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数学及其应用 2018-12-26 08:16:10

数学及其应用

几乎所有的数学都源于应用问题,但时代久远之后,人们往往忘掉了。比如说,几何学,是一门纯数学,但几何学 (geometry) 的意思是测地学,显然源于应用问题。对应用问题的理解,很大程度上决定了数学和科学的发展方向。下面我们用拓扑和分析在经济学领域的应用来分析一下。

很多人都看过一本叫做《美丽心灵》的书,或者根据此书改编的电影。此书的主人公叫纳什,他建立了博奕论中一个重要的结果,用的是拓扑学的方法。主流经济学理论的基础是一般平衡态理论,其严格的数学证明,也是建立在拓扑学基础上的。可以说,拓扑学为主流经济学理论提供了严格的数学基础,但这是不是一个合适的基础?经济问题是数字问题,一件货物,如果成本是100块钱,卖了110块钱,就能盈利,卖了90块钱,就会亏本。但是从拓扑学角度,90 ,100 ,110是没有区别的,所以拓扑学不能表达经济学和生物学中最根本的特征,追求非负的投资回报率。可是由于拓扑学理论简单,早期的数理模型往往源于拓扑学。

价值理论是经济学理论的基础。主流经济学价值理论叫做Arrow-Debreu 理论[1], 为此Arrow 和 Debreu两人都拿了诺贝尔奖。这个理论也是采用拓扑学方法,不能提供一个定量的分析。而对数函数的方法则对决定经济价值的因素提供了清晰的分析。我们来具体了解一下。

在一个新的价值理论里 [2], 物品的价值定义为

                                                               -logbP

其中 P 为物品的稀缺程度,范围从 0  1 0 为极度稀缺, 1 为无限丰富,为这个物品的生产厂家数目。我们来看一下这个函数的性质。

 

首先,一种物品的价值是稀缺程度的递增函数,物品越丰富,其价值越低,如果这种物品无限丰富,也就是P = 1,其价值为零。比如说,空气对我们非常重要,几分钟不呼吸,我们就活不下去。但由于空气无处不在,其经济价值为零。下图是价值与稀缺程度之间的关系。

 


 

很多人把经济价值等同于对社会的贡献。当今粮价很低,很多人认为农民对社会的贡献低。但如果粮食太贵,有人买不起,很快引发社会动乱。所以很多国家的政府采取各种政策,以保证粮食的充足,同时也造成粮价低廉。很多政府为了保护农民利益,大量补贴农民。从这个价值理论,我们可以清楚看到,经济价值不等同于对社会的贡献。

 

我们再来分析生产厂家的个数对价值的影响。越小,物品的价值越高,下图是物品的价值与生产厂家数目的关系。一样物品,生产的厂家越少,价值越高,大家都知道垄断和寡头经营的行业,利润很高。这个分析不仅可以应用到产品上,也可以应用到任何社会系统,世界上影响力大的宗教,象犹太教,基督教,伊斯兰教,大多是一神教,而佛教和大多数早期的宗教,是多神教,一神教对教徒的控制能力比多神教强很多,当一神教碰到多神教的社会,往往会击败对方。很多职业收入高,往往是由于这些职业由唯一的组织代表。比如说,加拿大所有的医生,都属于同一个医学学会,没有任何竞争;加拿大医生的收费,是统一的,也没有任何竞争;病人看病,必须通过唯一的家庭医生,彼此之间没有竞争。这就是为什么加拿大医生的地位,比中国高很多。我们经常说西方经济是自由竞争的市场经济,但其中最重要的部门,象医疗,教育,军工,以及庞大的政府本身,都由工会和垄断机构控制,很少自由竞争。

 

 

 

 减少选择,对增加价值有决定性的影响。所以几乎所有经济,政治活动,都以减少竞争,增加垄断权力为目的。我们常说的专利法和知识产权保护就是一个例子,知识产权保护最常用的理论是鼓励创新,但创新最多,给消费者带来最多利益的行业,象信息技术,往往是知识产权最自由的行业,而知识产权保护最严格的行业,象生物医学,往往是纳税人花大钱,消费者受益甚少的行业。

 

从上面的讨论,我们看到,一个简简单单的对数公式,可以帮助我们深刻了解这个社会中形形色色的活动。很多原本不喜欢数学的学生,也很开心学到对数函数的各种性质。关于这个公式更多的应用,可参看价值的熵理论[2]。


经济学的拓扑理论最初建立于半个多世纪之前,这些早期的探索者值得我们尊敬,但是,拓扑学理论没有能够把实际经济活动中重要的因素表达出来,而分析理论则可以。


拓扑学理论是数学的主流,另一门数学的主流是代数几何。代数几何是关于多项式函数的几何理论,多项式自然古老,多项式自然重要。但大多数重要的物理问题,生物问题和社会问题包含指数函数和对数函数,所以代数几何的研究不涉及很多自然界最基本的问题。


自然现象发生在空间和时间之中,自然现象的变化涉及几个变量的变化,所以,偏微分方程应该是描述自然现象最基本的方法。确实如此,过去一百多年,科学理论的重大突破,大都表现在偏微分方程的提出,象麦克斯韦方程,薛定谔方程,Black-Scholes 方程。而这些偏微分方程的解,大都不是多项式函数。如果一直把代数几何作为数学的中心,主流的数学研究就越来越偏离自然界最根本的问题。


我们很多人对数学的现状,科学的现状,经济学的现状不满意。但是要改变这种状况,需要我们的积极参与,把好的数学方法引入经济学研究,把重要的经济学问题引入数学研究。只有这样,数学这棵老树,才能开出绚烂的新花。


具体一点,我们用电磁波谱作一个比喻,从无线电波到伽马射线,但是给人们带来最多信息的是人们熟悉的可见光。同样,从拓扑学到代数几何,数学方法从一般到具体,拓扑学太一般了,生命科学和经济学中所需要的定量化往往不能表达,而代数几何限制过多了,生命科学和经济学中最常出现的对数函数和指数函数被排除在外。我们最需要的是普通的分析理论,就像我们在日常生活中,最需要的是普通的可见光一样。


在众多分析理论中,我们进一步聚焦到两个问题,对数函数和费曼-Kac 公式。熵定律是物理界最普遍的规律,熵的不断增加,是所有生命的动力,而熵的数学表达式是

S= k log W

所以对数函数自然是生物学和经济学中最重要的函数。


自然界中充满了不确定性,我们对世界的判断是一个求平均值的过程。而费曼-Kac 公式提供了一个求平均值的普遍方法,把费曼-Kac 公式应用到生物学和经济学领域,将极大提高我们对这个世界的认识 [3]。


 

参考文献

  1. Debreu, G. (1959). Theory of value; an axiomatic analysis of economic equilibrium. New York: Wiley.

2. Jing Chen,  An Entropy Theory of Value: Forthcoming in Structural Change and Economic Dynamics 

https://www.researchgate.net/publication/228398386_An_Entropy_Theory_of_Value

3.  Jing Chen, The Unity of Science and Economics: A New Foundation ofEconomic Theory, (2016), Springer

 下面是一篇关于数学及其在社会科学中的应用的通俗介绍。

数学及其在社会科学中的应用


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· 你家的月亮
· Good bye, my friends
· 当生命之火慢慢熄灭
· 公猫
【语言(五)】
· 兴趣,利益和利息
· Over 和 Overture
· Ruler
· Inspire and Expire
· 哥哥的歌
· Rest
· Decadence and decay
· 阀:大人物是干什么的?
· 奴隶的心
· 为什么我们喜欢压韵?
【语言 (四)】
· Screw and screwed
· 黄
· Kind
· Sun and moon
· Free
· Norm, normal and Normans
· Bella and bellum
· Two meanings of like
· What is a theory?
· What is man?
【经济 (二)】
· Reading James Galbraith’s The
· 为他人作嫁衣裳:贸易强国的共同
· 什么是内需不足?
· 关于持续的贸易不平衡
· A long tradition to connect th
· On persistent trade imbalance
· On green economy
· What are rights: Some reflecti
· On Risk Management
· 怎样计算股票的融资成本和预期回
【杂谈 (二)】
· There is more brainwashing in
· 看女儿
· 女儿初为人母
· Weather and climate
· 老三的一篇短文
· When defects become an advanta
· Service of necessities and ser
· 女儿的帖子
· 荷花和塘泥
【科学(四)】
· Predictions in social sciences
· 数学的现状和未来
· Social structures: A perspecti
· 温度和情绪 (temperature and t
· Learning, memory and decision
· The Least Action Principle: It
· When an electron falls to a pr
· 为什么鱼比肉更容易煮熟?
· 一篇关于The Unity of Science a
【诗词(二)】
· I’d rather
· 日暮
· 池塘里的污泥
· Over and under
· Bond and bondage
· 夕阳
· Dandelion
· 早点睡觉
· 在我慢慢褪色的世界里
· 狮的低吟,诗的回声
【语言(三)】
· 相似的单词,不同的意思
· 小米和 millet
· AM is love
· 什么是不够
· Easter: 词的来源
· 论所谓的正能量 (On being posit
· Terr 是土地
· Radical 的意思是什么?
· 努力的奴隶
· Tri 是三
【诗词】
· 风筝:孩子离家
· 篝火
· 落日:致老去的人们
· 杜达尔和玛丽亚
· Deep North
· Driving crazy
· 燃烧和发烧
· 满月的冬夜
· 献给空巢的父母
· Burning and burn out
【健康(三)】
· Mentally stimulating
· On obsessive compulsive disord
· 吃盐和生育
· Ginger and gingerly
· Principle Based Medicine
· Why we need pain?
· 关于自闭症
· 健康的定义
· 针灸的原理
· 情感的守恒定律
【科学(三)】
· 数学及其在社会科学中的应用
· 为什么光线弱的地方会觉得浪漫?
· 美是平均,美是不变的性质
· 颜色和温度
· 简洁就是美
· 栖息之地:健康的树和濒死的树
· 落红不是无情物,化作春泥更护花
· 为什么肥沃的土地上很难找到先锋
· 不平等,效率和系统维护成本
· 生物学的统一理论
【语言(二)】
· 论精美
· 铁 (fer)
· 家
· 我,倭,和,we
· 鹪鹩,娇娆,wren, 人,文
· 牡丹,Botan, Botany
· 人多则移
· 英语中的几个象形词
· 他和它
· 趣味英语:一个不引人注意的前缀
【科学(二)】
· 基因突变不是完全偶然的
· 生物学和生态学的结合
· Energy consumption and cost
· 人类的平均寿命能到一百岁吗?
· 蝴蝶效应并不存在 (兼论偏微分
· 科学与经济学的统一
· 意识: 一个经济学和物理学的理论
· 诺奖得主年龄的变迁
· 学科细分: 社会停滞和衰退的表征
【健康(二)】
· On cortisol and other drugs
· 为什么负氧离子有益健康
· 吃冰和减肥
· 实用生理学
· 为什么晒太阳有好处?
· 为什么练功经常用圆型姿式?
· 脉搏中包含多少信息?
· 外科手术不伤身体吗?
· 头痛医脚
· 怎样才能改善内脏的功能
【人口(二)】
· 政府的法律和自然的法律
· 出生率,平均寿命,生活水平和社
· Holmes stories: The number of
· 个体年龄和社会年龄
· 多子多福
· 人口塌陷: 真正的悲剧
· 华人的高智商和低生育率
· 走出非洲
· 生命就是竞争
· 什么是文化
【人口】
· 聪明的代价:亚当和夏娃的故事
· 为什么大道至简
· 论移民
· 人口问题文章的一个汇总
· 人口警报?
· 人口红利和人口投资
· 多生孩子: 靠政策,还是靠自己?
· 华而不实和春华秋实
· 劝君莫惜金缕衣,劝君惜取少年时
· 政府越大,出生率越低
【政治】
· 关于全民基本收入
· 六四还是六三?
· Iron and blood
· 华人参政不够踊跃吗?
· 谁得益于大政府?兼论美国大选
· 印一百元假钞是犯罪,印一万亿真
· 量化宽松和猪肉注水
· 百年大势和英国脱欧
【杂谈】
· 搭错车
· 龙图腾的含义
· 个体的肥胖和社会的肥胖
· 在什么年纪,做什么事情
· 早晨出行和下午出行
· 男学生在哪里?
· 贱和基本
· 少数的重要性
【经济】
· 效用函数是什么样子的?
· 经济学理论不应该建立在拓扑学基
· 谁是二十世纪最伟大的经济学家?
· 谁是十九世纪最伟大的经济学家?
· 非平衡态经济学理论简介
· 凯恩斯主义适用的环境
· 从日本的负利率谈起
· 关于利率
· 生产过程各要素之间的关系
· 平衡态和非平衡态经济学
【加拿大】
· 一个登山爱好者的历险 (附视频
· 回归
· 海达圭游记
· 天尽头
· 红河谷歌词的变迁
· 洄游的三文鱼
· 碧西(BC)的风景和阿省的风景
· 中加教育比较
【语言】
· 决定和 decide
· 仇的两种读法
· 小儿子教我读书
· 汉语单词的起源
· 舒服和束缚
· 姓张的人为什么这么多?
· 纽,妞,丑,new, 牛
· 姜太公的故事
· 语言的产生和演变
【科学】
· 科学研究:缺的是钱吗?
· 数学:应用和乐趣
· 汉字和科学研究
· 社会生物学与社会
· 有趣的化学
· 蒲公英和科学研究
· 当代没有科学大师吗?
· 数学,美和现实
· 现实世界:理解数学的金钥匙
【健康】
· 按摩脚底为什么这么重要?
· 中医的疗效(续)
· 从蛋白质的不同分解途径看痛风的
· 中医的疗效
· 从哮喘的治疗谈预防
· 实用生理学
· 什么是酸性食物?
· 肥胖和内脏功能
· 呼吸的方法
· 关于抑郁
【科学与经济】
· 阅读The Unity of Science and E
· 信息和熵的等价性
· 知觉的简单和数学的简单
· 一流的研究: 真那么难吗?
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