效用函數是什麼樣子的？
在主流經濟理論中，決策者最大化其效用函數。因此效用函數是主流經濟理論中最重要的概念。在學術文獻中，效用函數可以採取各種形式。但是我們每個人的效用函數是什麼？如果我們不知道我們自己的效用函數，我們如何最大化它呢？在本文中，我們將證明在非常一般的條件下，效用函數是對數函數。這樣，效用函數就成了一個有明確意義的概念。
當效用函數的概念在大約三百年前首次引入時，它是一個對數函數（Bernoulli，1738）。但在後來的文獻中，使用了許多形式的效用函數。最近，有些人證明對數函數等價於最大化幾何回報率，從進化論的角度，對數函數應該是效用函數的主要形式。更詳細討論請參考Sinn（2003）。我們用簡單的數學推導，證明在非常一般的條件下，效用函數是對數函數。
假設我們去商店買兩件東西，一塊電池和一本書。如果電池和書是彼此獨立的，那麼一起考慮電池和書的效用，應該與單獨考慮的相同。 數學上，對於效用函數f，如果兩個變量x，y彼此獨立，則f（xy）= f（x）+ f（y）。通過一個簡單的方法（見附錄）可以證明，如果f（xy）= f（x）+ f（y），則f（x）必然是對數函數。因此，在非常一般的條件下，我們的效用函數是一個對數函數。
上面的方法非常簡單。然而，該方法在科學中推導出一些非常重要的結果。在玻爾茲曼的墓碑上，刻着一個簡單的公式，S = k logW。這個公式將熵，S，與微觀狀態數，W，用對數函數聯繫起來。在香農的信息理論中，信息量，S，與信號的概率，P，通過對數函數S = -logP 聯繫起來。物理熵，信息和效用函數之間的相似性不是偶然的，它表明人類的思想，包括數學能力，是對物理世界的適應（Chen，2016）。
我們用一個具體例子進一步闡述熵和信息的關係。想像扔兩個骰子，每個骰子有六個可能的結果，其玻爾茲曼熵為 log 6，兩個骰子共有 6*6 = 36個可能結果，其玻爾茲曼熵為 log 36，等於 log 6 + log 6. 從香農信息論角度，扔骰子得到某個數字的概率是1/6，其信息量為－log(1/6) = log 6, 和玻爾茲曼熵一樣，扔兩個骰子，得到某個數字組合的概率是 1/6*1/6 = 1/36， 其信息量為－log(1/36) = - log(1/6）- log(1/6) = log(36).所以，熵和信息是等價的。 從上面的討論可知，乘法就是兩個事件一起發生。
在主流經濟理論中，人類行為的差異通常歸因於效用函數的差異。例如，年輕人和老年人之間的投資方式的差異通常歸因於他們的效用函數的差異。我們剛才證明，人們的效用函數是相同的，年輕人和老年人之間的投資方式 的差異可歸因於他們在收入和支出上的差異。老年人的支出通常比收入高。因此，他們的投資組合通常包括較高比例的固定收益資產以補償現金流出。年輕人通常定期為他們的養老基金繳款。因此，他們的投資組合通常包括較低的固定收益資產比例以補償現金流入。
在主流經濟理論中，效用函數可以採取無窮多種形式。但是實際數據總是有限的。因此，主流經濟理論不能被證偽。不可證偽的理論是一種科學理論嗎？相反，當效用函數是唯一的並且等於幾何回報率時，經濟理論變成可證偽的，並且可以從與實際問題的比較中改進。 附錄 如果對任何變量 x, y, f(xy) = f(x) + f(y), 那麼 f(x) = k log(x). 證明： 在 f(xy) = f(x) + f(y) 兩邊， 對 x 求導，得到 y f’(xy) = f’(x) 讓 y = 1/x, 上面的等式成為 1/x f’(1) = f’(x). 所以 f(x) = k log(x) + C, 將上式代入 f(xy) = f(x) + f(y), 得到 C = 0, 因此 f(x) = k log(x)
參考文獻 Bernoulli, D. 1738 (1954).Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk. Econometrica, 22(1), 23-36. Chen,J, TheUnity of Science and Economics: A New Foundation of Economic Theory, (2016), Springer Sinn, H. (2003). Weber’s law and the biological evolution of risk preferences: The selective dominance of the logarithmic utility function, The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory 28, 87-100;
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