高中物理中有一条虎克定律, 该定理说, 一弹簧偏离原点后, 所产生的力与位移成反比, 牛顿第二定律 F = ma 想来大家都知道, 就不啰嗦了. 著名物理学家 Edward Witten 曾把物理学应用于数学(!)得到菲尔兹奖, 这篇是将物理应用于金融业. 当然, 得奖是不可能的, 那时候我已经过了不惑之年.

           有一天, Tom Ho 来到我的办公室 (Cube), 而不是打电话叫我去. 他说公司接到一个定单, 替韩国一家银行做某金融产品的合理价格模型 (Rich-Cheap Model), 想来是卖高买低, 用来”投机倒把”的. 模型早已做好, 但没法按照合同规定, 提供一个关于模型准确程度的验证, 问我能不能做一下, 我当然只好说行. 我问他几天交货, 他说 24 小时行吗. 天哪, 他把我当曹子建了(注).

            他给我的数据是一个 Excel 文件, 有该产品好几年的交易记录以及模型的预测价格. 这些交易日有连着的, 也有不连的, 有些是跨越周末的, 非常杂乱. 曹植作诗论兄弟不得涉及兄弟, 我要验证模型, 连读懂模型的时间都没有. 他过来时约三点, 我到下班也没半点头绪, 就只好回家时在地铁上继续想. 地铁开开停停, 昏昏欲睡, 不知是不是地铁的加速减速使我突发灵感, 想到了虎克定律, 到家的时候, 我已经基本思考停当.

            现在假定模型的价格是对的, 假定做买卖的也是理性的. 那么价格偏高, 就会有卖压, 如果偏低, 就会有捡便宜的. 偏离的越多, 回到合理价格的压力就越大. 定性来看, 这就是虎克定律. 我现在想看看它定量符合有多好. 如果把价格变化看成物体运动, 根据牛顿第二定律, 价格变化的加速度应正比于价格偏离. 我们把天作为时间轴的单位, 把价格偏差作为纵轴, 我就有了价格的运动曲线

            由于曲线是离散的, 我们必须用差分法来计算加速度, 这要求至少有 3 个连续交易日, 如有 5 个7 个就更好了. 我看了数据, 觉得只能使用 3 个交易日, 跨周末也要算进去, 否则样本空间太小了. 只连续两天或孤岛交易日就扔掉. 这样三个交易日提供一个点, 四天提供两个点, 依此类推, 记得一共采集到几千点. 然后将加速度为横轴, 价格偏差为纵轴作图, 如果模型是完美的, 所有点应该在一条直线上. 经测试, R-Square 略低于50%, 点尽管不在一条线上, 但带状区域还是很明显的, 当然, 这带状嫌宽了点. 我告诉大老板, 这物理模型用来预测价格当然不行, 但用来证明模型的精度应该是可以的.

            我小时候就知道(或听说)著名化学家Kekule 发现苯环六角形结构的传奇故事. 他醉心于此多日, 有一次回家路上在马车上睡着了, 梦见一些火堆还有一条蛇, 蛇忽然首尾相连, 变成一个六角形. 他立刻惊醒, 按照这个故事, 一个划时代的发明就这样产生了.《前言》中说, 解出这类问题需要功力, 经验, 运气等等. 这儿, 运气多少有点作用. 我的灵感是否真的来源于昏昏欲睡之中的地铁加速减速, 我自己也不知道, 但我自己认为, 把这个问题这么短时间解出来, 无论如何有运气的因素. 当然, 这运气是以功力和经验为前提的.

牛顿定律和虎克定律都是高中生就懂的, 用差分法算二阶导数是理科大学生人人都会或一学就会的, 卖高买低则是任一家庭主妇或农村大娘都懂的道理. 虎克定律的数学形式非常简单, 但关键是将它和其他这些极其浅显的知识联系起来  公司上下都知道我是 Courant 数学研究所来的数学博士, 我给Tom 的电邮是这样结尾的, “我是个数学家, 也是个物理学家”. I am a Mathematician as well as a Physicist.

注: 三国曹丕,欲害其弟曹植(字子建), 令其七步成诗, 否则杀头, 没有难倒曹植. 曹丕又令曹植以兄弟为题作诗, 但不得用兄弟二字, 这次连一步都没给. 曹植当即成诗一首, 就是那首著名的: