记得念大学时，有一份《上海科技报》，曾经有这样一题，将12均匀分成几份整数后，各部分相乘乘积最大。题目不难，试了几下后知道，分成三份后，4³=64。也可分成六份，2⁶=64。直到这一步，还看不出和程咬金有何瓜葛，似乎是哗众取宠了。当时已学过极值，再想了一下，如果是别的数N，同样的问题会是什么答案。原来普遍解是e，极值为e^N/e。这时才开始对这位“程咬金”先生刮目相看，这个连小学生都会做的题，竟会扯出大名鼎鼎的超越数e = 2.71828。。。

      小时候读《十万个为什么》，知道了超越数，对π当然十分尊敬，对这自然对数的底(当时还不懂对数)，不过是敬而远之。以后学了极限，知道这e是如何出来的，但还是产生不了象对π那样的崇敬心情，觉得这只是数学家手上的一件高级玩具而已。直到见到这道题，才算领略到一点这家伙的厉害。以后学了微分方程，才知道e几乎是无处不在，电路方程，电波传送，简谐振子，只要和齐次方程沾边，e就逃不了干系。相比之下，老朋友π倒显得有点自叹不如了。大部分情况下，e出现在连续系统中，但在离散系统中也会出现，上面提到的“程咬金”即为一例。以后书念多了，也做了些研究工作，发现这样的例子真还有不少。

      前些日子的(N)球(M)筐题目，如果球可辨认筐不可辨认，用常规方法解几乎不可能，或许就是不可能。但用生成函数来解确实轻而易举。令人意想不到的是，这个土的掉渣的题目，最后竟也和阳春白雪 e 分不开。如要求每筐至少有一球，答案竟然是(e^X - 1)^M中的X ^N的系数乘以N!/M!。这个例子称之为“程咬金”似乎也不为过。

      如果我们有一长链，上面均匀地分布着原子。现在假定每两个相邻原子能形成分子，而且形成后不再分开，问最后没形成分子的原子有多少。答案是e^-2。此问题有一等价表述，在空的一维晶格上随机放粒子，放粒子的格点的近邻不许再放，问最后平均密度是多少。答案是

(1-e^-2)/2。现考虑2XN的梯子，用同样的条件和方法放粒子，问最后密度是多少。这问题由本人与博士后指导教授解出，答案是(1-1/(2e))/2。这些完全是正整数的问题，最后还是逃不出 e 的掌心。不信上帝的人，此时恐怕也会有点怀疑这是否是他老人家早就规划好的。

      最后回到最近的酒鬼问题，也有人称为帽子问题。30个人30顶帽子，每个人都戴错的几率是多少。此题是更一般的“包含--排斥”问题(Inclusion-Exclusion)的一个特例。设共有N个元素，符合条件a的有N(a)个，符合条件b的有N(b)个，…，符合条件(a，b)的有N(a，b)个，…问不符合条件a，b，c，…的元素有多少。答案是

N - {N(a) + N(b) + …} + {N(a，b) + N(a，c) +…} - {N(a，b，c) + …} + …

其意义是第一次减的太多，第二次补上又加回太多，然后再减，直至正好。现在的条件a，b，c，…就是每人都戴自己的帽子

N! - C(N，1)(N-1)! + C(N，2)(N-2)! - … + (-1) ^N C(N，N)

= N! {1 - 1/1! + 1/(2!) - … + (-1) ^N/N!}

= round(N!/e)。

      这些以正整数开头的题目以超越数e告终，其实并非偶然。排列组合问题往往和阶乘有联系，大家一定知道Sterling公式 N! ~= NlnN-N，只是其中的奥妙并非我等之辈三言两语能讲清楚。