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一個辦法是考察沿着一個封閉路徑的速度方向變化。在圖中找一個沒有漩渦的地方（如路徑A），當我們回到起點時，速度方向的變化是零。在漩渦的周圍（如路徑B），回到起點時速度方向變化是360度（逆時針繞行時）。而路徑C，雖然包圍了一個旋轉角度相反的漩渦，但速度方向的變化和路徑B是一樣的。當然我們還可以做進一步的數學分析，但到此為止的觀察已經表明了漩渦的三個重要性質。首先，是否有漩渦可以通過一個封閉路徑上的速度方向變化來判斷。第二，這個判斷的結論與路徑的選擇細節沒有關係，而且速度的微小變化也不會影響結果。第三，封閉路徑上速度方向的變化一定是360度的整數倍。所以有漩渦和沒有漩渦這兩種狀態不可能通過速度的連續變化來得到，而必須是一個跳躍。也就是說，在外力影響較小的情況下，漩渦不容易產生，但一旦產生了也不容易消失。

從上面的分析我們還看到，漩渦這種現象不是取決於某一點的運動狀況，而是一個整體的性質。它對於局部的運動狀況並不敏感，而有它自己的“生命”。而且，在水這種連續的介質里，每一個質點的速度和位置都是可以連續變化的。但漩渦卻不是連續的：或者是沒有，或者是有整數個。對於這種基於整體分布的形狀而對局部性質不敏感的東西，有個專門的數學工具來描述和研究它：拓撲學。所以漩渦這種現象也可稱作為水流的拓撲現象。

值得一提的是：漩渦這種現象不光是水裡有。颱風就是大氣中的漩渦現象。它一旦形成，就可以穩定地存在幾星期，移動上千公里。更推而廣之，漩渦這種拓撲現象並不一定要在流體中產生。任何物理量（如磁矩）如果具有角度這樣的性質，即增加360後能回到原位，都有可能產生漩渦這樣的現象。

2016年物理諾貝爾獎的獲獎工作，是研究電子運動中的拓撲現象。因為電子遵循量子力學而且通過電磁力相互作用，它的“漩渦”和水流有很大不同，也更加多姿多彩。而漩渦也只是多種拓撲現象中的一個。

2016年物理諾貝爾獎共發給了三名美國科學家：索列斯（David J. Thouless）得一半，哈爾丹（F. Duncan M. Haldane）和克斯特列茲（J. Michael Kosterlitz）平分另一半。這個獎是表彰他們在材料的拓撲相和拓撲相變方面的理論發現。下面就簡單介紹一下他們的三個有關工作。

1970年代初期，索列斯和博士後克斯特列茲提出一種二維體系中新型的相變，後來被稱為KT相變。這就涉及到上面說到的漩渦了。當然他們研究的不是水流，而是磁矩，它和水流速度方向一樣也是一種角度，所以也能形成漩渦。如上所說，形成一個漩渦是不容易的。但在他們的模型中，形成一對相反方向的漩渦卻容易得多，因為他們對於遠處的影響抵消了。所以在低溫的時候，磁矩漩渦都是成對的。但當溫度升高后，這些漩渦對就會“分家”變成單個的漩渦，從而產生相變。雖然這種漩渦本身不能被觀測到，但KT相變的理論很好地預言了液氦薄層的超流相變性質，而且後來在其它一些系統中也被觀察所證實。

KT相變理論是一個開創性的工作。在此之前，人們都認為二維體系在有限溫度下不可能有相變，因為任何有序的結構都不能經受熱漲落的顛覆。而KT相變理論的低溫相不是通常的“有序”態，而是正負漩渦的“緊耦合”態。而且這種相變只涉及空間相關性的變化而沒有對稱性的變化，這也與普通的相變不同。所以，可以說KT相變理論給“相變”本身帶來了新的研究空間。在這個基礎上，人們發展了一套相變理論稱為拓撲相變。還有人進一步引入電子態的拓撲性質作為“拓撲序”來定義物質的相。不過關於拓撲序是否屬於可觀察的物理量，現在還不清楚。

KT相變雖然涉及量子的超流現象，但還是可以藉助經典理論來了解。索列斯和克斯特列茲發現漩渦之間的相互作用和正負粒子類似，所以可以借用現成的電磁理論來搞定這個體系。而下一個要介紹的工作，就更加涉及到量子力學了。

霍爾效應在中學物理中都教過。如果把通着電流的導體放在磁場中，它會在垂直於電流和磁場的方向形成一個電壓。這是因為運動的電子受到洛侖茲力的影響。原先的電流與這個垂直電壓的比就是霍爾電導率。它與磁場強度和導電電子密度有關。這是經典電磁理論就能解釋的現象。

但是1980年實驗發現，在某些二維電子體系（也就是自由電子被約束在材料表面或界面的體系）中，在變動磁場強度和載流子密度時，霍爾電導率不是連續變化而是階梯式變化的。也就是說霍爾電導率只能是某些特定的值，而那些值只與某些基本物理常數有關，卻與材料的具體性質和實驗的條件無關。這被稱為“量子霍爾效應”。（量子霍爾效應還有整數分數之分，這裡就不詳細說了。）霍爾效應的“量子化”本來就夠奇怪了，更奇怪的是這種現象是如此普遍（在很多材料中都能觀察到）和穩定（即使材料有缺陷和雜質也沒關係）。由於量子霍爾效應的發現，有四名物理學家分兩次得了諾貝爾獎，其中包括華裔物理學家崔琦（Daniel C. Tsui）。

在量子霍爾效應被發現後兩年（1982年），索列斯和同事們就發表了一個理論解釋。他們通過基本的量子力學計算，把霍爾電導率表達為一個波函數的積分。然後他們引入一個人造的周期勢，以便具體算出波函數和霍爾電導率。最後他們證明了霍爾電導率的量子化，即使在那個周期勢趨於零的時候也是如此。後來人們指出，他們提出的那個積分其實就是拓撲學上的“陳數”，所以積分的值總是整數。1985年，索列斯等又發表一篇論文，不再依賴於周期勢而是通過邊界條件得出了同樣的量子化結果。這就表明了量子霍爾效應與波函數的細節無關，而只取決於整個系統的能帶結構的拓撲性質和基態的簡併度。所以它是相當普適和穩定的。

受到這個見解的啟發，另一名得獎者哈爾丹進一步提出了一個及其簡約的模型來重現類似現象。順此思路，人們發現沒有外加磁場的情況下也可能存在量子霍爾效應。由於量子霍爾效應伴隨着具有超導性質的表面態，這些發現開創了一個新領域：拓撲絕緣體。目前實驗上已經證實了了拓撲絕緣體的存在，以及不需外加磁場的“反常量子霍爾效應”。人們希望通過這些奇妙的現象找到性能超群的新型電子材料。值得一提的是，這次諾貝爾獎的官方介紹中對拓撲絕緣體一筆帶過，也許別有深意吧。

第三個工作是哈爾丹開創的一維磁性鏈（例如帶磁矩的原子組成的一維鏈）的研究。哈爾丹指出，一維磁性鏈中，自旋為半整數和整數的情況有本質的區別。其實加上時間的維度的話，一維磁性鏈就成為一個二維系統，而哈爾丹的結論和上面第一個工作的KT相變有關。這個結果的一個推論就是：雖然磁性鏈中間看起來平平無奇（磁矩都抵消了），但相距很遠的兩頭卻不能隨便亂動（否則就打破了中間的和諧）。所以這兩頭的磁矩之間就有了量子糾纏。這種糾纏是拓撲性質決定的所以比較穩定。自然而然地，這就給量子計算機帶來了新的思路。

凝聚態物理的拓撲理論發展過程中，華裔和中國科學家做出了不少重要貢獻。上面說到的索列斯1985年關於量子霍爾效應的文章，兩個合作者都是華人：當時索列斯的的學生牛謙和做高能物理的吳詠時（牛還是該論文的第一作者）。在諾貝爾委員會提供的得獎工作官方介紹中還提到了好幾個華人科學家的工作：美國華人物理學家文小剛關於拓撲序基礎理論的工作，中科院物理所和清華大學物理系團隊實驗觀測到量子反常霍爾效應的工作，以及最近包括北大和中科院的幾個中外研究單位合作的發現固體中威爾費米子（Weyl Fermion）的工作（作為得獎工作的一個推論）。而量子霍爾效應理論中涉及的“陳數”（Chern number），就是歸功於華人數學家陳省身了。另外值得一提的是，拓撲材料的研究最近在中國很受青睞。薛其坤教授因為其實驗證實量子反常霍爾效應等工作在2016年（諾貝爾獎宣布之前）獲得中國的“未來科學大獎物質科學獎”。所以，繼2015年中國科學家屠呦呦獲得諾貝爾生理學或醫學獎之後，2016年又是諾貝爾獎史上中國科學界值得驕傲的一年。

這三個得獎工作都是在上世紀七，八十年代完成的。當時凝聚態物理可說是在一個轉折點。在那以前，凝聚態物理基本是基於自由電子在晶格形成的外場中的運動。其它的相互作用（電子之間的耦合，電子自旋和軌道的耦合，電子運動與晶體震盪的耦合等）都是作為微擾來處理。到了七，八十年代，這種方法遇到了很多困難。一些重要的物理現象（包括高溫超導）看來不能用微擾來解釋，而需要更加注重整體，而不是單點子狀態的新的數學工具。當時在凝聚態物理中引入新數學有很多嘗試，如超過三維的空間解決准晶體問題（quasicrystal），滲流（perculation），分形（fractal），混沌（chaos），阻挫（frustration）等。當然其中有些工具並非針對整體現象。其中大多數努力得到的結果都是很有限的，但這又顯然是凝聚態物理的出路，所以這個方向的探索一直在進行。現代的凝聚態物理的活躍領域如強耦合（strong coupling），演生現象（emergent phenomena）等都是如此。從這方面來說，2016年諾貝爾獎表彰的拓撲態工作應該算是引進新數學比較成功的一個例子。但也需要指出，即使這幾個工作，雖然涉及的是體系的拓撲性質，但藉助拓撲學數學結果的地方並不多。其中和拓撲學數學聯繫最緊密的是量子霍爾效應的工作（量子霍爾係數與某個纖維叢的陳數有關）。但這個聯繫也是在索列斯的工作發表後其他人領悟到的。而且拓撲材料的研究雖然最近很熱而且有不少很有趣的結果，但它的應用範圍只是凝聚態物理中的一小部分而並非整個凝聚態物理的框架。所以，對凝聚態物理，乃至整個現代物理來說，尋找合適的數學工具仍然是一條漫漫長路，還有很多發現和創新的機會等待着熱愛數學的物理學家們。

本文得到多位有關方面專家審閱指正，作者深表感謝。文責由作者本人承擔。

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