記得念大學時，有一份《上海科技報》，曾經有這樣一題，將12均勻分成幾份整數後，各部分相乘乘積最大。題目不難，試了幾下後知道，分成三份後，4³=64。也可分成六份，2⁶=64。直到這一步，還看不出和程咬金有何瓜葛，似乎是譁眾取寵了。當時已學過極值，再想了一下，如果是別的數N，同樣的問題會是什麼答案。原來普遍解是e，極值為e^N/e。這時才開始對這位“程咬金”先生刮目相看，這個連小學生都會做的題，竟會扯出大名鼎鼎的超越數e = 2.71828。。。

      小時候讀《十萬個為什麼》，知道了超越數，對π當然十分尊敬，對這自然對數的底(當時還不懂對數)，不過是敬而遠之。以後學了極限，知道這e是如何出來的，但還是產生不了象對π那樣的崇敬心情，覺得這只是數學家手上的一件高級玩具而已。直到見到這道題，才算領略到一點這傢伙的厲害。以後學了微分方程，才知道e幾乎是無處不在，電路方程，電波傳送，簡諧振子，只要和齊次方程沾邊，e就逃不了干係。相比之下，老朋友π倒顯得有點自嘆不如了。大部分情況下，e出現在連續系統中，但在離散系統中也會出現，上面提到的“程咬金”即為一例。以後書念多了，也做了些研究工作，發現這樣的例子真還有不少。

      前些日子的(N)球(M)筐題目，如果球可辨認筐不可辨認，用常規方法解幾乎不可能，或許就是不可能。但用生成函數來解確實輕而易舉。令人意想不到的是，這個土的掉渣的題目，最後竟也和陽春白雪 e 分不開。如要求每筐至少有一球，答案竟然是(e^X - 1)^M中的X ^N的係數乘以N!/M!。這個例子稱之為“程咬金”似乎也不為過。

      如果我們有一長鏈，上面均勻地分布着原子。現在假定每兩個相鄰原子能形成分子，而且形成後不再分開，問最後沒形成分子的原子有多少。答案是e^-2。此問題有一等價表述，在空的一維晶格上隨機放粒子，放粒子的格點的近鄰不許再放，問最後平均密度是多少。答案是

(1-e^-2)/2。現考慮2XN的梯子，用同樣的條件和方法放粒子，問最後密度是多少。這問題由本人與博士後指導教授解出，答案是(1-1/(2e))/2。這些完全是正整數的問題，最後還是逃不出 e 的掌心。不信上帝的人，此時恐怕也會有點懷疑這是否是他老人家早就規劃好的。

      最後回到最近的酒鬼問題，也有人稱為帽子問題。30個人30頂帽子，每個人都戴錯的幾率是多少。此題是更一般的“包含--排斥”問題(Inclusion-Exclusion)的一個特例。設共有N個元素，符合條件a的有N(a)個，符合條件b的有N(b)個，…，符合條件(a，b)的有N(a，b)個，…問不符合條件a，b，c，…的元素有多少。答案是

N - {N(a) + N(b) + …} + {N(a，b) + N(a，c) +…} - {N(a，b，c) + …} + …

其意義是第一次減的太多，第二次補上又加回太多，然後再減，直至正好。現在的條件a，b，c，…就是每人都戴自己的帽子

N! - C(N，1)(N-1)! + C(N，2)(N-2)! - … + (-1) ^N C(N，N)

= N! {1 - 1/1! + 1/(2!) - … + (-1) ^N/N!}

= round(N!/e)。

      這些以正整數開頭的題目以超越數e告終，其實並非偶然。排列組合問題往往和階乘有聯繫，大家一定知道Sterling公式 N! ~= NlnN-N，只是其中的奧妙並非我等之輩三言兩語能講清楚。