写了这么多篇，可以吸引点眼球的题目都已经用完了，这篇也是讲比较，取名就偷点懒了。上一篇比较两个大小不一样，基本特征分布不一样的样本空间，但两个都认为是大样本，A的总人口能放大就是基于这一点，将B的总人口按比例缩小也是一样的。这次我们需要将一个小样本与大样本比较。

        我们要研究一个局部地区的死亡率并建立模型，白手起家比较辛苦，所以想和一个大样本加以比较。一般来说，这个地区和别人总是不太一样，否则就没有必要单独研究了。因为和别人不一样，所以特征分布会相当不同，就是说不能直接比较。如果我们硬套上一篇比较两个大样本的方法，裁剪下来，大样本可能没什么，但小样本是放大过得的，绝对人口会所剩无几。这个大样本一般非常大，比如是整个国家，我们完全可以假定不管人口加倍还是减半，都不会影响其总体死亡率。而这个小样本又是如此之小，所以我们要尽量保留，别说20%，我们连5%，甚至1%都不想损失。一般来说，小样本的人口增减会对它的统计性质产生影响，象死亡率这种小概率事件，小样本测量值往往会偏低。

            在我们公司的实际情况，大样本可以是好几百万的所谓标准房贷，而小样本一般是数量为几万或十几万的新产品。对于大样本，不说了如指掌，但至少是相当熟悉。因为小样本是新产品，大家对模型根本没有底，只好参考标准房贷的老模型，但要参考就要对两者行为都有所了解。如果只是定量差别，我们往往使用同一模型，只是把模型系数修改一下。如果有定性差别，那就要另起炉灶，但两者的差别对新模型也会有很大帮助。现在问题就是怎么比较，不严格的比较很可能会误导你，比如《第三者的模型》中的房贷金额因素。

            现在回到人口模型，比较两个人口数量相差悬殊的样本的死亡率。上面说过，这个“大”样本非常大。我们可以进一步假定，其实是必须假定，不但整个样本人口按比例改变不会改变行为，连其中的每个组都如此之大，按比例改变人口也不会改变这个组的行为。这就暗示我们把大样本各组人口比例裁剪的和小样本一模一样， “没有条件创造条件也要比”。即使小样本只有一个人，我们也把大样本相应的组按比例保留下来。经过这番裁剪，我们可以把苹果和苹果相比了。你如果喜欢橘子，说橘子比橘子也无所谓。

            在很多情况下，小样本本身很自然地是大样本的一部分，这时候你必须把小样本本身刨去。自己和自己比差别当然是0，但这个0和其他的0是不一样的。一般来说，大样本在每个组的人口都是很多，但偶尔也会有几个组，大样本人口很少，在实际操作时，我们还是照样保留裁剪，这就是在学校和在公司搞研究的差别。食品和药物人命关天，这样做可能食品药物管理局（FDA）那儿过不了关。对于房贷研究，我们不必担心这么多，更何况平均是带权重的，这些组的影响一定非常小。一旦大样本相应人口为0，我们还是只好割爱，造一个数据毕竟还是不允许的。一般来说，这样裁剪之后，“割爱”的百分比不会超过1%。如此比较之后，如果两者还有统计意义上的差别，那就是说，两个样本确实不一样。

            对于房贷的Prepayment来说，我么可以采取更简洁的分组方法。这Prepayment，最重要的因素是（房贷）年龄和利率，第10张支票就表示房贷年龄是10个月。我们先讨论分组的一般原则。组分的越细，比较就越是准确，但是数据就很容易变得支离破碎，这样会带来两方面的问题。一是每组人口太少，会影响统计可靠性。第二是分的很细以后，割爱的百分比可能会增加。所以这这如何分组，完全凭经验，根据数据的具体情况，以及研究目的来决定。对于以年龄分组的，一般以季度为单位，对于一些极特殊的房贷产品，比如商业房贷，以年为单位也是有的。行内人士一致认为，正负差一个月对研究Prepayment不会有本质影响。但如果分组的目的是大小样本间的比较，以月为单位会带来意想不到的好处。房贷利率在一个月内的变化一般不会很大，所以或许就根本不用分组了。问题是大小样本的的中位数或平均值一般是不一样的。根据经验，利率差别在正负0.25%以内，房贷的行为不会有显著差别。现在假定小样本平均值是6%，大样本是5.5%。因为大样本是如此之大，我们只要把大样本在6±0.25%区间内的房贷和小样本比就可以了。或许这只采用了40%的房贷，但由于是大样本，这已经是个很大的数字了。如此一来，尽管组分的不算很多，但对于这两个因素的比较却已经十分精确。如果两者存在差别，那就需要考察两个方面。首先，两个样本对于这两个最重要因素的依赖关系完全可能不一样，就象以前所说女的平均寿命就是比男的长。其次，其他因素可能有影响，比如信用评估，贷款房价比值，贷款数额等等。这种很严格的比较就能帮助你把这两个因素分离出来，否则的话，连这两个基本要素的分布都不一样，看出有差别你又能怎么样。一旦分离出来，这进一步的分析就需要很专门的知识和技术，已经远远超出本短文范围。

            第16篇在网上贴出后，有读者问，研究死亡率用寿命表（Life Table）不就可以了吗，干吗这么麻烦比来比去的。首先，我的问题是从房贷中来的，这房贷牵涉到人类的行为，比死亡率要复杂的多。如《前言》中所说，人口模型和房贷高度类似，比较容易描写，而且不必涉及公司业务细节。所谓寿命表，只是一种平均，是保险公司的参照体系而已。寿命表只考虑了年龄一项因素（有时会男女分开列表），其他因素只考虑了平均效应，真正的保费需要在这基础上加加减减得出。加减多少，就是要通过种种比较，可能也包括这两篇所陈述的方法。假定文革后中国恢复人寿保险业务，但一开始百废待兴，并没有在所有地区同时开始。后来他们决定把业务扩展到青海，青海的人口死亡率很可能和其他地区不一样，你必须通过科学的比较才能知道有无差别，差别是多少，这基本上就是这一篇中大小样本的比较。假定又过了几年，他们又决定把业务扩展到西藏，他们可以把西藏的死亡率和已经有些经验的青海相比。人们因为有理由期望西藏青海的死亡率比较相像，所以西藏的保费在青海的基础上作微调就比较容易和准确，直接根据中国人口的“平均”寿命表作调整会比较不容易。青海和西藏比就类似于上一篇中的两个“大”样本比较。其中的青海在与中国“平均”寿命相比时是“小”样本，但和西藏相比时就成了 “大”样本。青海作为小样本时是全部保留，不做裁剪的。但和西藏相比时，就必须对两者同时进行裁剪，使他们同时成为苹果或橘子。