數學學習（28/30）

戴德金分割，從正面解釋了什麼是無理數，建立起有理數與無理數之間的聯繫，從而結束了兩千多年＂無理數不是有理數＂這樣有缺陷的定義，同時，也更明確了數的分類，統一地將數分為，正數與負數，有理數與無理數，實數與複數，代數數與超越數等等。

這裡的代數數和超越數，對有些人來說，可能是新概念，有必要解釋一下。所謂代數數，就是可以用代數方程來表示的數。比如，X2 – 2 = 0，X所表示的就是正負根號2，再比如，X2 + 1 = 0，X所表示的就是正負根號負1。這些能用代數方程表示的數，統稱為代數數。 代數方程，是指一般形式的代數方程, Xm+ a1Xm-1 + + … amX+c = 0, 可以為任意次方，一次方，一百次方，甚至一百萬次方。我們所知道的數，基本上都可以稱之為代數數，也就是說，總可以找到一個代數方程來表示它。

是不是每個數都可以用代數方程來表示呢？換言之，是否存在代數方程表達不了的另一類數？兩百多年前，以歐拉為代表的數學家們猜測，這類數是存在的，並且給這類想象中的數取名叫超越數。即，不是代數數的數為超越數。

  超越數的新名詞，折騰了數學家們一百多年， 大概在1840年前後，法國數學家劉維爾(Joseph Liouville,1809--1882)證明了超越數的存在，又過了三十年，法國數學家埃爾米特（Charles Hemite,1822-1901)，證明了e是一個超越數，九年之後，德國數學家林德曼(Ferdinand von Lindemann, 1852-1939)，證明了圓周率π是超越數。

   證明了超越數的存在，並發現了真正的超越數，使數學前進了一大步，但並沒有減輕數學家們的困惑與負擔。首先, 超越數是什麼？ 數學是一門演譯科學， 不接受＂超越數不是代數數＂這樣不準確的定義。前面說過， ＂無理數不是有理數＂折 騰了人們兩千多年，＂超越數不是代數數＂以類似的挑戰，正在折 騰着數學，或許需要再一個兩千年。 

   更令人困惑的是，有理數不比自然數多，無理數比有理數多，代數數又比無理數多岀很多，超越數比代數數，要多得多的多。可憐的是，面對這多多的超越數，我們除知道兩個超越數 e 和 π之外，其餘一無所知（待續）。