看待四維世界，必定能推出無數新的悖論。

所謂悖論，一非謬誤，二非詭辯。悖論的存在和難以駁倒，表明我們思維中某些最基本的概念和原則遇到了挑戰。