生物学的统一理论

很多人都讨论过生物学的统一理论。生物学的统一规律应该包括两条。首先，所有生物都需要吸收外部的资源来补偿自身的耗散，第二，从外界得到的资源必须要高于成本，包括固定成本和可变成本。下面我们将这两条规律转化为数学理论。

吸收资源以补偿自身的耗散，这可以用对数正态过程来表达，第一项是吸收项，第二项是耗散项。由于我们关注的是平均值，而非随机分布的每一点，我们可以将随机过程转化为相对应的确定性方程。转化方法有很多种，我们采用费曼路径积分，这是因为量子力学的方法就是加权平均，而在生物学和经济学中，我们需要折现，费曼－Kac 公式正好提供了加权的方法。当然，还可以从哲学角度解释，生命现象就是量子现象，所以用量子力学的方法是自然的。

利用费曼－Kac 公式得到代表生命过程的热力学方程以后，我们需要初始条件才能解。我们把初始条件设成资源量等于固定成本加可变成本，这是生命存在的边界条件。有了这个边界条件，我们就可以解出这个方程，其中的时间值是生命的长度（lifespan)。恰好可以得到解析解，也就是说，可变成本可以表达成资源量，固定成本，生命长度或投资期限，耗散率和折现率的解析函数。有了这个公式，就可以推演出生态学中很多现象。

比如说，在波动幅度很大的环境，r类物种 (r species) 有优势，在稳定的环境里，K 类物种 （K species) 占统治地位。r类物种固定成本低，K类物种固定成本高，从上面的公式，当耗散系数很大，代表环境变化很快，无论如何提高固定成本，很难降低可变成本，在这种环境下，低固定成本的r类物种占优势。当环境稳定（耗散系数低），提高固定成本可以迅速降低可变成本，在这种环境下，高固定成本的K类物种占统治地位。其它很多生态学中常见的现象都可以从这个理论推导出来。

理解生命现象的关键，是认识到生命现象是物理过程和经济原则的综合体，我们所说的自然选择，加以量化，就是回报率大于零，从经济学角度，是产值高于固定成本加可变成本，从生物学角度，就是摄取的资源高于消耗的固定成本和可变成本。更具体的数学推导和应用，我的很多文章和书中都有讨论。

人们曾用不同的数学方法描述生物进化过程，象福柯-普朗克方程、柯尔莫哥洛夫扩散方程。我们来讨论一下费曼－Kac 公式和其它方程的关系。费曼－Kac公式是柯尔莫哥洛夫backward 方程的推广，而福柯－普朗克方程是柯尔莫哥洛夫forward 方程。我们研究的时候，可能会尝试很多的方法，大部分方法都无功而返，只有少数能够成功。当我们登上山巅，再往下看，应该走的捷径往往一清二楚，但是在山底下的时候，往往很难看清楚。

附录：非平衡态理论经济学的数学理论的推导过程。

理解生命现象的关键，是认识到生命现象是物理过程和经济原则的综合体，我们所说的自然选择，加以量化，就是回报率大于零，从经济学角度，是产值高于成本，从生物学角度，就是摄取的资源高于消耗的成本。

生物学和经济学的一般规律应该包括两条。首先，所有生物或经济体都需要吸收外部的资源来补偿自身的耗散，第二，从外界得到的资源必须要高于成本，包括固定成本和可变成本。下面我们将这两条规律转化为数学理论。

吸收资源以补偿自身的耗散，这可以用对数正态过程来表达，                              

第一项是吸收项，第二项是耗散项。由于我们关注的是平均值，而非随机分布的每一点，我们可以将随机过程转化为相对应的确定性方程。转化方法有很多种，我们采用量子力学中的费曼路径积分方法，这是因为量子力学的方法就是加权平均，而在生物学和经济学中，我们需要折现，费曼－Kac 公式正好提供了加权的方法。当然，还可以从物理角度解释，生命现象就是量子现象，所以用量子力学的方法是自然的。

利用费曼－Kac 公式得到代表生命过程的热力学方程是

我们需要初始条件才能解这个方程。我们把初始条件设成资源量等于固定成本加可变成本，这是生命存在的边界条件。如果固定成本低于所摄取的资源，可变成本是资源和固定成本之差，如果固定成本高于所摄取的资源，就不再需要额外的可变成本。让 S 代表资源量， K 代表固定成本， C 代表可变成本，数学上，这就是

有了这个边界条件，我们就可以解出这个方程，其中的时间值 T 代表生命的长度（lifespan)， 或投资的期限。恰好可以得到如下的解析解，

                      （1）

其中

而 N(x) 是标准正态分布随机变量的累积概率函数。也就是说，可变成本可以表达成资源量，固定成本，生命长度或投资期限，耗散率或者不确定性，和折现率的解析函数。熟悉金融工程的读者，会看到这个公式和 Black-Scholes 公式的形式一模一样，但各个参数的经济意义是不一样的。

有了这个可变成本的解析公式，我们可以进一步计算各种投资的预期回报。假设整个投资期间的产出量是 Q，单位产品的价值和可变成本分别为 S 和 C， 则总收入和总成本分别

               SQ  和  K + CQ 

投资的净现值为

               SQ - （K+ CQ）       （2）

投资的回报率为

                              （3）

我们经常用 S 代表单位时间的产出， 如果投资项目的期限是 T， 那么，

投资的净现值为

               ST - （K+ CT）                    （4）

投资的回报率为

                                           （5）

有了这个生产过程的解析理论，就可以推演出经济学和生态学中很多现象。我们先来计算在不同大小的不确定性环境下，固定成本增加时，对可变成本的影响。从公式 （1），计算结果如下图。

这个计算非常容易，用简单的 Excel 就能完成，所用的 Excel 文件放在文章最下面，可以自己下载，自己做各种运算。上图的计算放在 Sheet1. 

上图的计算显示， 高固定成本的投资在低不确定性的环境下能显著降低可变成本， 而低固定成本的投资在高不确定性的环境下更具灵活性。在生态学里，物种分类为低固定成本的r类物种和高固定成本的K类物种，在波动幅度很大的环境，r类物种 (r species) 有优势，在稳定的环境里，K 类物种 （K species) 占统治地位。从上面的计算，当耗散系数很大，代表环境变化很快，无论如何提高固定成本，很难降低可变成本，在这种环境下，低固定成本的r类物种占优势。当环境稳定（耗散系数低），提高固定成本可以迅速降低可变成本，在这种环境下，高固定成本的K类物种占统治地位。

同样，在变化很快的经济领域，技术往往由一两个人创造的新公司引领，象苹果，微软，网景，雅虎，谷歌，脸书，往往是几个年轻人建立的，而成熟的领域，象消费品行业，往往是象可口可乐，宝洁这种老牌企业称雄。在科学研究中，成熟的领域往往由名校的大牌教授领导，而革命性的理论往往源于新人或局外人。

我们再来计算不同固定成本的投资，在不同的产出或市场大小情况下的回报。从公式 （3），计算结果如下图。下图的计算放在 Excel 文件的Sheet2.

从上图可以看到，高固定成本的投资需要较大的产出才能回本，同时，由于高固定成本的投资可变成本低，其回报曲线较陡，在大市场中可以取得高回报。而低固定成本的投资则相反。

产能过剩是经常讨论的一个问题，产能过剩，本质是生产系统的固定成本过高，需要大量生产才能保本。为什么固定成本过高？这主要是因为预期的经济增长速度过高，公司，或者政府，选择高固定成本的生产系统，期望在将来的大市场中获得高回报。如果经济增长速度不再成为政府的考核因素，产能过剩的问题应该很快能解决。

我们接下来讨论人们在不同环境下的投资决定。在给定的条件下，人们会选择特定的投资方式以得到最大的回报率或净现值。我们假设不确定性是环境条件，是我们不能改变的，而固定成本和投资期限是我们自己可以调节，控制的。在 Excel 中，有一个 add-in,  叫 solver, 可以用来解决极值问题。在不同的不确定性下，我们以固定成本和投资期限为变量，用solver 来寻求净现值，即公式 （4）的最大值，计算结果放在Excel 文件的Sheet3. 大家可以看到，当不确定性低的时候，固定成本高和投资期限长，净现值高，当不确定性高的时候，固定成本低和投资期限短，净现值低，这是大多数人喜欢稳定的环境的原因。

在一个稳定的社会环境，大多数人的固定投资很高，尤其表现在教育方面，高等教育十分普遍，在一个不稳定的社会环境，象处于战争状态的地区，大多数人的固定投资低，读书的年数少。通常我们觉得，固定成本高和投资期限长是好事，但如果我们所在的地区, 突然变得很不稳定，从Sheet3上的计算，固定投资越高的系统损失越大，这就是为什么在社会大变动的年代，那些简单的社会系统和底层的人反而能够生存，在地质大变动的时代，那些处于统治地位的大物种，象恐龙，会灭绝，而简单的物种反而能够生存。

货币政策和商业周期是经济理论和政策中的重大问题，我们来考虑货币政策和商业周期的关系。降低利率能够增加资产和公司的价值，所以政府经常选择低利率，特别当经济衰退的时候。但是长期的低利率政策容易造成经济活动的大幅波动，这经常归咎于低利率造成的通货膨胀。还有别的原因吗？我们来计算一下高利率和低利率环境下的投资行为。计算结果放在Excel 文件的Sheet4. 大家可以看到，当利率低的时候，固定成本高和投资期限长，净现值高，当利率高的时候，固定成本低和投资期限短，净现值低。也就是说，货币政策不仅影响资产价值和经济产出的数量，更重要的是投资的结构。如果我们所在的社会,突然变得很不稳定，从Sheet4上的计算，固定投资越高的系统损失越大，也就是说，利率越低的社会，商业周期的幅度越大。大多数政策制定者知道这个道理，但是，人们通常对低利率的短期好处有清晰的理解，对低利率的长期问题则较少考虑，导致利率在低处停留过长。我们的计算，非常简单，使低利率的长期问题很容易理解。

更具体的分析，请参考

Chen, J, The Unity of Science and Economics: A New Foundation of Economic Theory, (2016), Springer

Excel 文件

http://web.unbc.ca/~chenj/Examples.xlsx