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网络日志正文
阿基里斯是怎样追上乌龟的? 2016-05-22 21:23:53

5月22日,是我在万维开博的纪念日,循例本该写点什么,尤其是在心绪散乱,退隐之意日盛的今年。可是春光实在太好,呆在屋子里敲字有违本心;就此挂笔暂时休博,还有几篇欠债没有完成,走也不是时候。干脆就不特地写什么了吧,顺其自然。

可是开博4周年,园子里好歹也不能无所表示。幸有吾友拱墅渔翁,孜孜不倦仍要探讨几句时空、无限、逻辑这等形而上的问题,暗合“万维”宇宙,索性借花献佛了。


拱墅渔翁关于芝诺“阿基里斯悖论”的补充讨论

前文请见:一维乌龟二维狗,芝诺刻舟渔翁瞅



(左图)假设阿奇里斯和乌龟都从一个巨大的静止圆盘中心出发,向圆盘边缘行进。静止的小系统加上“绝对的”、也是固定的时空参照系(古希腊的宇宙观?),给了芝诺立论的基础。

008.jpg(右图)假设这圆盘是我们的地球的一个简化模型,运动的小系统加上假设的静止的时空参照系(不准确但已经引入了足够的复杂度),阿奇里斯已经不可能跟着乌龟跑了,乌龟经历的每个时空点都已成为过去,往事不可追矣!


在绝对时空参照系里,阿奇里斯和乌龟的运动轨迹是两条有可能相交的曲线,这是小系统外宇宙观察者的视点。所以芝诺眼里的跟踪追击问题,在考虑到时空的变化因素后,其宇宙系统过程更像是一个轨迹相交问题。而一旦跳出了亦步亦趋的跟踪和逼近逻辑,整个物理过程和模型就发生了变化,人们就不再需要被线性的极限和收敛等概念所束缚,所谓“跳出三维(X,Y,Z)外,不在一线(芝诺的龟跑直线)中”。


在这样的思维方式下,在宏观的宇宙参照系和高维时空框架里,沿着芝诺的龟爬线路追击与沿着任何一条别的线路截击乌龟没有实质上的区别。在前述模型中,即使阿奇里斯沿着芝诺眼里的乌龟踪迹追赶,但是变化其追赶速度,我们很容易看出有无数条可能的宇宙时空轨迹能让阿奇里斯在同一个“绝对的”时间点赶上乌龟


更广义化一点,似乎可以总结为:在时空之中,任何两个或多个物体,既可以共存在并行的时空轨迹上,也可以在某一时空点上交汇甚至合而为一(轨迹合并),但却绝对不可能沿着同一空间轨迹而以不同参照时间运行,因为在运动的宇宙中,此时的空间已不是彼时的空间了!


(看过《Back to The Future》的网友,是不是觉得这个观点有点熟悉呢?时空在某些点上可以分叉和汇合。 )

1464022264582492.jpg

有趣的是,当我们从更高维度把阿奇里斯追乌龟问题表述为时空轨迹接近并相交问题后,同时可以自然地引入网友提到的二分法悖论:根据这个悖论,阿奇里斯和乌龟的时空轨迹是永远也不可能相交的,因而,阿奇里斯还是不可能追上乌龟。


本文的基本用意是试图用扩展了的时空观来分析芝诺的追乌龟问题。既然追乌龟既牵涉到时间也牵涉到空间,这样一种方法显然也是合适的。人类现有的哲学、逻辑和其它理论都是建立在我们这个宇宙的物理特性基础上的,如果恰巧有某个“平行宇宙”其特性符合芝诺的理论模型,比如时间和空间可以无限分割,宇宙本身是固定而静止的,只有时间在往前运行,那么,我们眼里的这些悖论,也许就不是悖论了


可惜,根据现有的理论,我们这个世界的人们,永远也不可能访问另外一个“平行宇宙”来证实这样的假设。

浏览(1743) (0) 评论(47)
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文章评论
作者:海天 回复 ladybug 留言时间:2016-05-28 19:24:38
呵呵,瓢虫MM是亦正亦邪,“邪”是黄老邪的那种,有点黄蓉的风格啊!
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作者:ladybug 留言时间:2016-05-27 14:59:06
哈哈,看到你在特有理那儿的留贴了!你运用到的几何物理的特性的说法很给力!你说得对,我们要保护好一个生态。但邪恶不会自动消失,因此必要的“以邪制邪”还得适当的实施。
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作者:海天 回复 晨星 留言时间:2016-05-26 09:10:57
渔翁不认为你看懂了他的论述。他说的是大时空观,你提系统内力,根本南辕北辙。<br>不管什么话题或争论,说到一定时候人们自然会停。你这段评论,尚不足以为这次阿乌悖论的讨论划一个句号,自己觉得认识到家了就好。<br>
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作者:晨星 留言时间:2016-05-25 15:48:05

但愿这是这场悖论大战的最后一篇。

这位渔翁连图带文讲了不少,但似乎未讲到点子上。这转动着的圆盘上的运动引出的格外的力叫柯氏力,全称柯里奥利力。描述的是受旋转体影响在此平面上沿直线运动的物体的路径发生偏移的现象。这个理论是大气环流学的基础,学物理的很多人知道,但对些个数学人士就勉为其难了,以致说出即使在这样的条件下,只要有所谓轨迹,后面的就可以加快速度赶上的外行话。打个不恰当的比喻,在一处公路弯道处,一位喉急的小伙子想驾车以10倍的速度追赶分手的姑娘,当姑娘开车以正常速度转过弯去的时候,这小伙子十有八九要掉到边沟里,还能沿着所谓姑娘的轨迹追上去吗?当然这与柯氏力还不尽相似。

不过用这样的理论来驳斥“阿基里斯悖论”纯属高射炮打蚊子。龟兔相争再激烈,那不是在旋转的圆盘上进行的。相对于地球自转,这场小小的比赛不可能受到多少柯氏力的影响,否则兔子也要掉到沟里去的。

解决这个悖论的关键许多网友已经提到,这是数学家不懂物理学的理。既然在数学王国里徜徉,就在那10的负N次方里别出来,如果非要以乌龟兔子作例,那就已经回到物理现实中来。即使是高速摄影拍出来的追逐图,也是一个个离散的定格。那么这些定格不会追随你的无穷数列走下去的。特别是用到了“永远”,这又纯属物理概念,数学上收敛的快慢是相对的,但也没有给出任何物理上的时间意义。在现实的时间框架与离散的某个观察点上,兔子已经超越了乌龟。两岸龟声啼不住,兔子已过万重山。

不管数学是多么抽象,象是独立于现实之外的象牙之塔,但归根结底还是为现实世界服务的。悖论之所以成为悖论,就因为它违背现实,而且很容易看出它的荒谬。

如果再仔细阅读此番争论的起始篇“芝诺悖论解决了吗”,咱倒是读出另一番味道:数学的发展从有穷到无穷,从离散到连续,在今天进入计算数学时代又再返回,从微分到差分,从积分到求和与有限元,误差理论,人们走的是一条认识再认识的螺旋上升之路。从这个意义上来说,咱们看到了这场争论唯一的一点积极意义。

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作者:海天 回复 芨芨草 留言时间:2016-05-24 21:10:47
芨芨草:水涨船高。假设如你所说,大家都起高楼,那还不是一回事。水不在深,有龙则灵;楼不在高,有料就成。
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作者:海天 回复 木桩 留言时间:2016-05-24 21:04:30
木桩MM:唉,MM你的话和画让我感动得眼泪都快落下来了。我还能再说什么呢?只能深深感谢MM的厚爱。我没有别的很多优点,一有自知之明,二有识人之能。与MM直接交流虽不多,我却深知MM精深的数学造诣,精湛的艺术修养,性情上的纯洁与高贵。万维还有很多才华出众,情操优美的姐妹,都是各有千秋,大家能相识相知,是我在此间流连最珍惜的东西。人间聚散都是缘,只愿我们有缘结谊的这一拨能长久地相互守望。再谢MM!
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作者:海天 回复 芹泥 留言时间:2016-05-24 20:38:06
“你有很多东西要写,且写不完呢”-- 唉,MM怎么这么了解我呢?我的确是在想写又不想写之间纠结,所以有点烦。要不你起社吧,我保证粘着不休。
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作者:芨芨草 回复 海天 留言时间:2016-05-24 17:47:15
海博主,俺较得,万维这次改版,留言不分段,就是要网友们把原来可以一次贴出来的留言分几次贴,其实质是鼓励大家起高楼。是不是这样地?
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作者:芨芨草 留言时间:2016-05-24 17:44:05
紫姐姐,龟兔赛跑可以认为引出了数学的极限理论,那个理发师的悖论能引出什么思考呢?
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作者:木桩 留言时间:2016-05-24 17:01:16
海天妹妹,我贴了2 次,都不显示,我再等等吧,我有副本存着。
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作者:木桩 留言时间:2016-05-24 16:04:22
海天妹妹,你可千万不能说要走哦!连休息也不能说,怕你休息了太舒服,忘了回来。万维博客不能没有你,你和紫鸟儿,芹泥姑娘,三大美才女,三角鼎力,各有千秋,万维一道风景线。今后你们仨,谁也不准说休博的事。我是新来的,妹妹可能不知道我,但我知道你,你不仅文采飞扬,就连评论跟贴也出彩和惊艳,你讲的乌龟之类的东东,太高深了,我听不懂,觉得自己愚笨,更是葱白你们了!我是“海粉”。不知道怎样说话有力,只好拿出看家本领,画张图送给你,祝你生日快乐!
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作者:芹泥 留言时间:2016-05-24 13:39:27
哈哈,我们的意思是要你不好意思抛弃我们休博。你有很多东西要写,且写不完了。<br/>另,祝你生日快乐。
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作者:海天 回复 老冬儿 留言时间:2016-05-24 12:37:13
谢谢冬儿!嗨,你这样一说,我要是不歇一阵子都不好意思了 问题是还有两篇欠债,不写完走也不妥帖。亚历山大呢!
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作者:老冬儿 留言时间:2016-05-24 10:31:53
唉呀来晚了,看见标题是追乌龟俺就闪了,懒动脑子,没有想到是海天的生日,补上迟到的生日祝福,谢谢你这几年给我们带来的好文和精彩点评! 休息一下,不要太久哈.
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作者:海天 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-24 08:50:41
嗯,成功,先是分成了段,最后一句另起了行。 <br>究竟博好像比较懂逻辑学,让我们期待他来进一步开示解惑 <br>
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作者:海天 回复 紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-24 08:47:01
<p>紫儿:我来试试这评论中是否支持html。先插个段落: </p><p>不管怎么说,网站怎么能指望读者上网发个评论,还得自己写代码?<br>用户体验太差了<br></p>
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作者:海天 回复 绿岛阳光 留言时间:2016-05-24 08:40:32
绿岛:还惦记那事儿呢?公司不是交给你了,连诗带文,经营得挺好嘛!
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作者:海天 回复 昭君 留言时间:2016-05-24 08:38:35
昭君:唉,有点觉得不好意思了,我可不是想玩消失啊!就是想歇一段调整一下,不会真正离开的。感觉MM隐居了那么久,回来后神定气闲,宠辱不惊,力作频出,很让我羡慕。
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作者:海天 回复 远方的孤独 留言时间:2016-05-24 08:34:00
远方君:很高兴看到你!知道自己的小文还有您这样的高士愿意偶尔光顾一读,是很鼓舞人的一件事。真心话。谢谢!
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作者:海天 回复 芨芨草 留言时间:2016-05-24 08:29:58
芨芨草博:谢谢帮我顶楼!关于评论中如何加空行和“吃饱了撑的”,标准答案请参见紫鸟博的回复。<p>我自己不论吃饱了还是饿着肚子,都不喜欢猜灯谜,一是因为不知道怎么猜,二是因为谜底揭晓之际,也往往觉得没多大意思,设谜的卖弄小聪明而已。悖论却不是这样,且不说提出悖论的,往往有精深思考的先哲,单说后世普通人听说了这些悖论,认识其“悖”并不难,而理解破解则非常烧脑,要求人去思考一些很本源的东西。</p>
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作者:海天 回复 甯宁寧 留言时间:2016-05-24 08:19:24
宁姐:真给面子,这篇“乌龟”没有让你绕开走 :-) 我意识到这“隐退”二字用得不妥,其实就是想给自己放假的意思。
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作者:海天 回复 芹泥 留言时间:2016-05-24 08:16:22
芹泥:我还纳闷呢,你这阵子在忙什么,好像也没离开,却又不见新作。我是有点乏了,想歇一阵子。
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-24 07:15:29
我也没看明白究竟同学为什么说“逻辑不容许无穷步骤”
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作者:紫荆棘鸟 留言时间:2016-05-24 06:08:52
要在评论帖里显示空行,加个 html tag就可以:[br] (将中括号换成尖括号 < >)。万维这程序就这样,经常变来变去,没个准。文章和评论有时支持 html,有时又改得不支持。
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作者:紫荆棘鸟 回复 芨芨草 留言时间:2016-05-24 06:06:24
不是的,讨论 Zeno 悖论不是吃饱了撑的,因为涉及到数学的 foundation。不过对我们这样的普通人而言,是有些吃饱了撑的……
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作者:绿岛阳光 留言时间:2016-05-24 05:47:42
哇!祝贺海天开播四周年!卖油郎千万不能再玩隐退呀,隐退了俺们的国际有限公司股票就打水漂啦!呵呵呵。
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作者:昭君 留言时间:2016-05-24 04:10:48
看到紫儿和海天的前面两篇,有点云里雾里,所以不敢评论。不过还是要大大地葱白一下两位才女!另祝海天开博四周年!千万别消失,没有你的话万维会无趣的多。
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作者:远方的孤独 留言时间:2016-05-24 03:07:44
现在忙于工作,不常来万维。偶尔来还是会读读一些博主的文章。海天博是其中之一。但愿以后还能读到海天博的作品。悖论paradox:a statement or proposition that, despite sound (or apparently sound) reasoning from acceptable premises, leads to a conclusion that seems senseless, logically unacceptable, or self-contradictory.智者关注悖论本身也是very 悖论的,但是却很能说明人的需求的多样性的。谢谢!
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作者:芨芨草 留言时间:2016-05-23 22:30:51
参加讨论悖论的都是大知识分子,一般人大概连悖论是什么意思都不知道。我站在一个民工的角度搅和搅和这个“悖论”。俺较得,这个“悖论”就是吃饱了撑得没事干,让大家浪费时间。这就和猜灯谜一样,谁出的灯谜大家都猜不出,谁的水平就最高。以前那些文化人为了表明自己比同行和弟子都高明,就想出很多题目让大家解答。顺理成章的题目都被答出来了,莫名其妙、似是而非的题目谁都答不出来,于是起了个名字叫“悖论”,意思是不是俺们水平低,是这些题目本就没有答案。后来人在文献中发现了这些“悖论”,为了显示比前人聪明,就用了大把的时间想找到合理的答案,岂不知根本就没有答案,白浪费了时间和宝贵的脑细胞。各位大师们别用砖头拍俺啊,俺就是一个民工。
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作者:芨芨草 留言时间:2016-05-23 22:26:18
都不行。空一行,贴上去后就是空一格。
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