数学, 美和现实

科学研究分基础理论和应用两部分. 应用的发展由现实世界的需要主导, 由于很多基础研究没有明确的应用, 研究人员经常用”美”来指导其研究方向.

什么是美? 我们看到花朵, 觉得很美, 花朵开放之后, 里面的种子会结成果实; 我们看到草原, 觉得很美, 风吹草低现牛羊, 丰盛的青草会带来肥美的牛羊; 我们看到年轻的姑娘, 觉得很美, 年轻的姑娘会孕育新的生命. 美, 是我们对这个世界上重要资源的一种直觉. 有人会说, 我研究的是纯数学, 数学的美, 跟现实世界的重要性没有关系. 下面, 我们就来讨论数学的美.

首先, 数学中的很多基础理论, 源于应用, 几何学的原意是測地学(geo-metry). 而微分几何则源于测量大范围的地貌, 这时, 需要考虑地球的曲率. 多数教科书不讲理论的起源和历史, 我们读书的, 也就以为这些漂亮的理论是没有具体应用的纯数学. 其次, 把基础理论和应用结合起来, 会增加, 而不是减少基础理论的美感. 比如说, 矩阵理论本身非常漂亮, 但如果把矩阵理论应用到解析几何, 理论力学, 和量子理论中的矩阵力学, 当我们理解了特征值和特征函数的物理意义, 我们会觉得矩阵理论更加漂亮. 第三, 漂亮的数学结果, 往往预示极强的应用可能性. 比如说, 有一次我看到 Gibbs 不等式, 一个极简单的公式, 觉得很激动, 几年之后, 我发现Gibbs 不等式可以用来表述很多重要的问题.

为什么这么多女人和男人花这么多钱化妆? 就是因为美太有实用价值了. 由于美的实用价值, 大部分研究人员会说自己的工作美, 也不管自己是否真的喜欢. 正是由于美的滥用, 这个词当下的名声很不好. 前几年, 克鲁格曼[1] 曾写过一篇评论, 指责目前的经济学研究是beauty over truth.但实际上,最今几十年, 主流经济学研究并没有出过真正漂亮的结果, 有的只是堆砌出来用来化妆的方程 [2, 3]. 而且, 主流经济学研究中,真正的数学理论越来越少, 增加的只是千篇一律的统计模型 [4]. 很多人把数学和复杂性对等起来, 实际上,数学思考的目的是简化, 而不是复杂化, 孟德尔的遗传学模型, 就是一个非常简单而深刻的数学模型,把过去模模糊糊的遗传问题, 定量化了, 最终发展出基因理论.但简单而深刻的数学理论, 往往需要很长的时间才会得到人们的重视, 孟德尔的理论, 过了几十年, 人们才理解它的重要性.

那么我们如何才能做出真正重要的工作呢? 王国维说过：“古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界。‘昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路’，此第一境也；‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴’，此第二境也；‘众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处’,此第三境也。”

“独上高楼，望尽天涯路”, 我们只有独立思考自然, 社会中最根本的问题, 才能站得高, 看得远. “衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”, 碰到喜欢的问题, 就坚持做下去, 不能太多考虑短期的回报. “蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”, 好的工作, 大多不在热门的领域, 而在“灯火阑珊处”.

参考文献

1.       Krugman, P. (2009). How did economists get it so wrong? New York Times, 2(9), 2009.

2.       Galbraith, J. (2014). The End of Normal: The Great Crisis and the Future of Growth, Simon & Schuster

3.       Chen, J. (2015) The Unity of Science and Economics: A New Foundation of Economic Theory, Springer

4.       Treynor, J. (1996). Remembering Fischer Black, Journal of Portfolio Management, Vol. 23, December, p. 92-95.