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物理趣味题:两园柱滚下斜面 谁快 2016-02-27 10:30:00

《物理趣味题:两园柱滚下斜面 谁快》

#366


两个同长度10厘米的园柱形薄桶:

一个直经6厘米装满水,

另一个直经4厘米装满沙子。

两者同时从同一长斜面(倾角30度)并排滚下,桶不变形,桶在斜面上纯滚动(无滑动)。

问题:

用物理(中学物理或大学普通物理)原理说明哪个园柱跑得快?

“为什么”才是重要的。




————————————————————————————


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文章评论
作者:有哲 留言时间:2016-02-28 19:57:31
嘎拉哈博,谢谢来访。
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作者:有哲 留言时间:2016-02-28 19:53:19
仙游野人博,你的解答正确。谢谢来访。
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作者:仙游野人 留言时间:2016-02-28 19:26:49
某忍不住来解,从理论上已证明水桶滚得快:用能量守恒和微分法。方程是:

d(mgh)+d(1/2*I*u^2/r^2+1/2*m*u^2)=0

Absolute[d(u^2)/dh]=2g/[I/(mr^2)+1]

I=(some coefficient)*m*r^2

So Absolute[d(u^2)/dh]=2g/[(some coefficient)+1]

好了,I 是转动惯量, 可是水是流体,以上的系数为小,在此略去证明,但直观上水不能同步转动,因此高度的改变引起的速度平方改变大,是故速度快。由此可看出:只要是均匀刚体,速度与半径及质量大小无关,还可看出空桶要慢。有错请指出,谢谢。
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作者:有哲 留言时间:2016-02-28 17:59:28
说两句博,不一样,这里有转动。谢谢来访。
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作者:有哲 留言时间:2016-02-28 17:55:47
Haoqi博,一个满瓶矿泉水,留有一小气泡,放在斜面上滚。你会看到气泡总在上面,不在下面。
说明瓶子壁对水的“带动”效果不大,不会影响问题结果。谢谢来访。
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作者:说两句 留言时间:2016-02-28 16:09:00
这和铁球和羽毛在同一高度下落(不考虑空气阻力)的速度是一样的。只不过重力变成分力。
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作者:嘎拉哈 留言时间:2016-02-28 15:26:48
Haoqi 好!

【对[有哲]博主"水桶不做'转动',是近似的平动。(外壳质量忽略,水与桶之间的摩擦力忽略,水不随外壳转动,不是刚体。)"的说法提点儿异议:

第一,只有当圆桶里的水不满,并且圆桶滚动速度非常慢时,"水不随外壳转动,不是刚体'的说法才是正确的; 当圆桶里的水不满,但圆桶滚动速度较快时,水随外壳转动,但跟不上桶的滚动速度,桶里会出现"浪涛".(老嘎"来不及"滚,或者"滚不起来”说的正是这种情况).这是一种中间状态; 而当圆桶里装满水且滚动速度较快时,水将随圆桶同步滚动(因而可视为是刚体). 我们可用一透明塑料(或玻璃)瓶装(满/不满)水,并在水里放一小棍做标示物,让瓶沿斜坡滚动,观察瓶中小棍动向即可知道这些现象.】

---- 这里当然是假定装满水的情况。即假定 sloshing 没有出现。没错,随着时间的推移,水桶里的水迟早要滚起来的。但是这并不是这里所关心的‘理想情况“。

【第二,请注意原题中"装满水","装满沙子","两者同时从同一长斜面并排滚下,桶不变形,桶在斜面上纯滚动(无滑动)"的前提条件.这一点与你"水桶不做'转动',是近似的平动"的说法相互抵触.水桶只有在沿斜坡纯滑动时,才可视为是"近似的平动". 在"装满水""纯滚动(无滑动)"时,不能视为"近似的平动".】

---- 对于水桶来说,如果把薄桶壳的作用,想象成一个没有质量的”薄轴承“。那么理解起来就容易多了。

【[嘎拉哈]:对于沙桶,运动是绕瞬时中心,也就是圆柱与斜坡的瞬时接触点的滚动。因此,驱动圆柱运动的合力,等于 mgsin(a)(沿着斜坡向下),减去滚动摩擦力(沿着斜坡向上)。
----------- Haoqi:这些话正确, 并且同样适用于水桶.】

----- 我那句话不够严格。应当是”对于沙桶,运动是绕瞬时中心,也就是圆柱与斜坡的瞬时接触点的定点刚体转动。“ 但是对于水桶来说,由于所有的水质点,都是跟质心一样,以同一个速度运动。因此,绕质心的”旋度“,或者”运动矩“为零。


【[嘎拉哈]:对于水桶来说,所有质点运动速度相同,即平动。因此摩擦力等于零。
----------- Haoqi:这句中的"摩擦力"是指水与桶之间的"滑动摩擦力",还是桶与斜坡之间的"滚动摩擦力". 如果是前者,则可忽略不管. 如果是后者, 则绝对不会有"摩擦力等于零"的可能, 否则,水桶能滚动起来吗? 老嘎在计算水桶加速度时不象在计算沙桶加速度时那样计入"滚动摩擦力",实际上是把桶与斜坡之间的"滚动摩擦力"与水与桶之间的"滑动摩擦力"混为一谈,犯了"跳跃式""文科思维"的毛病,不够严密. 老嘎是学文科的吗? 】

------ 如果桶本身的质量是可以忽略的,并却水与桶内壁的摩擦也是可以忽略的,那么桶外壁与斜坡的摩擦力,自然也是可以忽略的。俺是工科出身,钻井专业。
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作者:嘎拉哈 留言时间:2016-02-28 14:46:41
有哲:

【这里的摩擦力严格应称“静摩擦力”而不是“滚动摩擦力”。应说几句关于摩擦力。】

----- 你说的也对。不过,如果把摩擦分为静摩擦和动摩擦。那么对于圆柱或者轮子之类的“刚体”来说,滚动摩擦相当于静摩擦,滑动摩擦相当于动摩擦。因此,在不引起歧义(例如,把滚动摩擦看作是橡胶的非弹性能耗)前提下,我的叫法也是可以的。例如,ABS 刹车系统,就是为了让车轮永远保持滚动摩擦,防止滑动摩擦的出现。
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作者:相当大 留言时间:2016-02-28 13:28:15
我用矿泉水瓶子作了实验,很容易就得到结论。高不懂有这么多的傻瓜说了那么多废话,还说不到点子上。 我又用了我的哑铃,滚得更慢。太简单的道理了,能量守恒就能解。
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作者:Haoqi 留言时间:2016-02-28 11:09:42
[嘎拉哈]:对于沙桶,运动是绕瞬时中心,也就是圆柱与斜坡的瞬时接触点的滚动。因此,驱动圆柱运动的合力,等于 mgsin(a)(沿着斜坡向下),减去滚动摩擦力(沿着斜坡向上)。
----------- Haoqi:这些话正确, 并且同样适用于水桶.

[嘎拉哈]:对于水桶来说,所有质点运动速度相同,即平动。因此摩擦力等于零。
----------- Haoqi:这句中的"摩擦力"是指水与桶之间的"滑动摩擦力",还是桶与斜坡之间的"滚动摩擦力". 如果是前者,则可忽略不管. 如果是后者, 则绝对不会有"摩擦力等于零"的可能, 否则,水桶能滚动起来吗? 老嘎在计算水桶加速度时不象在计算沙桶加速度时那样计入"滚动摩擦力",实际上是把桶与斜坡之间的"滚动摩擦力"与水与桶之间的"滑动摩擦力"混为一谈,犯了"跳跃式""文科思维"的毛病,不够严密. 老嘎是学文科的吗?
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作者:Haoqi 留言时间:2016-02-28 10:41:54
对[有哲]博主"水桶不做'转动',是近似的平动。(外壳质量忽略,水与桶之间的摩擦力忽略,水不随外壳转动,不是刚体。)"的说法提点儿异议:
第一,只有当圆桶里的水不满,并且圆桶滚动速度非常慢时,"水不随外壳转动,不是刚体'的说法才是正确的; 当圆桶里的水不满,但圆桶滚动速度较快时,水随外壳转动,但跟不上桶的滚动速度,桶里会出现"浪涛".(老嘎"来不及"滚,或者"滚不起来”说的正是这种情况).这是一种中间状态; 而当圆桶里装满水且滚动速度较快时,水将随圆桶同步滚动(因而可视为是刚体). 我们可用一透明塑料(或玻璃)瓶装(满/不满)水,并在水里放一小棍做标示物,让瓶沿斜坡滚动,观察瓶中小棍动向即可知道这些现象.
第二,请注意原题中"装满水","装满沙子","两者同时从同一长斜面并排滚下,桶不变形,桶在斜面上纯滚动(无滑动)"的前提条件.这一点与你"水桶不做'转动',是近似的平动"的说法相互抵触.水桶只有在沿斜坡纯滑动时,才可视为是"近似的平动". 在"装满水""纯滚动(无滑动)"时,不能视为"近似的平动".
另外,如果另一个圆桶里的沙子没装满,滚动时桶里也会出现"浪涛",但幅度小于水桶.这是题外的话.
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作者:有哲 留言时间:2016-02-28 08:49:44
博主注:
如果能用“转动惯量”和“转动动能”说明,还是用“转动惯量”和“转动动能”(大学普通物理)方法正规。此题是大学普通物理题。
中学物理方法只是定性,直觉,选择,使没学过“转动惯量”的人也可以上阵。
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作者:有哲 留言时间:2016-02-28 08:36:22
嘎拉哈博,你的中学物理回答基本正确。这里的摩擦力严格应称“静摩擦力”而不是“滚动摩擦力”。应说几句关于摩擦力。也可用其他方法。
如果能用“转动惯量”和“转动动能”说明,还是用“转动惯量”和“转动动能”好。你的前两个答案正规。谢谢来访。
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作者:有哲 留言时间:2016-02-28 08:03:09
Haoqi博,你的推理对沙桶正确,结果应是与质量及直经无关。
但水桶不做“转动”,是近似的平动。(外壳质量忽略,水与桶之间的摩擦力忽略,水不随外壳转动,不是刚体。)。谢谢来访。
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作者:有哲 留言时间:2016-02-28 07:49:21
xjgg博,你的F公式用摩擦系数有误。这里的摩擦力严格应称“静摩擦力”而不是“滚动摩擦力”。不用摩擦系数。摩擦力使它绕轴转动加速。
结果应是与质量及直经无关。。
另外,水桶不是“转动”,是近似的平动。两圆柱摩擦力不同,速度不同。
谢谢来访。
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作者:Haoqi 留言时间:2016-02-28 03:50:14
老嘎: 请注意原题"两者同时从同一长斜面(倾角30度)并排滚下,桶不变形,桶在斜面上纯滚动(无滑动)"。
所以, 你的"对于水桶来说,所有质点运动速度相同,即平动"不合题意, 故不成立. "平动"就是沿坡下滑, 不是"纯滚动".
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作者:嘎拉哈 留言时间:2016-02-28 03:05:10
对于沙桶,运动是绕瞬时中心,也就是圆柱与斜坡的瞬时接触点的滚动。因此,驱动圆柱运动的合力,等于 mgsin(a)(沿着斜坡向下),减去滚动摩擦力(沿着斜坡向上)。

对于水桶来说,所有质点运动速度相同,即平动。因此摩擦力等于零。


沙桶加速度 A = gsin(a)- 摩擦力/m < 水桶加速度 A= gsin(a)


这个合乎中学标准吗?
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作者:Haoqi 留言时间:2016-02-28 01:39:37
m为圆柱体质量.
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作者:Haoqi 留言时间:2016-02-28 01:35:49
我的推理如下,不知对否?
我们知道,两圆柱沿同一斜面(倾角30度)并排无滑动滚下,那么谁沿斜面的线加速度大,谁就跑得快.
而线加速度 α=rβ=rΜ/J
其中,r为圆柱半径;β为圆柱角加速度;
Μ为使圆柱产生角加速度的力矩,系由圆柱重力沿斜坡的分量产生:Μ=rmg(sin30°)=rmg/2;
J为圆柱绕以与坡面接触点为瞬时轴转动的转动惯量,根据平衡轴原理,J=(mr^2)/2+mr^2=(3/2)mr^2.
因而, α=rβ=rΜ/J=r(rmg/2)/((3/2)mr^2)=g/3.
可以看出,圆柱沿斜面无滑动滚下的线加速度只与重力加速度有关,与直径,质量等其它因素无关. 所以,两圆柱将跑得一样快.
这个结论与我原来的直觉-重而大的圆柱可能跑得快些-不一致,但我又找不出推理错在哪里. 有劳高手指正.
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作者:xjgg 留言时间:2016-02-27 23:15:56
:(

f=sin30°mg-am=(sin30°g-a)m
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作者:xjgg 留言时间:2016-02-27 23:12:19
这么说对吗:
两物体受力
F=sin30°Mg-aM=(sin30°g-a)M
f=sin30°Mg-am=(sin30°g-a)m
(万有引力在斜面方向的分力-摩擦力)
g=自由落体加速度;a=摩擦系数。
sin30°g-a为重心在斜面移动加速度,对两物体是不变数。
两圆柱重心沿斜面移动速度在任何时刻都相同,即移动速度一样。
直径,填充材料(比重,质量),斜角还有滚动(摩擦系数)不造成速度差别。
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作者:有哲 留言时间:2016-02-27 21:32:42
博主注:
鼓励所有读者用中学物理(不用“转动惯量”和“转动动能”)继续讨论。
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作者:有哲 留言时间:2016-02-27 21:22:43
嘎拉哈博,你两答案正确。如感兴趣请用中学物理(不用“转动惯量”和“转动动能”)再说明一下。谢谢来访。
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作者:有哲 留言时间:2016-02-27 21:20:31
摩诃笨蛋博,你答案正确。如感兴趣请用中学物理(不用“转动惯量”和“转动动能”)再说明一下。谢谢来访。
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作者:有哲 留言时间:2016-02-27 19:20:24
gugeren博,不需多重积分,用中学物理的质点组合在“滚动”中的行为就可以,因为只要求回答“谁快”,定性。请继续。谢谢来访。
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作者:有哲 留言时间:2016-02-27 19:18:45
秋念博,“水分享了能量”在此可以忽略。请继续。谢谢来访。
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作者:嘎拉哈 留言时间:2016-02-27 17:26:08
饭桶: mgh = 1/2 mV^2 + 1/2 I (v/r)^2
水桶: mgh = 1/2 mV^2

转动惯量 I= 1/2 m r^2


饭桶: v = sqrt(1.33gh)
水桶: v = sqrt(2gh)
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作者:gugeren 留言时间:2016-02-27 16:11:52
照博主的意思,还要用多重积分来做:把圆柱截面的每圈的力分解,再按其半径积分,是不是啊?
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作者:秋念11 留言时间:2016-02-27 16:00:17
沙子。水分享了能量(动能)。
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作者:嘎拉哈 留言时间:2016-02-27 13:43:19
如果忽略水和桶壁的摩擦能耗。装水的桶要快些。因为水在桶里“来不及”滚。或者“滚不起来”。势能基本上全部转化为平动动能(忽略桶壁的质量和转动惯量)。对于沙桶,势能转换为平动动能+转动动能。
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