數學, 美和現實

科學研究分基礎理論和應用兩部分. 應用的發展由現實世界的需要主導, 由於很多基礎研究沒有明確的應用, 研究人員經常用”美”來指導其研究方向.

什麼是美? 我們看到花朵, 覺得很美, 花朵開放之後, 裡面的種子會結成果實; 我們看到草原, 覺得很美, 風吹草低現牛羊, 豐盛的青草會帶來肥美的牛羊; 我們看到年輕的姑娘, 覺得很美, 年輕的姑娘會孕育新的生命. 美, 是我們對這個世界上重要資源的一種直覺. 有人會說, 我研究的是純數學, 數學的美, 跟現實世界的重要性沒有關係. 下面, 我們就來討論數學的美.

首先, 數學中的很多基礎理論, 源於應用, 幾何學的原意是測地學(geo-metry). 而微分幾何則源於測量大範圍的地貌, 這時, 需要考慮地球的曲率. 多數教科書不講理論的起源和歷史, 我們讀書的, 也就以為這些漂亮的理論是沒有具體應用的純數學. 其次, 把基礎理論和應用結合起來, 會增加, 而不是減少基礎理論的美感. 比如說, 矩陣理論本身非常漂亮, 但如果把矩陣理論應用到解析幾何, 理論力學, 和量子理論中的矩陣力學, 當我們理解了特徵值和特徵函數的物理意義, 我們會覺得矩陣理論更加漂亮. 第三, 漂亮的數學結果, 往往預示極強的應用可能性. 比如說, 有一次我看到 Gibbs 不等式, 一個極簡單的公式, 覺得很激動, 幾年之後, 我發現Gibbs 不等式可以用來表述很多重要的問題.

為什麼這麼多女人和男人花這麼多錢化妝? 就是因為美太有實用價值了. 由於美的實用價值, 大部分研究人員會說自己的工作美, 也不管自己是否真的喜歡. 正是由於美的濫用, 這個詞當下的名聲很不好. 前幾年, 克魯格曼[1] 曾寫過一篇評論, 指責目前的經濟學研究是beauty over truth.但實際上,最今幾十年, 主流經濟學研究並沒有出過真正漂亮的結果, 有的只是堆砌出來用來化妝的方程 [2, 3]. 而且, 主流經濟學研究中,真正的數學理論越來越少, 增加的只是千篇一律的統計模型 [4]. 很多人把數學和複雜性對等起來, 實際上,數學思考的目的是簡化, 而不是複雜化, 孟德爾的遺傳學模型, 就是一個非常簡單而深刻的數學模型,把過去模模糊糊的遺傳問題, 定量化了, 最終發展出基因理論.但簡單而深刻的數學理論, 往往需要很長的時間才會得到人們的重視, 孟德爾的理論, 過了幾十年, 人們才理解它的重要性.

那麼我們如何才能做出真正重要的工作呢? 王國維說過：“古今之成大事業、大學問者，必經過三種之境界。‘昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路’，此第一境也；‘衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴’，此第二境也；‘眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處’,此第三境也。”

“獨上高樓，望盡天涯路”, 我們只有獨立思考自然, 社會中最根本的問題, 才能站得高, 看得遠. “衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”, 碰到喜歡的問題, 就堅持做下去, 不能太多考慮短期的回報. “驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處”, 好的工作, 大多不在熱門的領域, 而在“燈火闌珊處”.

參考文獻

1.       Krugman, P. (2009). How did economists get it so wrong? New York Times, 2(9), 2009.

2.       Galbraith, J. (2014). The End of Normal: The Great Crisis and the Future of Growth, Simon & Schuster

3.       Chen, J. (2015) The Unity of Science and Economics: A New Foundation of Economic Theory, Springer

4.       Treynor, J. (1996). Remembering Fischer Black, Journal of Portfolio Management, Vol. 23, December, p. 92-95.