某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），(4,5)，(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.

这个题目在不同章节出现了两次，两个老师的第一步都是对的，而且都很漂亮。当然，其余几步也是对的，但确实很不漂亮。老师们指出，横竖两个方向的最佳位置，可以独立地搜寻。第一个老师说需要拓展思路，建议的解答是使用函数。他没有提供细节，我看不懂，这题目怎么扯上函数了。继续工作了几天，我又看到另一老师从不同角度引用了此题，这次他给出了细节，原来他用绝对值符号，把总距离象征性地写成了函数形式。假定所选点为（X₀，Y₀），总距离为

S =|-2-X₀|+|2-Y₀|+|3-X₀|+|1-Y₀|+|3-X₀|+|4-Y₀|+...+|6-X₀|+|6-Y₀|

绝对值符号对解题并未起到任何简化作用。答案为（3，4）和（3，3），距离均为23。但（3，4）与零售店重复，故（3，3）为唯一选择。

            老师说，高考中这题得分率非常低，“说明我们的数学思想的教学从‘模仿’到‘自觉’还有很长的一段路要走！”对此结论我不很同意，我觉得有两个可能。第一，这题的正确解法（不是上面列出的）可能超出了教学大纲。第二，老师本身的水平有待提高。我们说，教学生一碗水，老师自己要有一桶水。在这个问题上，我想老师可能需要一缸水。为了充分说明一缸水的威力，我们考虑更一般化的问题。

题中城市有N个报刊零售点.请确定一个格点为发行站（可以是零售站），使N个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.

            我记得统计中有个什么问题与此类似或就是等价，但记不起来是哪儿看到的，所采用的就是下面介绍的非常简单巧妙的思路。我们第一步遵循老师的思路，先考虑一个方向。尽管报摊在二维没有重复，但在一个方向上重复还是可能的。比如（2，1）和（2，2）并不重复，但在水平方向是同一个点。此题的答案是中位数（Median），中位数的定义。我们分几种情况讨论。

1.      N为奇数2K+1，第K+1报摊处无重叠， K+1处即最佳点。假定距离之和为L，往左移一格，到左边K个报摊的距离均减少1，共减少K。右边K个点以及中位数本身距离均加1，共增加K+1。两边一起考虑，总距离加1。往右边移一格也是一样结论。其余情况证明几乎一模一样，证明就留给读者了。

2.      偶数2K，第K及第K+1报摊处均无重叠，K及K+1处及中间各点都是最佳点。

3.      奇数2K+1，第K+1报摊处有重叠，当然其中任何一个都可认为是K+1。如果没有重叠就是（1）了。最佳点就是这重叠点。

4.      偶数2K有重叠。共有4种情况：（a) K处有重叠，K+1处没有; (b) K+1处有重叠，K处没有; (c)两处均有重叠; (d)K和K+1 在同一点，或许还有其它报摊重叠在这个点。如两处均无重叠即为（2）。四种情况的最佳点均 和（2）一样，即K或第K+1处报摊及中间各点。(d) 的最佳点只有一个。

实际的题目只有6个报摊，而且不需要证明，所以遵循这思路的解答的简单程度应该超出大多数人的想象。

·         X方向6点：（-2，-2，3，3，5，6），中位数是3。

·         Y方向6点：（1，2，3，4，5，6），中位数是3或4。

（3，4）处有零售点，答案为（3，3）。整个解题过程大概只需1-2分钟。这种能力很难说属于高中数学哪一部分，这应该是一种综合能力。因为它属于离散型，所以排列组合专家就会有一种直觉的敏感。

            另一题是纯粹的组合题目，老师的思路完全错了，答案自然也是错的。题目抄录如下：

某车间有 名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外3人车工钳工都会，现需选出6人完成一项工作，需车工、钳工各3人，问有多少种选派方案？

老师正确地指出有多种解法，但他“随便”选取了按“选出的钳工中所含全能工人的个数”来分类。老师的解答如下。我们用C(m, n) 表示m中选取n的组合数

选出的钳工中没有全能工人的选法有C(3, 3) C(7, 3)种；

选出的钳工中有1名全能工人的选法有C(3, 1) C(3, 2) C(3, 6)种；

选出的钳工中有2名全能工人的选法有C(3, 1) C(3, 2) C(5, 3)种；

选出的钳工中有3名全能工人的选法有C(3, 3) C(4, 3)种．

∴总共有309种选派方案．

如果仔细分析，应该说这样分类也是可以的，很不幸，由于过于复杂，老师的分析和答案都是错的。由于这题错的相当离谱，指出错在何处需要很大篇幅，所以我就直接给出正确解法。

            这道题显然应以作为枢纽的全能工人的人数来分类。

1.      全能=0： C(4, 3) C(3, 3) = 4， （车工4选3）×（钳工3选3）

2.      全能=1：C(3, 1) [C(4, 3) C(3, 2) + C(4, 2) C(3, 3)] = 54，

(全能3选1) ×  [(车工4选3) × (钳工3选2) + (车工4选2) × (钳工3选3)]

3.      全能=2：C(3, 2) [C(4, 3) C(3, 1) + C(4, 2) C(3, 2) + C(4, 1) C(3, 3)] = 102,

4.      全能=3：C(3, 3) [C(4, 3) + C(4, 2) C(3, 1) + C(4, 1) C(3, 2) + C(3, 3)] = 35

（3）和（4）的注释和（1）（2）类似，我嫌麻烦故未写出。

            综上所述，总共有4 + 54 + 102 + 35 =195种选法。但由于这题的具体情况，我们有更为简洁的方法。稍加分析就会发现，只要不是4个钳工全部去，其它组合都能符合要求。所以总数为

            C(10, 6) - C(4, 4) C(6, 2) = 210 - 15 =195

第一项是10人中任选6人的组合数，再减去4个钳工都去的组合数。

            通过这次审稿，我个人认为国内高中数学教学中最大的变化是相当多的平面几何类题目通过解析几何的方法来解。书中南洋模范中学XX老师的解题思路，给了我很深的印象。我在这儿通过一个相当著名的“历史”故事，测试一下自己掌握新知识的能力，从另一个角度测试一下自己这把刀。

            上大学时，我曾看到过这样一则故事。由著名的普林斯顿（Princeton）考试委员会（即给TOEFL和GRE出题的那家考试委员会）主持的一项中学生数学考试总共有50道选择题，每题2分，100分为满分。某校一学生遥遥领先，得了96分，同学们纷纷向他祝贺，他却并不高兴，说他应该得98分。这下同学们傻眼了，以为他在说胡话。那学生回家后，向他当工程师的爸爸诉说了原委。工程师听完儿子的诉说，仔细考虑后觉得他儿子是对的。于是，他给Princeton 考试委员会写了封信陈述他们的观点。我还记得回信中教授的一句话:“我们脸红了，应该说至少他比我们更正确”。

            该题目如下: 有一个正四面体，即四个面均是正三角形，三角形边长为1。另有一金字塔形物体，底座正方形边长为1，尖顶部分由4个正三角形组成，边长自然也是1。现在将正四面体的一个三角形和金字塔的一个三角形合在一起，新的物体共有几个面。金字塔有5个面，正四面体有4个面，所以“正确”答案是4+5-2=7个面。那学生通过计算发现，金字塔两侧两个三角形和正四面体两侧两个三角形形成180度，因此只有5个面。

            我记得当时自己刚学过立体解析几何，因此是用矢量分析来验证该学生的结果的。为写这篇短文，我把这个故事及题目挖了出来。当时的解法已经不记得了。下面的解答受到了XX老师解题思路的启发，应该比当年的我的解法更简单。思路是证明正四面体两个面的夹角的COS和金字塔两个三角形夹角的COS数值相同，符号相反。由于书写条件限制，我把直线AB用AB表示。

            设: 正三角形底座为∆ABC，顶点为D，底座中点为O，BC中点为E。

            已知:BC = 1，∠ABC=60 º

            则BE = 1/2，∠OBE = 30º  ==〉BO = 1 / SQRT(3) ==〉EO = 1 / SQRT(12)

            DO² = DB² - BO² = 1 - 1/3 = 2/3 ==〉DO = SQRT(2/3)

            DE = SQRT(3) / 2

            COS(∠DEO) = EO / DE = （1 / SQRT(12)) / (SQRT(3) / 2)= 1/3

            又设:  金字塔的底座为（正方形）A’B’C’D’，顶点为F，A’F中点为E’，底部中心为O’。考虑∆B’E’D’，我们要证明∠B’E’D’的COS是 - 1/3。

      B'D' = SQRT(2)，B'O' = SQRT(2)/ 2，B'E' = D'E' =  SQRT(3) / 2

建立坐标系，B'D'为X轴，∆B'E'D' 位于XY平面。注意到B'D'中点为O'，

            E'O'² = B'E'² - B'O'² = 3/4 - 1/2 = 1/4 ==> E'O' = 1/2

            BE = (SQRT(2)/2)i +(1/2)j ， DE = -(SQRT(2)/2)i +(1/2)j

其中i  和j为X和Y方向的单位矢量。

            COS(∠BED) = BE ^. DE / (|BE || DE |) = -1/3。

            我的中学时代适逢文革，解题没有经过正规课堂训练，书写方式可能不规范。但我相信，这个解答是相当漂亮的。由此证明便可知为什么那个学生是对的，又为什么教授会脸红了。