| | 《數學學習24/30》 歷史上有許多關於概率論有趣也有名的問題。布豐投針的問題就是其中之一。布豐（George-Louis Buffon, 1707-1788）是法國的一個博物學家，人品好人緣也很好，不僅正牌的官員喜歡他, 普通百姓也喜歡他，連海盜也喜歡他。 據說海盜曾將整船掠品贈送給了布豐。布豐最著名的就是投針問題：在地板上畫上許多等距離的平行線，假定距離為一個單位長度。將一枚針投向地面，假定針的長度為r，r小於單位長度1, 也就是小於平行線之間的間隔。假定投擲的次數為n，針與平行線相交的次數為h，隨着投擲的次數增加，h／n趨近於2r／π，結果是, 針與直線相交的概率2r／π。從中可以看到, π = 2rn/h。這是一個驚人的發現, 因為它把一個完全不是隨機量的園周率π, 表示為大量隨機投擲的極限, 極大 地提高了概率論的知名度和可信度, 並將概率論引進了幾何學。
關於概率論最有影響的討論, 是因為天花而引出的風險評估。天花和人類的文明幾乎足一樣的古老, 是一種傳染性病毒。一般情況下, 有1/3的感染者會死於非命, 倖存者身上也會留下許多永久的疤痕, 但對天花會有終身的免疫力。在18世紀英國醫生詹納發現天花疫苗之前, 人們抵抗天花的措施就是接種牛痘, 其基本思路就是從已經感染的人身上, 取出天花病毒較弱的變異, 注射到健康人身上, 從而產生對天花的免疫力, 這種做法也有風險。
出生於數學世家的瑞士數學家丹尼爾.伯努利(概率論中大數定律創立者雅各布.伯努利的侄子), 首先對天花與接種牛痘之間的關糸作了概率分析, 他認為接種牛痘的大部分嬰兒都存活下來, 並且一生都免於天花的威脅, 雖然有些嬰兒在接種後一個月內會死去, 但接種依然是保護大眾健康的有效措施。 他根據當時死於天花的案例, 得出分析結果 : 接種牛痘使平均壽命增加10%。
對伯努利的觀點, 達朗貝爾 (就是在開篇中介紹過，被親生父母拋棄的那位達朗貝爾) 持不同的意見, 他認為: 對於新生嬰兒來說, 接種牛痘的風險是立竿見影的, 直接的; 而患天花的風險, 是將來的潛在的。讓一個人, 經歷一段正常的人生之後, 再死於天花, 總比一開始就付出全部的生命作為賭注好。在對30歲組的成年男人分析中, 伯努利的報告指出, 不接種的平均壽命為54歲, 接種的平均壽命為57歲。達朗貝爾則認為, 為了多活有限的3年, 一個30歲的男人拿出全部的生命來冒險, 是否明智?
達朗貝爾的辨論是數學史上的經典。事實上, 達朗貝爾並不反對伯努利的建議, 他也認為接種牛痘是有利於公眾健康的好方法。他所反對的, 只是伯努利所作的數理分析。 從這一事例中不難看出,用概率論的語言來解釋世界是多麼不容易, 如果希望通過概率論讓人們來認識世界, 明辨是非，則更是微妙更是困難。任何一個數學理論對實際間題的應用, 都需要對理論和實際之間的關係作一定的補充假設, 數學推出的結論, 也許是這些假設嚴密的邏輯推論, 但不能保證結果與現實一致。純潔的數學理論尚且如此, 何況其它的學科? 許多理論，也只能是理論理論（待續）。
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