有一個橢圓

x² + 9y² = 81

 橢圓外有一點（27，3）。從這點向橢圓作切線，求這兩點的斜率。

出題老師手下留情，y=3顯然是其中一條。另一條對我來說有點頭痛。

不知道算不算提示，這題是在教授隱函數求導以後。

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我知道自己能解出這題，但用什麼方法最好，我真的不知道，即使40多年前上大學時候估計都要花好多時間。思考良久（真的），我抱着試一試的想法，試了這個方法。

前面說過，這題是在教授隱函數求導以後。橢圓方程（不要和費馬大定理中的橢圓函數混肴）兩邊對x求導，

2x + 18yy’ = 0 è y’ = -x/9y

橢圓上任何一點（x，y）都是這個斜率。

我們將點（x，y）與（27，3）連接，直線的斜率為

(y – 3)/(x – 27)

如果這點正好是切點，兩個斜率就必須相等。

-x/9y = (y – 3)/(x – 27)

交叉相乘去分母，

-x(x-27) = 9y(y-3)

è 9y²-27y+x²-27x = 0

è (9y²+x²) – 27y - 27x = 0

è 81 – 27y – 27x = 0 è y = 3 – x

將這個簡單關係代入橢圓方程

x² + 9(3-x)² = 81 è 10x² - 54x = 0 è x=0 或者x=27/5

x=0就是那條y=3的水平線。從方程得知當x=27/5，y=±12/5。

目測可知，我們必須取負號，y=-12/5。代入前面得到的斜率，

y’ = -x/9y = 27/108 = 1/4

結果太簡單，我有些害怕，就又代入那條直線方程，結果確實一樣。

以我的老習慣，我就開始想，如果老師在橢圓外任取一點（c，d），結果會是什麼？

假定現在橢圓方程為

x² + a²y² = b² (a>1)

從（c，d）向橢圓引切線，斜率是什麼？

y’ = -x/a²y

(y – d)/(x – c)

è -x/a²y = (y – d)/(x – c)

è -x(x-c) = a²y(y-d)

è a²y² – a²dy + x² – cx = 0

è (a²y²+x²) – a²dy – cx = 0

è b² – a²dy – cx = 0

所以xy之間的關係還是非常簡單，但是將這個（x，y）關係代入橢圓方程後，所得到的xy值就很複雜了。

這個問題以前肯定碰到過，但是被想象中的xy複雜關係給嚇退了。40多年後發現切點的xy關係是如此簡單，可算是意外驚喜了。