我们已经说过好多次月付的本金和利息是每个月在变化的，本金比例会逐步增加，到最后一个月，99%都是本金。每个月的月付来了，扣除服务费和保险金以后，当然连本带利一起给投资人，但管理机构怎么知道每个月该付多少，什么时候付完了？在《假“公”济私》中我们看到，即使家里只有一本账，勤俭持家人士用多余的钱付过贷款后（Curtailment），如果不遵照专家建议，也很容易迷失方向。现在贷款公司或管理机构由几十万甚至几百万本账，你怎么管得过来。现在当然用电脑，但你就要“教”它怎么做，要给它公式。

            这种公式由一本叫PSA的标准手册（Handbook）给出，出版机构好像也不是政府机构，感觉好像是这一行的协会之类的机构，这儿标准加了引号就是说还不够标准。里面的东西大部分大家也都知道，偶尔要用一下有点类似于有生字要查一下字典。有一次我因工作需要翻阅了一下，发现了一点小问题。为读懂下面这段文字，读者需要复习一下第9篇《四两拨千斤》中的A_i （剩余因子）和r_i（存活因子）。尽管大部分人说起这A_i习惯说这i是第几个月，比如A₅₀ = 0.986就是说第50个月月底的剩余金额是上个月98.6%。实际上正确的说法是离贷款的终止日期还有几个月，我们称为Maturity（M）。假定15年贷款，这就是说倒数第131张支票可使金额减少1.4%， 这儿M就约定为130。。如果没有勤俭持家人士有余钱就还房贷的做法，这两者是一致的，否则就会有差别。假如你以前多付过使终止日期提前两个月的钱（参看第13篇《假“公”济私》），第48张支票就成了你的倒数第131张，就是说付第48张支票时M=130。这本专业的PSA自然是专业语言，是倒着说的，但是它根本没有提这儿的A₅₀中用的M假定屋主没有多付这两个月。仔细的如我会自己调整，但大部分数据管理人员是不会管这些的，读者中如有同行不妨可以去测试一下本公司的有关人员（不要暗示）。

            上面这些手册中都是用令人头痛的含幂函数的公式表述的，我这儿用表格，相信可以减少头痛。我们还是用第14篇中的15年贷款为例，在第60个月月底勤俭的屋主在原来月付的基础上又多付了25,000。

Month	实际账目			根据公式账目
	月底本金	偿还利息	偿还本金	"月底本金"	"实际"偿还本金
59	229,411.84	1,153.95	1,377.62	229,411.84	1,377.62
60	203,027.33	1,147.06	26,384.51	203,027.33	26,384.51
61	201,510.90	1,015.14	1,516.43	201,788.45	1,793.98
62	199,986.88	1,007.55	1,524.02	200,267.53	1,804.67
63	198,455.25	999.93	1,531.64	198,739.05	1,815.44
64	196,915.95	992.28	1,539.29	197,202.97	1,826.31
65	195,368.96	984.58	1,546.99	195,659.24	1,837.27
66	193,814.24	976.84	1,554.73	194,107.84	1,848.33
67	192,251.74	969.07	1,562.50	192,548.73	1,859.49
68	190,681.43	961.26	1,570.31	190,981.87	1,870.75
69	189,103.26	953.41	1,578.16	189,407.21	1,882.11
70	187,517.21	945.52	1,586.05	187,824.73	1,893.58
71	185,923.23	937.59	1,593.98	186,234.39	1,905.15
72	184,321.27	929.62	1,601.95	184,636.15	1,916.83

上面表中列出每个月应付利息本金及月底剩余金额。上月底的实际本金，两者都用实际数据。利息是根据上月底的实际本金计算的，所以两者是一样的。到第59个月为止，PSA公式当然和实际账目一模一样。第60个月还是没问题，因为A₆₀没有变，月底本金比公式预计的少了25,000。下面一个月就开始出问题了，因为多付了25,000，月付中本金比例已增加不少，根据很容易理解错的公式，A₆₁还是老样子，但实际的A₆₁已经减少了好多。所以公式就认为屋主比要求的多付了约280，这些钱根据规定是要和规定的月付一起给债劵投资人的。这个差距会逐月增加，而且越来越快，到第72个月时，已经差了310多。到第162个月时，即倒数第2个月，两者差距已近2,300。

            当然，管理机构（Trustee）不可能一直把钱这么给下去的。即使公式错了，每个月归还的本金数还是会按照实际付出数量如实记录下来的。一旦付清，计算机应该会阻止你继续付下去。如果本金按照“正确”公式支付，到第144个月本金就已付清，提前了整整一年半。这样就会出现两方面的问题。首先，因为屋主实际上尚未付清，你必须设法去筹措这笔钱，是要付利息的。直到一年半后，你才能把自己借的这笔钱付清。第二，你人为地加快了投资人的本金归还速度。这个例子中的6%利率，扣除保险费和服务费，投资人大约可以拿到5.5%。如果当时市场的投资回报高于5.5%，投资人很高兴，悄悄地拿去投资，赚这个差价（Spread）。如果比这低，他就可以告你，维护自己的权益。

            为什么这种可怕的事情好像并没出现？或许给投资人支付本金的数量是用其他公式计算的，比如第14篇《“涂改”数据》中的UPB计算公式，根本没去碰那些头痛的A_i。另外，《四两拨千斤》中提过，投资人买的债劵是由好多房贷捆绑而成，少则一两千，多则一两万。这么多人中，一下子多付25,000的实在是凤毛麟角，所以这些勤俭持家人士或赌场好运人士偶尔多付25,000对整体影响非常小。或许本金提前付清了一两个月，糊里糊涂的投资人（参看《假公济私》）并没察觉，或者不愿意为这一点点小钱去耗费时间。我在后来发表的文章中对此给出例子进行了分析。应该指出，这批房贷中有人搬家或重新贷款（Refinancing）不会影响PSA公式的准确性，剩下的那些“越狱”没成功的（《四两拨千斤》中的语言）贷款终止日期没有任何改变。另外，多付25,000的屋主照样有可能搬家或重新贷款，所以没等这误差到达灾难性的可以察觉的地步，本金就真的已经付清了。

            关于这些分析的文章最初刊登在华尔街的一份通信期刊《Mortgage-Backed Securities Letter》。后来华尔街一本丛书向我约稿，我就把这篇作为其中的一个章节。