戴世强教授今天转载了一个帖子，很是震撼。用现在流行的网络语言，应该属于“心灵鸡汤”。故事太长，可以读下面链接，不懂数学的照样可以受到激励。我这篇文章只需要高中数学知识就能理解，对数学不感兴趣的读者可以跳过不看。我先介绍一下故事梗概。

海文斯的故事

克里斯多弗*海文思（Christopher Havens），是西雅图（Seattle）重刑监狱的罪犯，今年41岁。他从小就显示出数学天赋，数学老师经常请他帮助同学。由于母亲工作的原因，他每过几年就要搬一次家。很不幸，他所处的环境，你要想“融入”，必须学坏，比如尝试一点大麻和酒精。他终于越走越远，有一次（或许）在毒品作用下，他杀了一个人。于是被关进这个重刑监狱。

在监狱里，一个偶然的机会，他开始自学数学，后来还在狱中教狱友数学。也是一次偶然的机会，有人把他介绍给意大利都灵大学的一位数学副教授。副教授给了他一个数论难题，结果他做出来了。他后来还和副教授做了其他研究，并在《数论研究》上发表了论文。

文章结尾是海文思设计的一道数学题，刊登在《Math Horizon》。

使  1729 y² + 1 成为完全平方数的最小正整数y 是多少？拿起笔和纸，来试试吧。

令此数为x²。这个数字可以写成1729 y² = (x+1)(x-1)，就是说两个相差为2 的整数的乘积。

我们将1729因式分解，1729 = 7 ×13 × 19。假如有解，x+1 是这三个数中某些因子和y 中某些因子的乘积。x-1 是其他因子的乘积。

我们把y写成 y = uv，y 不可能完整地同时出现在 x+1 和 x-1。所以 y 中因子在两个数中出现的形式只能是 u²v 和 v。

将1729中的因子和u²v 及 v 结合可以有许多种方法。其中的一种是

7 u² v = x + 1 & 247 v = x – 1

简单推导可得

v (7 u² - 247) = 2

很显然 v (247 - 7 u²) = 2 也是可能的解。

这样的方程一共有8个。

(1)   v (7 u² - 247) = 2

(2)   v (247 - 7 u²) = 2

(3)   v (13 u² - 133) = 2

(4)   v (133 - 13 u²) = 2

(5)   v (19 u² - 91) = 2

(6)   v (91 - 19 u²) = 2

(7)   v (u² - 1729) = 2

(8)   v (1729 - u²) = 2

我们现在逐一解答，方法其实是一摸一样的。

由 (1)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 7 u² = 249，无解。 假如 v = 2, 7 u² = 248，同样无解。

由 (2)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 7 u² = 245，就是u² = 35。所以无解。 假如 v = 2, 7 u² = 246，同样无解。

由 (3)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 13 u² = 135，无解。 假如 v = 2, 13 u² = 134，同样无解。

由 (4)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 13 u² = 131，无解。 假如 v = 2, 13 u² = 132，同样无解。

由 (5)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 19 u² = 93，无解。 假如 v = 2, 19 u² = 92，同样无解。

由 (6)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 19 u² = 89，无解。 假如 v = 2, 19 u² = 90，同样无解。

由 (7)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， u² = 1731，无解。 假如 v = 2, u² = 1730，同样无解。

由 (8)， v 只能有2 个可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， u² = 1727，无解。 假如 v = 2, u² = 1728，同样无解。

所以最后结论是无解。

看懂这个解答不算困难，大部分高中生应该都可以。但设计出这个方案，确实需要一些功力。刚看到这道题，感觉就是大海捞针。晨练的时候冷静下来，发现经过因式分解，实际上只有8种情况。