航海者一號（Voyeger I）告別人類，進入宇宙深處，不勝唏噓，以舊文一篇紀念。

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科學家在考慮如何通過數學與外星系文明交流時，第一個想到的就是勾股定理，他們認為這是文明社會數學發展的基礎。

――題記――

50年代初，著名科學家錢三強率團出國考察，團員有華羅庚，趙九章，貝時璋等人。旅途閒暇，有人擬了“三強韓趙魏”上聯求對，華羅庚以“九章勾股弦”答對。這上聯 “三強”既是錢三強的大號，也是戰國時期韓趙魏三國的簡稱, “九章”是我國古代數學著作，其中首次記載了我國數學家發現的“勾股定理”，又剛好是代表團成員著名物理學家趙九章的大號。

“三強韓趙魏，九章勾股弦”, －求—答真是天衣無縫，珠聯璧合。

勾股定理描述了直角三角形三條邊之間的定量關係，即兩條直角邊的平方和，等於斜邊的平方，其應用日常生活中隨時可見。比起費爾馬猜想，哥德巴赫猜想，黎曼猜想等，這只能算是下里巴人了。它很早就被《九章算術》記載，至少在那時就不是猜想，而是定理了。但對於非專業人士及大部分專業人士，它的重要意義遠遠超過上面諸位陽春白雪。歷史上最早關於無理數的討論，就起源於邊長為一的正方形的斜邊，sqrt(2)。費爾馬猜想，或稱“費爾馬大定理”，起源於勾股定理的整數解，約20年前由普林斯頓（Princeton）大學的Wiles 教授解出，從而真正成為定理。

科學家在考慮如何通過數學與外星系文明交流時，第一個想到的就是勾股定理，他們認為這是文明社會數學發展的基礎。儘管有人擔心外星人所在是非歐空間，勾股定理在那兒不成立，但我總覺得這有點杞人憂天。能找到外星人就不錯了，還管它什麼空間，這非歐空間沒準是愛因斯坦（Einstein）這老頭用來嚇唬咱老百姓的。就象人們說鬼最容易畫，反正沒人見過。在金亞偉先生的幫助下，我查閱了美國航海者(Voyager)太空飛船攜帶的金牌上的116條信息，勾股定理不在其中。為什麼科學家最後沒有採納這一極富想象力的建議，我查找的文獻中沒有記載。

在設法與想象中的高度文明的外星系人類交流時，科學家想到了勾股定理。在對小朋友進行啟蒙教育時，科學家也想到了勾股定理。加拿大多倫多（Toronto）有個著名的科學館，是對小朋友進行科普啟蒙的好地方。那兒大部分展覽都是關於物理、化學、生物的，我記得唯一的數學“展覽”就是一個勾股定理的演示裝置。三個正方形的各一條邊構成一個直角三角形，斜邊是水平的。三角形繞着斜邊大約每兩分鐘轉一圈，先轉半圈，斜邊上大正方形中的彩色液體緩緩流入直角邊上的兩個小正方形，將它們同時灌滿。接着馬不停蹄，又是半圈，兩個小正方形中的液體同時流盡，將大正方形灌滿。數學“展覽”確實比實驗科學困難得多，但也絕非就此一種可能。在人類的數學寶藏中，科學家們又選中了勾股定理向小朋友推薦。

      文革中的《十萬個為什麼》言必稱工農兵，固然不可取。但這勾股定理，確實和日常生活有着相當密切的關係。文革前的舊版《十萬個為什麼》，有這麼一個問題:有一塊地，10.5米長，4.5米寬，要在上面種果樹。果樹要求間距一米，問能種幾棵果樹。最簡單的種法是長邊種11棵，種5排，共55棵。但我們還能在保持間距的前提下多種些。第一排還是種11棵，第二排種10棵，每三棵形成一邊長為一米的等邊三角形。這時候兩排樹的間距可用勾股定理很容易算出。1² - (1/2)² = 3/4，再開平方根，得0.866。乘5得4.330，所以正好種6排。這樣就可種21×3 = 63棵，而間距一米的要求照樣滿足。同樣的土地，一共多種了八棵，15%，“知識就是力量”，真是一點不假。

以後我去了東北農村，每年春天都要種樹，大概因為東北地廣人稀，不在乎這一點地，所以從沒見老鄉這麼種法。後來看了電影《決裂》，我慶幸自己沒有貿然向老鄉推薦這三角形種樹，否則電影裡就是我而不是葛優的爸爸了，“馬尾巴的功能”大概也會被“三角形種樹”取代[注]。不過在農村六年，我真還應用過一次勾股定理。

1972年夏天我去修國防公路，大家住在一個大帳篷里，伙房是個草蓆搭的棚子，麵粉袋被雨淋濕是常有的事。經過領隊同志的多次爭取，上級給批了一片七八米寬且相當長的破帆布。經過多次研究，大家決定把這帆布作為前後牆兼屋頂，伙房的一端和大帳篷連在一起，這樣可以省一堵牆，另一端則用草蓆補上。這片帆布實在太破，所以領導就決定把房頂的三角型搭得儘可能高，用坡度來減少屋內下小雨的可能性。到底多高，築路營的技術員說沒有數學用表沒法算。

      我們大隊在築路營的小組長也是個知青，他就把這事給攬了下來，讓我來算這帳篷該多高。其實這比技術員想象的要簡單的多，
      帆布長 = (帳篷牆高 + 屋頂斜面) × 2
因為帳篷牆高 (即大帳篷高度) 和帆布長已知，屋頂斜面馬上就知道，因為前後牆距離與大帳篷一樣，所以屋頂三角形的底也是知道的，剩下的就是用勾股定理算出三角形高度。屋頂是用兩邊各兩根很長的楊木杆撐起的，再來次勾股定理就可算出楊木杆的長度。這裡有個技術問題，應用勾股定理需要開平方根，前面已經說過沒有數學用表，當時哪會有現在中學生人手一台的計算器。很幸運，我會手算，我也忘了是在哪本書上從什麼時候學的。當技術員看到我這小學生口中念念有詞，用一支筆一張紙開平方根，其驚訝程度絕不亞於哥倫布發現新大陸。一切就緒，楊木杆撐起來，橫梁放上去，破帆布往上一搭，兩邊正好着地。歡呼聲頓時響起，絕對超過了不久前東方紅衛星上天時的歡呼聲。插隊六年，這恐怕是我最得意的一天了。

至於勾股定理在日常學習中的運用，就更是不勝枚舉。好幾年前，我自告奮勇給一位小朋友出些高考複習題。我的選題標準是涉及概念較多，能夠舉一反三的物理和數學綜合題。我選的第一題就是用圓規直尺作正五邊形，作五角星也是一樣的。這題目我在《數理化自學叢書》碰到過，當年做不出，是請汪正彥老師做的。題目送出去後，過了幾個星期要給解答了。汪老師的開始幾步我還記得。

設有 ∆ABC，∠CAB = ∠CBA = 72º，∠ACB = 36º。

在AC 上取一點D，使∠ADB = 72º，於是∆DBA和∆ACB相似。再往下就象祝家莊的盤陀路，怎麼都繞不出來了。汪老師的解答相當長，練習本三頁不到一些，我想即使我全部記得，推薦給小朋友恐怕也非上策。經過一陣子冥思苦想，我想到了老朋友勾股定理。我把思考過程略去，直接給解答。線段AB用AB表示。

∵ ∆DBA ∽ ∆ACB，CA = CB

∴ AB/AD = AC/AB ==〉AB/（AC-CD）= AC/AB

∵ ∠CDB = 180 - 72 = 108º & ∠DCB = 36º

∴∠DBC = 36º ，CD = DB = AB

設AC = 1，CD = x。

x / (1 - x) = 1 / x

x = (sqrt(5)- 1) / 2

現在只要用圓規直尺作出邊長分別為1和2的直角三角形，根據勾股定理，斜邊就是 sqrt(5)。接下來的步驟大家都會，我就略去了。

看了上面的例子，讀者可能還認為勾股定理只是一樣雕蟲小技。看過下面的例子，我相信大部分讀者會改變這一看法。1979年上海市高考的數學考卷中有一題，就是證明勾股定理。文革後百廢待興，大概老師們藉此機會來強調一下數學的重要性，強調一下勾股定理的重要性。此題有多種解法，但下面這兩種顯然最為簡潔。

（勾股定理插圖）

這兩個正方形的構成，都用到了三角形內角和等於180度這一事實。就是說，如果這平面幾何的基石，或基石之一不成立，勾股定理就不會成立。反過來，如果勾股定理不成立，這兩個正方形中，四個三角形和小正方形就不可能拼接得如此天衣無縫。由此，我們就不難理解為什麼數學家在試圖與外星人通訊時，會想到勾股定理。我們也從中發現，“杞人”們的擔心，也並非空穴來風。在三角形內角和不等於180度的非歐空間，這“天經地義”的勾股定理還真是不成立的。

[注]電影《決裂》為了醜化知識分子，特意安排了老教授在課堂上講授“馬尾巴的功能”，扮演老教授的演員就是葛優的爸爸，著名演員葛存壯先生。